Проектирование линейного рекурсивного цифрового фильтра

    Мощным  средством для интерактивного конструирования  фильтров дает проектировщик-анализатор фильтров, вызываемый из командной  строки командой

  fdatool. Он открывает окно с множеством полей и иных деталей интерфейса для выбора типа фильтра и его параметров, а также выбора средств визуализации проектирования фильтров.

Выбираем  тип фильтра. Тип фильтра выбирается из критерий:

- обеспечивается минимальный порядок звеньев

- обеспечивается минимальная неравномерность в полосе пропускания и заграждения

    По  этим критериям выбираем фильтр Чебышева первого рода.

    Заполним  главное окно программы 

      После  нажатия  кнопки Design Filter,  расположенного внизу окна,  вместо  графика технических характеристик появляется  график  АЧХ,  соответствующий введенным данным. Слева от графика в поле Current Filter Information (Информация о проектируемом фильтре)  появляются данные  о порядке передаточной  функции,  о числе звеньев при каскадной реализации с помощью звеньев второго порядка, о стабильности фильтра. Видим, что на данном этапе полученные результаты проектирования полностью совпадают с теми, что были получены выше.

    Интерфейс FDATool позволяет быстро просмотреть не только АЧХ, но и ФЧХ,  время групповой задержки, импульсную и переходную характеристики, карту нулей и полюсов, матрицу sos. Для этого достаточно войти в меню Analysis и выбрать соответствующий вид анализа или воспользоваться кнопками на панели инструментов. Более того, каждый из графиков можно вывести в отдельное графическое окно  с помощью кнопки Full View Analysis. 

Графики АЧХ

 

 

 

По  сравнению  с  аналоговым прототипом частотная характеристика дискретного  фильтра  сильнее  сжимается  по  горизонтали 
 

График  ФЧХ

 

Так же для удобства можно вывести графики  АЧХ и ФЧХ в одном окне

 

Нули  и полюса

 
 

Коэффициенты  полиномов числителя и знаменателя  передаточной функции:

     

Коэффициенты  матрицы SOS:

     Как видно из последних рисунков данные коэффициенты полностью совпадают с расчетными коэффициентами полученными ранее. 

     Квантуем  фильтр-прототип (при форматах представления  данных и способах округления, принятых по умолчанию)

 

АЧХ и  ФЧХ исходного фильтра и квантованного  фильтра

Нули  и полюса исходного фильтра и  квантованного фильтра

    Видно, что характеристики фильтра с  учетом эффекта квантования существенно  отличаются от исходных. Сравним коэффициенты фильтров:

    

     Хорошо  видно, что некоторые коэффициенты знаменателя передаточной функции  фильтра-прототипа, за исключением  последнего, превышают по модулю единицу, в то время как установленный  формат для квантователя Coefficient равен [16 15]. Это означает, что единственный бит, не предназначенный для хранения дробной части числа, модуль которого больше или равен единице, приведет к переполнению. 

 

      Промасштабируем коэффициенты так, чтобы они по модулю не превышали единицу. Это необходимо для повышения точности расчетов.

     

    Сравним коэффициенты фильтров.

    Все коэффициенты знаменателя передаточной функции фильтра-прототипа не превышают  по модулю единицу. 
 
 
 

АЧХ с нормализованными коэффициентами знаменателя передаточной функции

 

     Следующий этап проектирования – подбор параметров квантования с учетом целевого процессора так, чтобы характеристики фильтра  с учетом эффектов квантования обеспечивали требования технического задания.

 

    Тем самым мы уменьшили точность значений до 9 знаков после запятой, что привело  к появлению шумов. Эти искажения  не должны превышать допустимого  значения.

АЧХ исходного  фильтра и квантованного фильтра

 
 

 

      При данном значении квантователей коэффициентов, множимых и сумм величина шумов допустима. Если же точность уменьшать, то шумы становятся не допустимыми.

Коэффициенты  квантованного фильтра:

 
 

ФЧХ исходного  фильтра и квантованного фильтра

 

АЧХ и  ФЧХ исходного фильтра и квантованного  фильтра

 

Нули  и полюсы исходного фильтра и квантованного фильтра

     В области Current Filter Information сообщение “Stable: Yes” – фильтр стабилен. Так же, что фильтр устойчив, можно убедиться по карте Pole/Zero Plot, т.к. передаточная функция построенного квантованного фильтра не имеет полюсов лежащих вне единичного круга. 

