Буль алгебрасының заңы. Логикалық функцияның тәсілдері

 

          Буль ашқан алгебраның қолдану аясы қаншалықты кен де өркенді екенін айқындауға болады. Оған толығырақ көз жеткізу үшін, әуелі Буль айнымалысына қолданылатын амал туралы ұғымды тиянақты түрде анықтап алу керек.

Бізге (х,у) € Б немесе (х,у) {0,1} юолатын х,у Буль айнымалылары берілсін. Осы х пен у айнымалыларға  қолданылатын Буль амалы  туралы ұғым (х,у) Буль қосын Б ={0,1} жиынына бейнелеу арқылы анықталады.       

 Анықтама. Егер де  х,у екі айнымалыдан тұратын  (х,у,)-Буль қосының Б ={0,1} жиынындағы  бейнесі болатындай  z-айнымалы табылып, көрсетілген болса онда Б жиынында Буль амалы анықталған дейді.

Егер де Б ={0,1} жиында Буль амалы анықталған болса, онда осы  Б жиыны Буль алгебрасы деп  аталады.       

 Буль айнымалысына  пікірлік мән беріп қарау арқылы  пікірлер алгебрасының амалдарын  Буль жиынында анықтауға болады. Атап айтқанда пікірлер есептемесінің  амалдары түгелдей Буль алгебрасының  амалдары болып табылады. Олар  төмендегіше белгіленеді:

¬ х -айнымалының терістеу амалы;

х ^ у-айнымалыларды қабаттамалау (конъюнкциялау, «және» );

х ٧у -ажырапалау (дизъюнкциялау, «немесе»);

х у - теңгермелеу (импликациялау);       

 Буль айнымалыларын,  кейде Х1, Х2 ....Х n деп, бір ғана  Х әрпін номерлеу арқылы да  белгілеп жазады.  Олардың әрқайсысы тек 0 мен 1 Буль тұрақтыларынан өзіне мән ретінде қабылдай алады. «Х1 айнымалы 0-Буль  тұрақтысын қабылдайды» деген ой былайша жазылып көрсетіледі: х1=0. Сондай-ақ, «х1 =1» жазуы «айнымалы 1 деген Буль тұрақтысын қабылдайды». Элементтер Буль тұрақтылары боп келетін Б ={0,1}-екі элементті Буль жиыны деп атайды.      

 Егер х-Буль  айнымалысы болса, онда х € Б немесе х €{0,1} деген жазу  «х- Буль жиынына тиісті айнымалы» немесе «х айнымалы Буль жиынына жатады» деген ойларды белгілеп көрсетеді.      

 Буль тұрақтылары  0 мен 1-ді тек сандық белгілеме  деп ұқпау керек. Ол анығында, нәрселер мен құбылыстардың екі  түрлі қиырлық (полярлық) күйін,  сипатын білдіретін белгілеме  ретінде жұмсалады.

Мысалы, 0 белгісі арқылы нәрсенің - «суық», 1 белгісімен «ыстық»  деген күйін белгілеп жазуға болады. Сонда нәрсенің «суық, ыстық» деген  екі элементтік жиынымен сипатталатын ахуалдық күйін (0,1) деген Буль қосы арқылы өрнектеп көрсетуге болады. Басқаша айтқанда, нәрсе денесінің  қызулы сипаттамасын Буль алгебрасы  арқылы бейнелеуге болады.       

 Буль алгебрасының (0,1) қосы арқылы нәрселердің тағы  талай қырларын сипаттап бейнелеуге  болады.

Мысалы, нәрсенің түстік сипаттамасын көрсететін «(ақ, қара)»-қосын  да белгілеуге болады.  Сондай-ақ пікірлік ойлар сипаттаушысы «жалған, ақиқат»  деген екі элементтік жиынды Буль қосымен белгілейді. Ықтималдықтар теориясының алғашқы ұғымдарынан тұратын «көрінбеді», «көрінді» деген екі сөзі жиындар қоса бола алады. Математикалық таңбалар түзетін  «минус, плюс» деген сөздерді, сондай-ақ «жоқ, бар» деген ақпаратнамалық сөздерді де қосымен бейнелеп көрсетуге болады.      

 Осы айтылып өткен  мысалдардан-ақ Буль ашқан алгебраның  қолдану аясы қаншалықты кең  де өркенді екенін айқындауға  болады. Оған толығырақ көз жеткізу  үшін, әуелі Буль айнымалысына  қолданатын амал туралы тиянақты  түрде анықтап алу керек.

