Контрольная работа по дисциплине "Статистическая обработка информации"

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Рыбинский государственный авиационный технический университет имени П.А. Соловьева»

 

КАФЕДРА «Вычислительные системы (ВС)»

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

По дисциплине «Статистическая обработка информации»

Вариант №2

 

 

 

 

 

 

 

 

Студент гр. ЗВП-12   

Виноградова В. В.

Подпись_______________________

Руководитель проф., канд. техн. наук В. А. Вишняков

Оценка________________________

Подпись_______________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рыбинск 2015 г.

Оглавление

 

 

Законы распределения и параметры случайных величин

Вид функций F(x), р(х), или перечисление р(хi) называют законом распределения случайной величины. Хотя можно представить себе бесконечное разнообразие случайных величин, законов распределения гораздо меньше. Во-первых, различные случайные величины могут иметь совершенно одинаковые законы распределения. Например: пусть y принимает всего 2 значения 1 и -1 с вероятностями 0.5; величина z = -y имеет точно такой же закон распределения.

Во-вторых, очень часто случайные величины имеют подобные законы распределения, т.е., например, р(х) для них выражается формулами одинакового вида, отличающимися только одной или несколькими постоянными. Эти постоянные называются параметрами распределения.

Рассмотрим наиболее типичные законы распределения случайных величин.

 

1 .   Равномерное распределение

Так называют распределение случайной величины, которая может принимать любые значения в интервале (a,b), причем вероятность попадания ее в любой отрезок внутри (a,b) пропорциональна длине отрезка и не зависит от его положения, а вероятность значений вне (a,b) равна 0.

 
Рис 1. – Функция и плотность равномерного распределения

Параметры распределения: a , b

 

 2 .   Нормальное распределение.

 
Распределение с плотностью, описываемой формулой

(1)

называется нормальным. (Рисунок 2) 
Параметры распределения: a , σ

 
Рисунок 2. – Типичный вид плотности и функции нормального распределения   

3 .   Распределение Бернулли.

Если производится серия независимых испытаний, в каждом из который событие А может появиться с одинаковой вероятностью р, то число появлений события есть случайная величина, распределенная по закону Бернулли, или по биномиальному закону (другое название распределения).

   (2)

Здесь n - число испытаний в серии, m - случайная величина (число появлений события А), Рn(m) - вероятность того, что А произойдет именно m раз, q = 1 - р (вероятность того, что А не появится в испытании).

Пример 1: Кость бросают 5 раз, какова вероятность того, что 6 очков выпадет дважды? 
n = 5, m = 2, p = 1/6, q = 5/6

Параметры распределения: n , р

4 .   Распределение Пуассона.

Распределение Пуассона получается как предельный случай распределения Бернулли, если устремить р к нулю, а n к бесконечности, но так, чтобы их произведение оставалось постоянным: nр = а. Формально такой предельный переход приводит к формуле

(3)

Параметр распределения: a

Распределению Пуассона подчиняются очень многие случайные величины, встречающиеся в науке и практической жизни.

Пример 2: число вызовов, поступающих на станцию скорой помощи в течение часа.

Разобьем интервал времени Т (1 час) на малые интервалы dt, такие что вероятность поступления двух и более вызовов в течение dt пренебрежимо мала, а вероятность одного вызова р пропорциональна dt: р = μdt ; 
будем рассматривать наблюдение в течение моментов dt как независимые испытания, число таких испытаний за время Т: n = T / dt; 
если предполагать, что вероятности поступления вызовов не меняются в течение часа, то полное число вызовов подчиняется закону Бернулли с параметрами: n = T / dt, р = μdt . Устремив dt к нулю, получим, что n стремится к бесконечности, а произведение n×р остается постоянным: а = n×р = μТ.

Числовые характеристики случайных величин

 

  1 .  Математическое ожидание (среднее значение)

Определение: 
Математическим ожиданием называется 
- для дискретной случайной величины:      (4)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)

- для непрерывной случайной величины: ;    (5)

Интеграл должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)

Свойства математического ожидания:

a .   Если С - постоянная величина, то МС = С 
b .   МСх = СМх 
c .   Математическое ожидание суммы случайных величин всегда равно сумме их математических ожиданий: М(х+y) = Мх + Мy d .   Вводится понятие условного математического ожидания. Если случайная величина принимает свои значения хi с различными вероятностями p(xi/Hj) при разных условиях Hj, то условное математическое ожидание определяется

как или ;    (6)

Если известны вероятности событий Hj, может быть найдено полное

математическое ожидание: ;    (7)