 
 
 

Определение структуры фильтра.

    Фильтр  построим в виде последовательного  соединения трех звеньев (одного звена  первого порядка и двух звеньев  второго порядка), так как такая  форма обеспечивает наименьший уровень  собственных шумов.  

Проверка  работы рекурсивного цифрового фильтра 

     Проверим  работу спроектированного рекурсивного цифрового фильтра, для этого  подадим на его вход тестовый сигнал, состоящий из частоты информационных гармоник, побочных гармоник и гауссовского шума, затем посмотрим график выходного сигнала.

     Входной сигнал:

     Берем смесь информационного сигнала  на различных частотах (две в полосе пропускания и две в полосе заграждения) одинаковой амплитуды (равной 1) и шума. 

t=(0:1/10000:1);                                                                                            % Вектор времени

ft=sin(2*pi*500*t)+sin(2*pi*800*t)+sin(2*pi*2300*t)+sin(2*pi*2500*t); %Вектор сигнала

randn('state',0);

fn=ft+0.5*randn(size(t));                                                                          % Вектор белого шума Гаусса

y=fft(fn);                                                                                                % Вектор ДПФ сигнала

m=abs(y);                                                                                                 % Вектор амплитуд 

f=(0:length(y)-1)*10000/length(y);                                                        % Вектор частот

plot(f,m) , xlabel('Frecuency (Hz)'),ylabel('Magnitude (dB)'),grid     

       

                 Спектр сигнала на входе:

 

      Сигнал  на выходе: 

[n,Wn]=cheb1ord(2.2/16,1/16,0.5,45);

[b,a]=cheby1(n,0.5,Wn, 'High');

H=freqz(b,a,2*pi*t);                                                                   %Частотная характеристика фильтра

F=H.*y;                                                                                       % Вектор ДПФ сигнала на выходе

m1=abs(F);

figure;

f1=(0:length(F)-1)*10000/length(F);

plot(f1,m1), xlabel('Frecuency (Hz)'),ylabel('Magnitude (dB)'),grid 

 

      В итоге мы видим, что при подаче на вход фильтра тестового сигнала, он явно подавляется в полосе заграждения, а в полосе пропускания он полностью  проходит.

     Поставленная  задача решена – цифровой рекурсивный  фильтр с требуемыми характеристиками построен.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение 

    Эффективный подход к компьютерной реализации научно-технических  расчетов и, в частности, расчетов электрических цепей в современных условиях связан с применением универсальных вычислительных систем, таких как MATLAB, Mathcad, MATHEMATICA и других. Они обладают развитыми средствами визуализации результатов вычислений и их использование не требует больших затрат времени на составление и отладку программ. Поэтому перечисленные программные средства широко применяются при преподавании инженерных дисциплин во всем мире.

    Диалектический  процесс внедрения вычислительной техники в преподавание в высшей школе за прошедшие два десятилетия  прошел несколько этапов. В настоящее время завершается этап, ориентированный на использование «готовых» программ, предназначенных для решения конкретных задач. Такие программы требуют от студента лишь ввода исходных данных, после чего, нажав на ту или иную клавишу, он получает решение в виде таблиц и графиков. При этом алгоритм вычислений — используемые формулы и последовательность их применения, заданные разработчиком программы, — обычно остается вне поля зрения пользователя.

    Стремительный прогресс в области программных  средств позволил перейти к новому этапу, на котором при решении  задач разумной сложности обучаемый  становится непосредственным исполнителем компьютерных вычислений. Заметим, что практически все задачи, предлагаемые для решения студентам при изучении теории электрических цепей, допускают такое решение с помощью вычислительной системы MATLAB. Овладение основными приемами работы с ней позволяет студенту резко сократить затраты времени на такой рутинный элемент учебной работы, как построение графиков по результатам вычислений и экспериментов при выполнении расчетных заданий и отчетов по лабораторным работам. И преподавателям и студентам необходимо осознать. Что времена вычерчивания графиков карандашом на миллиметровке безвозвратно ушли.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Список  литературы 

1.  Мошиц Г., Хорн П. Проектирование активных фильтров: Пер. с англ. М.:             Мир, 1984.

2.  Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н., Цифровая обработка сигналов: Справочник. – М.: Радио и связь, 1985.

3.  Гольденберг Л. М., Матюшкин Б. Д., Поляк М. Н., Цифровая обработка сигналов: Учебное пособие для вузов. – М.: Радио и связь, 1990.