Расчет четырехполюсника

Нахожу частные  решения системы неоднородных дифференциальных уравнений, т. е. определяю   соответствующие  установившемуся режиму:

                                                                       

Запишем определитель исходной системы  уравнений и приравниваем его  к нулю

 

         (2.1.9)

Приравняв к нулю числитель выражения (2.1.9), получим:

 

       (2.1.10)

   Подставив числовые значения  параметров цепи в характеристическое  уравнение (2.1.10), вычислим его  корни 

                                                                                            (2.1.3)

                                                                                               (2.1.4)

Корни характеристического уравнения  – вещественные числа, характер переходного  процесса апериодический, выражение свободного тока будет иметь вид:

 

 

Для расчета постоянных интегрирования определим зависимые начальные  условия. Запишем исходную систему  уравнений (2.1.4) для 

 

                                                               (2.1.5)

 

 

                                                                (2.1.6)

 

Решая данную систему уравнений (2.1.6), получаем:

 

 

 

Для определения    продифференцируем исходную систему уравнений при t=0:

 

                                                   (2.1.7)

 

 

 

 

 

 

 

Решая данную систему уравнений (2.1.7), получаем:

 

 

Определим постоянные интегрирования:

 

                                                           (2.1.8)

 

Решая данную систему уравнений (2.1.8), получаем:

 

 

 

В результате:

 

 

Переходная  характеристика заданного четырёхполюсника имеет вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.2. Расчёт  переходной характеристики цепи  операторным методом.

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.2.1 Операторная эквивалентная схема  цепи после коммутации

 

Поскольку на вход цепи подаётся внешнее  воздействие, равное 1В, то в операторной  форме этому оригиналу соответствует  изображение равное . Соответственно переходная характеристика определится как:

 

     

                                                                            (2.2.1)

 

   

                                                                        (2.2.2)

 

                                                                   (2.2.3)

 

 

 

 

                                                      (2.2.4)

 

 

                                        (2.2.5)

 

                                        (2.2.6)

 

Приравняем  к нулю и найдем корни получившегося уравнения:

 

 

 

;     

 

Далее нахожу производную функции  (2.2.6), получаю:

 

 
             (2.2.7)

 

       Таким образом, переходная характеристика  данного четырёхполюсника определится  как:

 

 

 

Переходная  характеристика заданного четырёхполюсника имеет вид:

 

 

 

   Подставляю  в аналитическое выражение  ряд значений с обязательным включением  t = 0  и t = ∞ , и на основе этого составляю таблицу 2.2.1.

 

Расчет классическим и операторным  методами  практически совпадают, с учетом допустимой погрешности, можно сделать вывод, что переходная характеристика найдена, верно.

3. Расчет импульсной характеристики заданного четырехполюсника.

Импульсной  характеристикой  линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется отношение реакции этой цепи на воздействие бесконечно большой высоты и конечной площади этого импульса:

                                                  (3.1)

Импульсная  характеристика цепи численно равна  реакции цепи на воздействие единичного импульса ( ), а размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.

Импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой  высоты, площадь которого равна 1, называется единичным импульсом. Функция, определяющая единичный импульс, обозначается  δ и называется δ – функцией или функцией Дирака:

                                                                              (3.2)

Для :

                                                                                   (3.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 3.1 Операторная схема цепи.

 

 

На вход рассчитываемой цепи подается напряжение , в операторном виде это напряжение, для расчета импульсной характеристики,  будет равно .

 

Запишем операторное сопротивление  цепи:

 

                                                              (3.4)

Запишем выражение для первого  тока в операторном виде:

 

                               (3.5)

                                                    

Запишем выражение тока третьего через в операторной форме:

 

                                                                         (3.6)

 

Запишем выражение для выходного  напряжения в операторном виде

 

                                                                                 (3.7)

 

Выполним обратное преобразование Лапласа с помощью теоремы  разложения. Обозначим числитель  и знаменатель дроби (3.4) соответственно и :

                

                                                  (3.8)

 

Приравниваем знаменатель выражения (3.8) к нулю -  и находим корни заданного квадратного уравнения:

 

                                                  (3.9)

 

Корни заданного уравнения будут  совпадать с корнями при расчете  переходной характеристики.

;    

 

Найдем производную от знаменателя  дроби  (3.5) то есть

 

            (3.10)

 

В соответствии с теоремой разложения имеет вид

 

                            (3.11)

 

Найдём,

 

                                                                                  (3.12)

 

 Найдём,

 

                                                                              (3.13)

                         

Найдём,

 

                                                                               (3.14)

 

                                       

Найдём,

 

                                                                              (3.15)

 

Найдём,

    

                                                    _(3.16)

 

Найдём,

                                                                                        (3.17)

                          

Подставляем найденные значения  (3.12), (3.13), (3.14), (3.15), (3.16) и (3.17) в выражение (3.11)

 

               (3.18)

 

          Получили  выражение, представляющее собой  импульсную характеристику заданного  четырехполюсника (3.18).                                                 

Используя связь  между переходной и импульсной характеристиками проверяю правильность расчетов по формуле:

                                                                                     (3.19)

 

 

 

 

Делаю вывод  о правильности расчётов. Результаты расчёта  для ряда значений времени, заношу в таблице 2.2.1. График приведён в приложении 2.

 

Таблица 2.2.1           

t, с	0	5*10-5	10-4	1,5*10-4	2*10-4	2,5*10-4	3,5*10-4	0,005	0,02	∞
	1	0,405	-0,288	-0,837	-1,065	-0,918	0,108	-0,023	0,0004	0
	-9,3*103	-1,4*104	-1,3*104	-8,2*103	-770	6,4*103	1,1*104	29	-1,8*10-4	0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Расчёт -параметров.

 

 

 

 

 

 

 

 

Определим сопротивление холостого  входа Z_11x

 

                                                          (4.1)

 

где входное сопротивление со стороны зажимов 1-1`, в режиме холостого хода на зажимах 2-2`, Ом

 

      

 

Определим сопротивление холостого  входа Z_22x

 

                                                                           (4.2)

 

где входное сопротивление со стороны зажимов 2-2`, в режиме холостого хода на зажимах 1-1`, Ом

 

     

 

 

 

 

Определим сопротивление короткого  замыкания Z_11к

                                                                (4.3)

 

где входное сопротивление со стороны  зажимов 1-1`, в режиме короткого замыкания со стороны зажимов 2-2`, Ом

 

   

Определим сопротивление короткого  замыкания Z_22k

 

                                                  (4.4)

 

где входное сопротивление со стороны зажимов 2-2`, в режиме короткого замыкания на зажимах 1-1`, Ом

 

   

По значениям Z_11x, Z_22x, Z_11к, Z_22k определяю А-параметры по формулам (4.5– 4.8)

 

                                                                                   (4.5)

 

где коэффициент передачи по напряжению

      

 

                                                                                        (4.6)

где передаточное сопротивление, Ом

 

     

 

                                                                                             (4.7)

где  передаточная проводимость, См

 

     

 

                                                                                      (4.8)

где отношение токов при режиме короткого замыкания одних из зажимов