Контрольные задания по «Теории статистики»

Задача № 5

 

В целях изучения стажа  рабочих одного из цехов завода проведена 10%-ная механическая выборка, в результате которой получено следующее распределение рабочих по стажу работы:

 

Стаж рабочих, лет	Число рабочих, чел
До 5 От 5 до 10 От 10 до 15 От 15 до 20 От 20 до 25 Свыше 25	5 10 35 25 15 10
Итого	100

 

На основании этих данных вычислите:

1. Средний стаж рабочих цеха.
2. Средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение.
3. Коэффициент вариации.
4. С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.
5. С вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.

Сделайте выводы.

Решение:

Для вычисления средней  величины в каждой группе определяем серединное значение (середину интервала), после чего определяем средний стаж рабочих цеха по формуле средней арифметической взвешенной.

В закрытом интервале  серединное значение определяем как  полусумму верхней и нижней границ, открытые интервалы приравниваются к рядом стоящим. Кроме того, для расчёта дисперсии последовательно определяем отклонение каждой группы от средней, квадрат отклонения и произведение квадрата отклонения на число работников в группе.

 

Расчет среднего квадратического  отклонения

Стаж рабочих, лет	Число рабочих, чел. f	х	xf		( )2	( )2 f
До 5	5	2,5	12,5	-13,25	175,563	877,813
5-10	10	7,5	75	-8,25	68,0625	680,625
10-15	35	12,5	437,5	-3,25	10,5625	369,688
15-20	25	17,5	437,5	1,75	3,0625	76,5625
20-25	15	22,5	337,5	6,75	45,5625	683,438
св. 25	10	27,5	275	11,75	138,063	1380,63
Итого:	100	-	1575	-	-	4068,75

 

1. Определим средний стаж рабочих цеха:

 

= = = 15,75 лет.

2. Определим среднее квадратическое отклонение:

σ = = 6,379 лет.

Дисперсия признака σ2 = = 40,688 лет.

3. Определим коэффициент вариации

 

V = %

 

4. Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидается средний стаж рабочих цеха.

Так как выборка механическая, то ошибка выборочного наблюдения определяется по формуле:

 

Δх = t

 

При = 3μ и p = w 3μ степень вероятности повышается до 0,997.

Таким образом:

t = 3

σ2= 40,688 - дисперсия признака;

n = 15,75 - средний стаж рабочих цеха;

- это 10%-ная механическая выборка.

 

Δх = t

Доверительные интервалы  для средней будут равны:

 

– Δх + Δх .

 

=15,75 лет. 4,574 года. или 15,75-4,57 15,75+4,57

С вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний стаж рабочих цеха находится в пределах от 11,18 дней до 20,32 дней.

   5. Определим с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.

Средняя ошибки для выборочной доли при бесповторном способе отбора рассчитывается по формуле:

 

Δw = t .

 

При = 3μ и p = w 3μ степень вероятности повышается до 0,997.

Таким образом:

t = 3;

n = 100 - численность рабочих цеха;

- это 10%-ная механическая выборка;

Определим w - удельный вес числа рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет.

25+35=0,6 или 60%,

100

т.е. доля рабочих со стажем работы от 10 до 20 лет – 60%.

 

Δw = t или 13,9%.

Доверительные интервалы  для доли будут равны:

 

p = w Δw .

 

p = 60% 13,9%, тогда 60% – 13,9% p 60% + 13,9%.

Доля числа рабочих  со стажем работы от 10 до 20 лет будет  находиться в пределах от 46,1 до 73,9% при  вероятности 0,997.

 

Задача № 6

 

Для изучения тесноты  связи между объемом произведенной  продукции (факторный признак) и балансовой прибылью (результативный признак) по данным задачи 1 вычислите эмпирическое корреляционное отношение.

Сделайте выводы.

Решение:

Для расчета межгрупповой дисперсии строим расчетную таблицу.

 

Группы банков по объему произведенной  продукции	Число банков n	Сумма прибыли на один банк, млн.руб. У		( )2	( )2n
305-404	4	15,00	-22,520	507,150	2028,602
405-503	5	28,00	-9,520	90,630	453,152
504-602	6	36,67	-0,853	0,728	4,369
603-701	5	45,60	8,080	65,286	326,432
702-800	5	58,00	20,480	419,430	2097,152
Итого:	25	37,52			4909,707

 

Рассчитаем межгрупповую дисперсию по формуле

 

= = =196,388

Для расчета общей  дисперсии возведем все значения «у» (валовую прибыль) в квадрат.

Валовая прибыль, млн.руб. У	Валовая прибыль, млн.руб. У2	Валовая прибыль, млн.руб. У	Валовая прибыль, млн.руб. У2	Валовая прибыль, млн.руб. У	Валовая прибыль, млн.руб. У2
45	2025	59	3481	41	1681
11	121	28	784	36	1296
33	1089	43	1849	12	144
27	729	23	529	50	2500
55	3025	35	1225	29	841
64	4096	54	2916	38	1444
14	196	26	676	49	2401
37	1369	58	3364	ИТОГО	40362
41	1681	30	900

 

Рассчитаем общую дисперсию  по формуле:

 

= – = – 37,522 = 206,73

 

Тогда коэффициент детерминации будет:

 

η2 = = = 0,950.

 

Он означает, что вариация суммы выданных банком кредитов на 95% объясняется вариацией размера процентной ставки и на 5% – прочими факторами.

2