Айталық бізге (х,у) €Б немесе (х,у) €{0,1}  болатын х,у Буль айнымалылары берілсін. Осы х пен у айнымалыларға қолданылатын Буль амалы туралы ұғым (х,у) Буль қосын  Б ={0,1} жиынына бейнелеу арқылы анықталады.

Анықтама. Егер де х,у екі  айнымалыдан тұратын (х,у)-Буль қосының  Б ={0,1} жиынындағы бейнесі болатындай z-айнымалы табылып, көрсетілетін болса, онда Б жиынында Буль амалы анықталған дейді.       

 Егер де Б ={0,1} жиында Буль амалы анықталған  болса, онда осы Б жиыны Буль  алгебрасы деп аталады.

Буль айнымалысына пікірлік мән беріп қарау арқылы пікірлер алгебрасының амалдарын Буль жиынында анықтауға болады. Атап айтқанда пікірлер  есептемесінің амалдары түгелдей Буль алгебрасының амалдары болып табылады. Олар төмендегіше белгіленеді:

х¯ - айнымалыны терістеу (инверсиялау, «емес») амалы;

х ^ у - айнымалыларды қабыттамалау (конъюкциялау, «және») амалы;

х ٧у -ажыратпалау (дизъюнкциялау, «немесе») амалы;

х             у- сабақтастыру (импликациялау) амалы;

х ~у -теңгермелеу (экваленциялау)амалы.       

 Буль алгебрасының  амалдарын соларға енетін айнымалының  санына қарай бірнеші топтарға  бөліп қарастырады. Олар: бірлемдік  (1-лемдік, ун-арлық),      

 Екілемдік, би-нарлық), үшлемдік (3-лемдік), т,с,с, эн-лемдік (n-арлық) амалдар деп аталады.  Солардың біз әрқайсысына жеке-жеке  тоқталып өтелік. Айтылмыш Буль  амалдарын дерексіз (абстрактылы)  Буль айнымалылары үшін анықтаймыз.       

 Айталық х,у, z - қандай  нақты нәрседен жаратылғаны беймәлім  дерексіз Буль айнымалылары болсын. Басқаша айтқанда х,у, z €{0,1}  болатын айнымалы қарастырамыз. Сонымен қатар Б ={0,1} - Буль жиынында «=» белгісімен жазылатын «теңдік» қатнасы анықталған деп ұйғарамыз.

 

Буль алгебрасының операциялары үшін сандар мен пікірлер амалдарына тура болатын көптеген заңдылықтар  мен қасиеттер орындалады. Оларды Буль амалдарының қасиеттері (заңдары) деп атайды.

Кестеден f (х) =х деп қарауға  болатынын көреміз. Мұндағы х - формуланы  х - контактының инверсиясы деп атауға болады.

Алдыңғы айтылғандарға қарап, пікірлер алгебрасының үш тұрлаулы амалы - терістеу, конъюнкциялау және дизъюнкциялау  операцияларының әрқайсысынан электрлі - контактылық жүйенің белгілі  бір құрылымы арқылы үлгілемелеп  көрсетуге болады.    

 Контактылар алгебрасының  формуласы мен заңдары

Контактылар алгебрасы мен  пікірлер алгебрасында қолданылатын амалдар, қатнастар мен әліпбилік белгілемелер арасында бірме-бір сәйкестік барын  көрсеттік. Сондықтан, пікірлер алгебрасының формулалары және заңдары туралы бұрын айтылған анықтамалар мен  тұжырымдық ойлардың бәрін контактылық  алгебра үшін де тура болады деп  қарауға болдады. Буль алгебрасының үлгілемелік мысалы деп қарастырады. Бұл айтылғандарға мысалдар келтіру  арқылы көз жеткізуге болады.

Логикалық функциялар

 Негізгі функциялар

Цифрлық (логикалық) құрылғылардың кірістері мен  шығыстарындағы кернеу мәндері логикалық 0 немесе логикалық 1 деп аталатын екі түрлі деңгейде болады. Логикалық құрылғылардың бұл ерекшелігі оларды жобалау үшін немесе осындай дайын құрылғылардың жұмысын талдау үшін логика алгебрасының (немесе Буль алгебрасының) қағидаларын пайдалануға мүмкіндік береді.

Цифрлық құрылғылардың  атқарар қызметі сәйкесті логикалық  функциялар арқылы сипатталады. Күрделілігі  әртүрлі кез келген логикалық  функцияны негізгі логикалық  функциялар деп аталатын үш функция  арқылы суреттеуге болады, олар – ЕМЕС, НЕМЕСЕ, ЖӘНЕ функциялары. Олардың атқарар қызметін кесте түрінде (ол ақиқаттық кестесі деп аталады) немесе сәйкесті логикалық өрнек арқылы суреттеуге болады.

