Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО  Ижевский государственный технический  университет

Кафедра «Конструирование радиоэлектронной аппаратуры» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовому проекту

по дисциплине «Основы радиоэлектроники и связи»

на тему: «Проектирование линейного рекурсивного цифрового фильтра» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнил  студент гр.371ПЗО

Мосунов Д.Г.

Проверил  преподаватель

Ушаков  П.А. 
 
 
 
 
 

Ижевск-2011

Содержание 

Техническое задание 3

Аппроксимация характеристики затухания 4

Эффекты квантования  цифровых фильтров 7

Синтез  и анализ фильтра в среде FDATool пакета Signal Processing 8

Определение структуры фильтра 17

Проверка  работы рекурсивного цифрового фильтра 18

Заключение 20

Список литературы 21

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Техническое задание

   Спроектировать  линейный рекурсивный фильтр при  следующих требованиях и характеристике затухания.

Тип фильтра:   ФВЧ 

Частота дискретизации  f_д = 32 кГц

Требования  к полосе пропускания:

          - граничная частота пропускания f_ГП = 2,2 кГц,

     - допустимый  уровень пульсации в полосе пропускания ∆а = 0,5дБ

Требования  к полосе заграждения:

- граничная   частота заграждения  f_ГЗ = 1,0 кГц,

- необходимое минимальное затухание в полосе заграждения а₀ = 45 дБ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Аппроксимация характеристики затухания 

    Аппроксимацией  фильтра  называют реализуемую  передаточную функцию,  у  которой график характеристики затухания как функции частоты  приближается к одной из идеальных  характеристик. Такая передаточная характеристика должна характеризовать  устойчивое  физически  реализуемое  звено  и  должна  удовлетворять  следующим условиям:

    - она должна быть  рациональной функцией от  s  с вещественными коэффициентами;

    - ее полюсы должны лежать в левой полуплоскости комплексной s-плоскости;

    - степень полинома числителя должна быть меньше или равна степени полинома знаменателя.

      Расчет  аналогового  фильтра   начинается  с  расчета  так   называемого  фильтра прототипа,  представляющего  собой  ФНЧ  с  частотой  среза,  равной 1  рад/с.  Рассчитав ФНЧ, можно несложными преобразованиями изменить его частоту среза, превратить его в ФВЧ, полосовой либо режекторный фильтр с заданными параметрами.

    Спроектируем  аналоговый ФНЧ фильтр-прототип и  преобразуем его в ФВЧ фильтр с заданной частотой среза. Требуемую  последовательность действий оформим  в виде следующих функций MatLab

    Определим минимально необходимый порядок  фильтра, при этом выберем аппроксимацию  по Чебышеву. Фильтры Чебышева имеют  ряд преимуществ по сравнению  с другими фильтрами, такими как: фильтры Баттерфорда  и Эллиптический фильтр, это крутизна нарастания затухания, особенно в районе частоты среза и меньшее число звеньев.   

[n,Wn]=cheb1ord(2.2e3,1.0e3,0.5,45,'s');  %выбор порядка фильтра

n = 

      5

Wn =

          2200

[z,p,k]=cheb1ap(5,0.5);                             %ФНЧ-прототип

[b,a]=zp2tf(z,p,k);                                      %Функция передачи

w0=2.2e3;                                                  %Частота среза

[b1,a1]=lp2hp(b,a,w0);                              %Фильтр ВЧ

f=0:1:10e3;                                                %Вектор частот для расчета

h=freqs(b1,a1,f);                                        %Частотная характеристика

figure

plot(f/1000,abs(h)),                                    %Построение графика АЧХ

title('График АЧХ фильтра'),

xlabel('Частота (кГц)'),

ylabel('Амплитуда (дБ)'),grid

axis tight

figure

plot (f/1000,unwrap(angle(h))),                 %Построение графика ФЧХ

title('График ФЧХ фильтра'),

xlabel('Частота (кГц)'),

ylabel('Фаза (рад)'), grid 
 

    Спроектируем  цифровой рекурсивный фильтр высоких  частот. Поскольку требования к АЧХ  достаточно жесткие и требуется  обеспечить минимальный порядок  фильтра, то выберем аппроксимацию  в виде фильтра Чебышева первого  рода.

    Основное  отличие  применения  функций  для  разработки  цифровых фильтров заключается в другом представлении  задаваемых частот в векторе Wc.

    Все частоты должны задаваться по отношению  к так называемой "частоте Найквиста". Частотой Найквиста называют половину частоты дискретизации сигнала.

    Определим минимальный порядок фильтра-прототипа  с помощью функции.