Пример 4: Сколько раз в среднем надо бросать монету до первого выпадения герба ? Эту задачу можно решать "в лоб"

xi	1           2          3        ... k..
p(xi) :		,

но эту сумму еще надо вычислить. Можно поступить проще, используя понятия условного и полного математического ожидания. Рассмотрим гипотезы Н1 - герб выпал в первый же раз, Н2 - в первый раз он не выпал. Очевидно, р(Н1) = р(Н2) = ½;   Мx / Н1 = 1; 
Мx / Н2 на 1 больше искомого полного матожидания, т.к. после первого бросания монеты ситуация не изменилась, но один раз она уже брошена. Используя формулу полного математического ожидания, имеем Мх = Мx / Н1×р(Н1) + Мx / Н2×р(Н2) = 1×0.5 + (Мх + 1)×0.5 , разрешая уравнение относительно Мх, получаем сразу Мх = 2 .

e .   Если f(x) - есть функция случайной величины х, то определено понятие математического ожидания функции случайной величины:

- для дискретной случайной величины: ;    (8)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся.

-для непрерывной случайной величины: ;    (9)

Интеграл должен быть абсолютно сходящимся.   

2 . Дисперсия случайной величины 
Определение: 
Дисперсией случайной величины х называется математическое ожидание квадрата отклонения значения величины от ее математического ожидания:   Dx = M(x-Mx)2

- для дискретной случайной величины: ;    (10)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)

- для непрерывной случайной величины: ;    (11)

Интеграл должен быть сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет дисперсии)

Свойства дисперсии: 
a .   Если С - постоянная величина, то DС = 0 
b .   DСх = С2Dх 
c .   Дисперсия суммы случайных величин всегда равно сумме их дисперсий только, если эти величины независимы (определение независимых величин) 
d .   Для вычисления дисперсии удобно использовать формулу:  

 Dx = Mx2 - (Mx)2      (12)

3. Среднее квадратичное отклонение

Средним квадратическим отклонением случайной величины (иногда применяется термин «стандартное отклонение случайной величины») называется число равное

Среднее квадратическое отклонение, следовательно, является, как и дисперсия, мерой рассеяния распределения, но измеряется, в отличие от дисперсии, в тех же единицах, которые используют для измерения значений случайной величины.

Практическая задача

 

Известны статистические данные об объемах произведенной продукции предприятиями отрасли и суммах затрат на продукцию (издержки) за отчетный период, приведенные в таблице 1.

 

Таблица 1.

№ п/п	Произведено продукции, тыс. шт.	Сумма затрат на продукцию, млн. р.
1	3,6	330
2	4,6	396
3	5,5	460
4	4,8	430
5	2,7	243
6	2,0	170
7	7,5	618
8	6,3	540
9	4,1	369
10	4,8	425
11	7,6	646
12	6,5	598
13	11,5	858
14	10,6	820
15	9,0	810
16	6,9	566
17	5,0	450
18	11,2	858
19	8,1	656
20	7,8	640
21	4,2	399
22	6,3	518
23	12,1	920
24	9,8	780
25	8,5	696
26	7,0	595
27	5,6	476
28	7,9	664
29	6,6	603
30	9,1	728

Произвести группировку статистических данных по произведенной продукции и по сумме затрат, построить гистограммы.

Вычислить показатели среднего, вариации и корреляции, используя:

1. группирование;
2. негруппированные данные.

Сделать выводы.

 

Решение

Произведем группировку статистических данных по произведенной продукции. Группировка, выполненная по одному группировочному признаку, называется простой.

Для выполнения группировки необходимо:

1) определить группировочный признак;

2) определить число групп и  величины интервалов;

3) при наличии нескольких группировочных признаков показать, как они комбинируются между собой;

4) установить показатели, которыми  должны характеризоваться группы, т.е. сказуемого группировки.

В первом случае группировочный признак – произведенная продукция.

Для нахождения числа групп обычно применяют формулу

n = 1+3,322 Lg(N);

n= 1+3,322 Lg(30)=1+3,322*1,5=5,9

Так, как количество групп – целое число, поэтом округлим до 6.

В случае равных интервалов величина интервала может быть определена как

В нашем случае i=(12,1-2,0)/5,9=1,7

 

Группы предприятий по произведенной продукции, тыс. шт.	Число предприятий	№ предприятий	Общее количество по группе, тыс. шт.	Среднее количество продукции по группам, тыс. шт.
2,0 – 3,7	3	1, 5, 6	8,3	2,3
3,7 – 5,4	6	2, 4, 9, 10, 17, 21	27,5	4,6
5,4 – 7,1	8	3, 8, 12, 16, 22, 26, 27, 29	50,7	6,3
7,1 – 8,8	6	7, 11, 19, 20, 25, 28	47,4	7,9
8,8 – 10,5	3	15, 24, 30	27,9	9,3
10,5 – 12,2	4	13, 14, 18, 23	45,4	11,35
Итого:	30		207,2	41,75