Применение спектрального анализа в инженерных исследованиях

МИНИСТЕРСТВО  НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

 ХАРЬКОВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ АВТОМОБИЛЬНО-ДОРОЖНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

 

Домашнее задание  по дисциплине:

«Теоретические  методы научного творчества»

Применение  спектрального анализа в инженерных исследованиях

 

 

 

 

 

 

Выполнил: ст.гр РЕ 32

                                                         Бевза М. А.

 Проверил: 

 Колодяжный В. М.

 

Харьков 2011

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................ 3

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ ............................................................................... 5

1.1Преобразование Фурье......................................................................... 4

2 ВЫПОЛНЕНИЕ  БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ  ДЛЯ ЗАДАННОГО СИГНАЛА ......................................................................................8

2.1 Построение  исходного сигнала ......................................................... 8

2.2 Быстрое преобразование  Фурье для исходного сигнала  .................9

2.3 Сигнал с  псевдослучайной помехой ............................................... 10

2.4 Быстрое преобразование  Фурье для исходного сигнала  с псевдослучайной помехой ............................................................. 12

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................................... 13

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

 

Спектральный  анализ - это один из методов обработки  сигналов, который позволяет охарактеризовать частотный  состав измеряемого сигнала. Преобразование Фурье является математической основой, которая связывает временной или пространственный сигнал (или же некоторую модель этого сигнала) с его представлением в частотной области. Методы статистики играют важную роль в спектральном анализе, поскольку сигналы, как правило, имеют шумовой или случайный характер. Если бы основные статистические характеристики сигнала были известны точно или же их можно было бы без ошибки определить на конечном интервале этого сигнала, то спектральный анализ представлял бы собой отрасль точной науки. Однако в действительности  по одному-единственному отрезку сигнала можно получить только некоторую оценку его спектра.

К обработке  сигналов в реальном масштабе времени  относятся задачи анализа аудио, речевых, мультимедийных сигналов, в которых помимо трудностей, связанных непосредственно с анализом спектрального содержания и дальнейшей классификацией последовательности отсчетов (как в задаче распознавания речи) или изменения формы спектра - фильтрации в частотной области (в основном относится к  мультимедийным сигналам), возникает проблема управления потоком данных в современных вычислительных системах. Реальность накладывает отпечаток как на сами вычислительные алгоритмы, так и на результаты экспериментов, поднимая вопросы, с которыми не сталкиваются при обработке всей доступной информации.

При обработке  сигналов обычно приходится решать задачи двух типов - задачу обнаружения и  задачу оценивания. При обнаружении  нужно дать ответ на вопрос, присутствует ли в данное время на входе некоторый сигнал с априорно известными параметрами. Оценивание - это задача измерения значений параметров, описывающих сигнал.

Сигнал часто  зашумлен, на него могут накладываться  мешающие сигналы. Поэтому для упрощения  указанных задач сигнал обычно разлагают по базисным составляющим пространства сигналов. Для многих приложений наибольший интерес представляют периодические сигналы. Вполне естественно, что используются Sin и Cos. Такое разложение можно выполнить с помощью классического преобразования Фурье.

При обработке  сигналов конечной длительности возникают  интересные и взаимозависимые вопросы, которые необходимо учитывать в  ходе гармонического анализа. Конечность интервала наблюдения влияет на обнаруживаемость тонов в присутствии сильных шумов, на разрешимость тонов меняющейся частоты и на точность оценок параметров всех вышеупомянутых сигналов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ

 

 

Преобразование  Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Преобразование  Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии, и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть, обратимый переход от временно́го пространства (time domain) в частотное пространство (frequency domain). Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования.

Преобразования  являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, также являются унитарными.

Преобразования  обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование.

Синусоидальные  базисные функции являются собственными функциями дифференцирования, что означает, что данное представление превращает линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. (Например, в линейной стационарной системе частота — консервативная величина, поэтому поведение на каждой частоте может решаться независимо.)

По теореме  о свёртке, преобразование Фурье  превращает сложную операцию свёртки  в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.

Дискретная  версия преобразования Фурье может  быстро рассчитываться на компьютерах, используя алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ, англ. FFT).

Дискретное  преобразование Фурье является частным  случаем (и иногда применяется для  аппроксимации) дискретного во времени  преобразования Фурье (DTFT), в котором xk определены на дискретных, но бесконечных  областях, и таким образом спектр является непрерывным и периодическим. Дискретное во времени преобразование Фурье является по существу обратным для рядов Фурье.

