Устойчивость системы радиоавтоматики

Понятие об устойчивости.

Под устойчивостью понимается способность автоматической системы приходить в некоторое установившееся состояние, не связанное с ограничением в каком-либо звене, после воздействия на систему сигнала возмущения или управления.

 

           F          Автоматическая        U

                              система

 

 

 

 

Переходный процесс переводит  систему в некоторое устойчивое состояние:

 

Проще всего определить устойчивость системы по переходной характеристике. Процесс после действия внешнего сигнала затухает и устанавливается на новом или прежнем уровне. Однако для такой оценки необходимо решить дифференциальное уравнение системы и построить переходной процесс.

Существуют методы, позволяющие  определить устойчивость системы без решения дифференциального уравнения. Такие оценки можно сделать по корням характеристического уравнения или по коэффициентам исходного дифференциального уравнения. Такие оценки устойчивости называются критериями устойчивости.

 

Анализ устойчивости систем автоматического управления.

Одним из первых вопросов, возникающих  при исследовании и проектировании линейных систем автоматического управления, является вопрос об их устойчивости. Линейная система называется устойчивой, если при выведении ее внешними воздействиями из состояния равновесия (покоя) она возвращается в него после прекращения этих воздействий. Если после исчезновения внешнего воздействия система не возвращается к состоянию равновесия, то она либо является неустойчивой, либо находится на границе устойчивости. Для нормального функционирования системы необходимо, чтобы она была устойчивой, так как в противном случае ошибки в ней становятся недопустимо большими.

Анализ устойчивости обычно проводят на начальном этапе исследования системы управления. Это объясняется двумя причинами. Во-первых, анализ устойчивости довольно прост. Во-вторых, неустойчивые системы могут быть скорректированы, т. е. преобразованы в устойчивые с помощью добавления специальных корректирующих звеньев.

Устойчивость системы связана с характером ее собственных колебаний. Чтобы пояснить это предположим что система описывается дифференциальным уравнением

или после преобразования Лапласа

где g(p) - изображение Лапласа входного воздействия.

Устойчивая система возвращается в состояние покоя, если входное воздействие g(p)=0. Таким образом, для устойчивой системы решение однородного дифференциального уравнения

должно стремиться к нулю при 

Это условие будет выполнено, если все корни p_k характеристического уравнения

будут находиться в левой полуплоскости комплексного переменного, т. е.   В большинстве случаев (при n > 2) аналитически найти корни характеристического уравнения невозможно, поэтому были разработаны специальные правила (критерии), позволяющие судить о расположении корней на плоскости комплексного переменного без их расчета. Прежде чем воспользоваться для оценки устойчивости тем или иным критерием, следует проверить выполнение необходимого условия устойчивости, в соответствии с которым все коэффициенты характеристического уравнения должны быть больше нуля (a_i > 0, i=0,…,n).

 

Критерий устойчивости Гурвица.

 

Этот критерий является алгебраическим. Если задана передаточная функция системы W(p) = B(p) / A(p) , то для получения характеристического  уравнения надо приравнять к нулю ее знаменатель

Далее из коэффициентов   необходимо составить матрицу Гурвица

.

Порядок составления матрицы Гурвица  следующий. В левом верхнем углу матрицы записывается коэффициент  . По главной диагонали располагаются коэффициенты характеристического уравнения по мере убывания индексов. Над элементами главной диагонали записываются коэффициенты по убыванию индексов, под элементами - по возрастанию индексов. Там, где индекс больше n или меньше нуля, записываются нули.

Далее надо вычислить определители Гурвица, которые получают из матрицы путем отчёркивания равного числа строк и столбцов в левом верхнем углу матрицы. Например, первый определитель

,

второй определитель

и так далее.

Критерий устойчивости Гурвица  формулируется следующим образом: система устойчива, если все определители Гурвица больше нуля, т. е. 

Раскрывая   по последнему столбцу, получим

.

Так как   то для проверки устойчивости системы достаточно определить знаки только до   определителя. Если   то система находится на границе устойчивости.