[n,Wn]=cheb1ord(2.2/16,1/16,0.5,45)

n =

     5 

Wn =

    0.1375

    Найдем  коэффициенты полиномов числителя  и знаменателя передаточной функции  дискретного цифрового фильтра, применив функцию

[b,a]=cheby1(n,0.5,Wn, 'High') 

b =

    0.4154   -2.0768    4.1537   -4.1537    2.0768   -0.4154

a =

    1.0000   -3.3007    4.5570   -3.1902    1.1078   -0.1360 

    C помощью функции:

figure

freqz(b,a)

    выведем графики АЧХ и ФЧХ спроектированного  фильтра.

    Выберем способ реализации передаточной функции  фильтра в виде каскадного соединения звеньев второго порядка. В MatLab для это цели используется функция

[sos,g]=tf2sos(b,a)

    В результате вычисления получим 6-ти столбцовую матрицу sos, каждая строка которой соответствует одной секции второго порядка и устроена следующим образом 

                           [b₀, b₁, b₂, 1, a₁, a₂]

    sos =

        1.0000   -1.0013             0    1.0000   -0.2457             0

        1.0000   -2.0008    1.0008    1.0000   -1.3117    0.6064

        1.0000   -1.9980    0.9980    1.0000   -1.7433    0.9133

    g =

        0.4154 

    Такой строке соответствует функция передачи вида:

    

    Параметр  g – дополнительный множитель (gain), добавляемый к функции передачи, составленной из секций второго порядка. Обычно этот коэффициент учитывают в первой секции фильтра.

    Таким образом, заданные требования к характеристике затухания могут быть выполнены  каскадным соединением трех звеньев  второго порядка, с коэффициентами полиномов числителя и знаменателя  передаточных функций каждого звена, заданными матрицей sos.

    Устойчивость  фильтра можно оценить по расположению нулей и полюсов в комплексной  плоскости z. Воспользуемся следующей функцией, преобразующей коэффициенты полиномов числителя и знаменателя передаточной функции фильтра в координаты нулей и полюсов.

[z,p,k]=tf2zp(b,a)

    z =

       1.0013         

       1.0004 + 0.0012i

       1.0004 - 0.0012i

       0.9990 + 0.0007i

       0.9990 - 0.0007i 

    p =

       0.8717 + 0.3918i

       0.8717 - 0.3918i

       0.6559 + 0.4198i

       0.6559 - 0.4198i

       0.2457           

    k =

        0.4154

    Видим, что все полюсы лежат в пределах единичной окружности. Следовательно, синтезированная передаточная функция характеризует устойчивую линейную дискретную цепь. 

    Эффекты квантования цифровых фильтров

      Характеристики фильтра,  рассчитанного  на компьютере и  реализованного  на конкретном  цифровом  сигнальном  процессоре (DSP),  могут  существенно  отличаться.  Это связано с тем, что разные цифровые системы (в том числе и персональный компьютер, на котором  выполнялся  расчёт  фильтра)  используют  различные  типы  арифметики (с плавающей или фиксированной точкой), имеют различные форматы и, как следствие, различный  динамический  диапазон  и  различную точность  представления  чисел.  В  итоге параметры фильтров, отсчёты входных и выходных сигналов представляются лишь значениями  из  конечного  набора  чисел,  то  есть  являются  квантованными  по  уровню.  Эффекты квантования отражаются также и на результатах математических операций, выполняемых сумматорами и умножителями.  Из сказанного следует, что процесс проектирования должен включать  процедуры коррекции полученных результатов  с учётом эффектов квантования применительно к тем процессорам, на которых предполагается реализовывать синтезируемые фильтры. Эти процессоры, а также вычислительные системы, построенные на их  основе,  будем  называть  целевыми (в  англоязычной  литературе — Target Processors, Target Computers).

    Помимо  искажений АЧХ, в результате квантования  появляются шумы, фильтр может  стать  неустойчивым, и  возникнут  разные виды генерации (например, генерация  периодических колебаний, предельные циклы высокого и низкого уровней), что в принципе затрудняет определение АЧХ.

     Синтез  и анализ фильтра  в среде FDATool пакета Signal Processing 

    В MATLAB (начиная с версий 6.0) в пакете Signal Processing имеется графическая среда (GUI) FDAТool (Filter Design & Analysis Tool),  позволяющая решать ряд практически важных задач, связанных с проектированием цифровых фильтров. Главное - это возможность весьма  точно моделировать  разнообразные структуры цифровых  фильтров  в режиме нелинейных преобразований, связанных с эффектами квантования, и возможность оценивать интегральные параметры фильтров.