ЕМЕС функциясы  – аргументіне қарсы мәнді  шығаратын, бір аргументті функция (1.1-кесте), сондықтан бұл функция инверсия (inversion - терістеу) деп те аталады. Оның аргументі Х деп белгіленген болса, онда бұл функция Y= өрнегімен суреттеледі.

1.1 К е с т е

Х1
0	1
1	0

 

     

 

НЕМЕСЕ функциясы  – аргументтерінің барлығы да 0 кезінде ғана 0 шығаратын, ал қалған жағдайда (яғни, аргументтерінің кем дегенде біреуінің мәні 1 болғанда) 1 шығаратын, бірнеше аргументті функция (1.2-кесте). Бұл функция дизъюнкция (disjunction) немесе логикалық қосу (logical addition) деп те атала береді. Оның логикалық өрнегі Х1Х0 түрінде суреттеледі.

1.2 К е с т е

Х1	Х0	Х1Х0
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

 

      

 

ЖӘНЕ функциясы  – аргументтерінің барлығы да 1 кезінде ғана 1 шығаратын, ал қалған жағдайда (яғни, аргументтерінің кем  дегенде біреуінің мәні 0 болғанда) 0 шығаратын бірнеше аргументті функция (1.3-кесте). Бұл функция конъюнкция (conjunction) немесе логикалық көбейту (logical multiplication) деп те атала береді. Оның логикалық өрнегі Х1Х0 (немесе Х1Х0) түрінде суреттеледі.

1.3 К е с т е

Х1	Х0	Х1Х0
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

 

   

 

 

      

 
 

Суреттелген ЕМЕС, НЕМЕСЕ, ЖӘНЕ функциялары арқылы кез  келген күрделі функцияны суреттеуге болады, сондықтан, олар логикалық функциялардың  түпнегіздік жинағын (core set) құрады.

1.2.1 Әмбебап функциялар

Қарастырылған үш функциядан басқа, әмбебап функциялар деп аталатын екі функция бар, олар – НЕМЕСЕ-ЕМЕС және ЖӘНЕ-ЕМЕС функциялары. НЕМЕСЕ-ЕМЕС функциясы Пирс функциясы деп, ал ЖӘНЕ-ЕМЕС фукциясы Шеффер функциясы  деп те атала береді. Олардың сәйкесті логикалық өрнектері және түрінде  суреттеледі, ал атқарар қызметі 1.4-кестеде  келтірілген.

1.4 К е с т е

Х1	Х0
0	0	1	1
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	0	0

 

   

 

 

     

 

Соңғы қарастырылған  екі функцияның әрбіреуінің жеке өзі-ақ түпнегіздік жинақ құрады, яғни олардың негізінде кез келген күрделі логикалық функция құруға болады.

1.1.2.3 Теңдік  және теңсіздік функциялары

Ерекше қызметтерге  пайдаланылатын тағы екі функцияны  қарастыра кетелік, олар – теңдік (немесе арифметикалық қосу) функциясы  мен теңсіздік функциясы. Олардың  сәйкесті логикалық өрнектері және түрінде суреттеледі, ал атқарар қызметі 1.5-кестеде келтірілген.

1.5 К е с т е

Х1	Х0
0	0	0	1
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

 

   

 

 

     

 

Логика алгебрасының заңдары мен заңдылықтары

Цифрлық құрылғылардың  схемаларын құру барысында оларды суреттеуші логикалық фунцияларды әртүрлі мақсатқа сай (мысалы, оларды қарапайым түрге келтіру үшін) түрлендіру қажет болады. Бұндай түрлендірімдер логика алгебрасының заңдары мен осы заңдардың жеке жағдайларға тікелей пайдалануға ыңғайландырып шығарылған заңдылықтарының негізінде жүргізіледі (1.6-кесте).  

1.6 К е с т е

Заңдар
Коммутативтік (commutativity) немесе алмастырылым заңы
Х1Х0 = Х0Х1	Х1Х0 = Х0Х1
Ассоциативтік (associativity) немесе біріктірілім заңы
Х2(Х1Х0) = (Х2Х1)Х0	Х2 (Х1Х0) = (Х2Х1)Х0
Дистрибутивтік (distributivity) немесе таратылым заңы
Х2Х1Х1Х0 = Х1(Х2Х0)	(Х2Х1)(Х1Х0) = Х1(Х2Х0)
де  Морган заңы
Заңдылықтар
X0 = X	X0 = 0
X1 = 1	X1 = X
XX = X	XX = X
X = 1	X = 0
X1X1X0 = X1	X1(X1X0) = X1
X1X0 = X1X0	X1(X0) = X1X0