Пример. Найти условия устойчивости системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид

.

Чтобы воспользоваться критерием  устойчивости Гурвица найдем передаточную функцию замкнутой системы

.

Приравняв к нулю знаменатель  , получим характеристическое уравнение

,

из коэффициентов которого составим матрицу Гурвица (n = 3).

.

Для устойчивости необходимо, чтобы все определители Гурвица были больше нуля

.

Первое из этих неравенств выполняется  всегда, т. к. постоянные времени T1 , T2 , T3 по физическому смыслу всегда положительны. Решив второе неравенство, найдем условие устойчивости системы

.

Из последнего выражения следует, что если коэффициент усиления К системы будет меньше некоторого критического значения (К_kp) , то система будет устойчива. ЕслиК > К_kp , то система работать не будет.

Критерий Гурвица удобно использовать, когда порядок системы (n) не очень высок. В противном случае придется решать систему многих неравенств.

 

Критерий устойчивости Михайлова.

 

В отличие от алгебраического критерия Гурвица, этот критерий является частотным. Он основан на построении годографа характеристического вектора  Вспомним, что годографом называется кривая, прочерчиваемая концом вектора   на комплексной плоскости при изменении частоты   от 0 до  . Характеристический вектор   получается из характеристического уравнения путем замены   на 

Критерий устойчивости Михайлова  формулируется следующим образом: система устойчива, если годограф характеристического вектора, начинаясь на положительной части действительной оси, обходит последовательно в положительном направлении n квадрантов, где n - порядок характеристического уравнения системы.

На рис.1 приведены примеры годографов для устойчивых (рис.1, а) и неустойчивых (рис.1, б) систем. Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости (рис.1, в).

Рис. 1

Характеристический вектор   можно представить в виде

где   - действительная, а   - мнимая часть вектора  . На границе устойчивости (рис.1, в)

Из этих уравнений можно определить значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости.

Пример. Найти условие устойчивости системы, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии имеет вид

.

Так же, как и в предыдущем примере, передаточная функция замкнутой системы

.

Заменяя в знаменателе   на  , найдем характеристический вектор

Приравняв нулю действительную и мнимую части характеристического вектора, найдем условия, определяющие границу устойчивости

Из второго уравнения находим

,

и после подстановки  ² в первое уравнение найдем

.

При значении коэффициента усиления меньше критического система будет  устойчива, в противном случае она  неустойчива. Полученный результат совпадает с результатом, полученным в предыдущем примере, т.к. проводился анализ устойчивости одной и той же системы. При этом правильное использование различных критериев должно приводить к одинаковому результату.

 

Критерий устойчивости Найквиста.

Так же, как и критерий Михайлова, критерий Найквиста является частотным. Он основан на построении годографа передаточной функции H(j ) разомкнутой системы. Критерий устойчивости Найквиста формулируется следующим образом: замкнутая система устойчива, если годограф передаточной функции H(j ) разомкнутой системы не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами (-1, j0). На рис. 2 показаны примеры устойчивой (рис. 2, а) и неустойчивой (рис. 2, б) систем управления.

Рис. 2

Если годограф проходит через точку (-1, j0), то система находится на границе устойчивости. В этом случае на некоторой частоте H(j )= -1. Представим, как будет вести себя сигнал частоты  ₀ в такой системе при отсутствии внешних воздействий, т.е. при g(t)= 0. Сигнал A sin ₀t с частотой  ₀ и амплитудой А после прохождения системы сохранит частоту и амплитуду. Изменится лишь знак, т.е. x(t)= -Asin ₀t. После прохождения цепи отрицательной обратной связи на входе системы появится сигнал e(t)= g(t)-x(t) =Asin ₀t. Таким образом, в системе могут существовать незатухающие колебания с частотой  ₀. В неустойчивых системах амплитуда сигнала x(t) будет со временем расти, в устойчивых - уменьшаться.

 

Оценка устойчивости по частотным характеристикам.