Эти разновидности  преобразования Фурье могут быть обобщены на преобразования Фурье произвольных локально сжатых абелевых топологических групп, которые изучаются в гармоническом анализе; они преобразуют группу в ее дуальную группу. Эта трактовка также позволяет сформулировать теорему свёртки, которая устанавливает связь между преобразованиями Фурье и свёртками.

В терминах обработки  сигналов, преобразование берёт представление функции сигнала в виде временных рядов и отображает его в частотный спектр, где ω — угловая частота. То есть оно превращает функцию времени в функцию частоты; это разложение функции на гармонические составляющие на различных частотах.

Когда функция f является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет  стандартную интерпретацию как  спектр сигнала. Абсолютная величина получающейся в результате комплексной функции F представляет амплитуды соответствующих частот (ω), в то время как фазовые сдвиги получаются как аргумент этой комплексной функции.

Однако важно  осознавать, что преобразования Фурье  не ограничиваются функциями времени  и временными частотами. Они могут  в равной степени применяться  для анализа пространственных частот, также как для практически любых других функций.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ВЫПОЛНЕНИЕ  БЫСТРОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ  ДЛЯ ЗАДАННОГО СИГНАЛА

 

 

2.1 Построение  исходного сигнала

 

По условию  задачи дан следующий сигнал

,

где N=1– порядковый номер по списку группы.

Построим данный сигнал

В MatLab набираем:

Freg=20;

T=1/Freg;

L=10000;

t=(0:(L-1))*T;

        x=sin(2*pi*0.05*t)+1/2*sin(2*pi*0.1*t)+0.1*sin(2*pi*0.5*t);

       plot(t(1:400),x(1:400))

После этого  сохраним файл и запустим его на выполнение. Результат работы данной программы представлен на рис. 2.1.

Рисунок 2.1 –  Исходный сигнал

 

2.2 Быстрое преобразование  Фурье для исходного сигнала

 

Применим к  сигналу алгоритм быстрого преобразования Фурье. Для этого в m-файл добавим следующие строки

NFFT=16384;

Y=fft(x,NFFT)/L;

f=Freg/2*linspace(0,1,NFFT/2);

        plot(f,abs(Y(1:NFFT/2)))

        plot(f(1:500),2*abs(Y(1:500)))

В связи с  тем, что аргумент прямого быстрого преобразования Фурье должен быть задан  в виде элементов, было принято что . Таким образом, аргумент был представлен 16384 элементами. В случае если это требование не выполнено недостающие элементы заполняются нулями.

Результат представлен  на рис 2.2.

Рисунок 2.2 – Результат прямого быстрого преобразования Фурье

 

Размещение  пиков на графике показывает преобладание в сигнале частот 100 и 500.

2.3 Сигнал с  псевдослучайной помехой

В связи с  тем, что в реальности невозможно получить «чистый» сигнал без помех, выполним  синтез зашумленного сигнала, добавив к нему псевдослучайную величину с равномерным законом распределения. Для этого в системе MatLab воспользуемся генератором случайных чисел с равномерным законом распределения.

         x=sin(2*pi*0.05*t)+1/2*sin(2*pi*0.1*t)+0.1*sin(2*pi*0.5*t);                                              y=x+0.1*randn(size(t));

plot(x(1:400),y1(1:400)

Получаем график сигнала с псевдослучайной величиной  rand с равномерным законом распределения рис 2.3.

Рисунок 2.3 – График сигнала с псевдослучайной величиной  rand с равномерным законом распределения

 

2.4 Быстрое преобразование Фурье для исходного сигнала с псевдослучайной помехой

 

Аналогично, как  и для сигнала без помех  выполним быстрое преобразование Фурье. Для этого напишем в программе

NFFT=16384;

Y=fft(y,NFFT)/L;

f=Freg/2*linspace(0,1,NFFT/2);

plot(f(1:500),2*abs(Y(1:500)))

Результат представлен  на рис. 2.4.

Рисунок 2.4 – Результат  работы быстрого преобразования Фурье  для сигнала с псевдослучайной  помехой

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

 

1. Зайдель А. Н.  Основы спектрального анализа. – М.: изд-во «Наука», 1965. – 322 с.
2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в двух томах): Учебник для студентов университетов и вузов. – М.: Высш. школа, 1981. т. II. – 584 с., ил.
3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа(в двух томах): Учебник для студентов университетов и вузов. – М.: Высш. школа, 1981. т. I. – 687 с., ил.

5.     Н.Н.Мартынов, А.П.Иванов.  MATLAB 5.X.Вычисления, визуализация,

        программирование – 322 с.