 

Все ранее рассмотренные критерии основаны на том, что известны передаточные функции W(p) или H(p), т. е. задана математическая модель системы управления. Однако в ряде случаев для сложных систем получить точную математическую модель не удается. В этой ситуации для анализа устойчивости используют амплитудно- и фазо-частотные характеристики, которые могут быть измерены экспериментально. Кроме того, АЧХ и ФЧХ могут быть получены из передаточной функции H(j )

Здесь   - амплитудно-частотная характеристика;   - фазочастотная характеристика.

Для оценки устойчивости по частотным  характеристикам надо сравнить две частоты: частоту среза w_ср и критическую частоту w_кр. Определяются эти частоты следующим образом:

Т. е. на частоте среза АЧХ пересекает единичный уровень, а на критической частоте ФЧХ пересекает уровень -  (-180 ) (рис. 3).

Рис. 3

Если частота среза меньше критической частоты, то система будет устойчивой. Таким образом, условие устойчивости принимает простой вид: 

В процессе эксплуатации системы управления ее параметры (коэффициенты усиления, постоянные времени) из-за изменения внешних условий, колебаний напряжений источников питания и других причин могут отличаться от расчетных значений. Если не принять определенных мер, то система может стать неустойчивой. Для исключения этого явления следует обеспечить определенные запасы устойчивости системы. Запасы устойчивости определяются на двух частотах:  _ср и  _кр.

Запас устойчивости по фазе показывает, на какое значение ФЧХ разомкнутой системы на частоте среза отличается от -  (рис.3):

Запас устойчивости по усилению   определяет, во сколько раз нужно увеличить коэффициент усиления, чтобы система оказалась на границе устойчивости

.

 

Теоремы Ляпунова об устойчивости линеаризованных систем.

Теоремы Ляпунова позволяют определить устойчивость системы по корням характеристического  уравнения и одновременно оценить  возможность использования линейной модели для определения устойчивости нелинейной системы.

Теорема 1. Пусть характеристическое уравнение замкнутой линеаризованной системы имеет отрицательные вещественные корни или комплексные корни с отрицательными вещественными частями.

 

 

   

 

Пример. Характеристическое уравнение: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формулировка: Если характеристическое уравнение замкнутой линеаризованной системы имеет отрицательные вещественные корни или комплексные корни с отрицательными вещественными частями, то исходная нелинейная система будет устойчива и никакие добавки в виде отклонений высокого порядка не смогут сделать ее не устойчивой.

 

Решение дифференциального уравнения  будет иметь вид:

где, θ(t)_{общ. одн.} – общее решение однородного уравнения;

                                                                        θ(t)_{ч. неодн.} – частное решение неоднородного уравнения.

                                                                         где, С₁, А, φ – постоянные

                                                                                                       интегрирования.

                                                                                                      

                                                                     (т.к. b₃ = 0)

Из решения видим, что θ(t)_{общ. одн.} стремится к нулю при t→ ∞, поэтому система будет устойчива.

Более простой вариант формулировки первой теоремы Ляпунова: Если корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости, то система будет устойчивой.

Теорема 2. Пусть корни характеристического уравнения имеют следующий вид:

 

 

 

 

           

 

 

 

 

Формулировка: Если характеристическое уравнение замкнутой линеаризованной системы имеет хотя бы один положительный вещественный корень или комплексный корень с положительной вещественной частью, то исходная нелинейная система будет неустойчива и никакие добавки в виде отклонений высоких порядков не смогут сделать ее устойчивой.

 

Из решения дифференциального  уравнения видно, что член содержащий положительный корень будет расти до бесконечности при  t→ ∞.

 

Теорема 3. Пусть характеристическое уравнение имеет корни:

 

 

 

 

 

 

Формулировка: Если характеристическое уравнение замкнутой линеаризованной системы имеет хотя бы один нулевой или чисто мнимый корень, то  устойчивость исходной нелинейной системы создать трудно, т.к. добавки высокого порядка могут коренным образом повлиять на устойчивость. Такое состояние системы называют границей устойчивости.