Принцип действия РТС ПИ

 

Знайдемо параметри (31,5) – коду БЧХ:

• швидкість коду R=5/31;
• збитковість коду ρ=26/31;
• потужність коду J=2⁵=32;
• кодова відстань d = 2^к-1 =16;
• кратність помилок, що вірогідно виправляються, t=7.

Складемо рівняння кодування. Помітимо, що у випадку θ=х=р, генераторний поліном h(x)= . Однак у випадку θ=x²⁵=х⁴+1 необхідно переупорядкувати елементи М-послідовності з першої таблиці. Для цього встановимо зв'язок між елементами а_i (х) полючи першої таблиці й елементами b_i(x) полючи другої таблиці в аналітичному виді

 (5.3)

У загальному випадку це співвідношення необхідно представити у виді

  (5.4)

Розкриваючи добуток поліномів  у правій частині за правилами  множення і додавання по подвійному модулі, і дорівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х , знаходимо рівняння кодування побудованого (31,5) – коду БЧХ:

 (5.5)

Складемо рівняння декодування, для цього скористаємося методикою з [3] і на підставі поля Галуа табл.5.2 (чи табл.5.1) знаходимо рівняння декодування для елементів поля:

(5.6)

 

 На підставі  системи (5.6) складаємо рівняння  мажоритарного декодування для двійкових координат довільного кодового слова виду (5.1) чи (5.2):

 

 

 

 

 

 

 

(5.7)

 

 

 

 

5.2 Порывняння коректуючого кода з границями коректувальних можливостей лiнійних кодів.

 

Проведемо порівняння коригувальних  властивостей обраного М(31,5) коду з  границями Хеммінга і Варшамова-Гілберта. Верхня границя Хеммінга визначається співвідношенням:

 (5.8)

де H(l) = -llog₂l - (1 - l)log₂(1 - l). .

Верхня границя Хеммiнга  визначає максимальну швидкість  передача інформації k/n (або, що те ж саме, мінімальну збитковість) при необхідній виправляючій спроможності коду, що дорівнює d/2.

Нижня границя Варшамова Гілберта визначається співвідношенням:

 (5.9)

Нерівність (5.9) становить нижню границю Варшамова-Гiлберта для швидкості передачі. Іншими словами, ідеальний код має параметри не гірші від визначених оцінкою.

Порівняння коригувальних властивостей даного М(31,5) коду виконано за допомогою ЕОМ. У результаті одержали, що обраний код і його коригувальні властивості задовольняють вимогам, пред'явленим теоретично кращим кодом. Графічно зобразимо на рисунку 5.1:

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 5.1. Межі коректувальних можливостей двійкових блокових кодів

5.3 Еквівалентна ймовірність помилки для двох варіантів систем.

Наведемо порівняльний аналіз завадостійкості  двох методів передавання: звичайне бінарне передавання (КІM-ФМ) та передавання  з кодуванням коду Хеммінга передаваємих відліків повідомлення D(t), як показано на рис. 8.10. При цьому припускається поелементний (посимвольний) метод приймання, а також однакова швидкість передавання інформації та однакова енергія усіх складних сигналів, тривалістю T кожний. Припустимо, для визначеності, що T – період дискретизації за Котельниковим передаваємого повідомлення D(t). Імовірність помилки у прийманні одного символу при КІM-ФМ має вигляд:

p_е = 0,5-Ф( q₀), де = P_st₀/N₀. (5.10)

При використанні коректувальних кодів  діє два протилежних фактора, впливаючих на завадостійкість. З одного боку, щоб швидкість передавання повідомлення була однаковою, тривалість t_k кодованих символів необхідно зменшити, що призводить до зменшення енергії імпульсу, отже, ймовірність помилки у прийманні кожного елемента кодованого сигналу збільшується:

p¢_е = 0,5-Ф( q_k) = 0,5-Ф( q₀), (5.11)

де R = k/n – швидкість передавання коду, q_k = q₀. З другого боку, частина помилок у процесі декодування виправляється, що може у підсумку збільшити завадостійкість поелементного методу приймання. Ясно, що при звичайній KIM помилкові символи не коректуються. Неважко зрозуміти, що вплив цих факторів істотно залежить від відношення сигнал/шум на вході приймача. Завдяки коректувальним властивостям коду, частина помилок тепер може бути виправлена оскільки код Хеммінга виправляє однократні помилки (t = 1), тоді ймовірність правильного приймання кодового слова (усіх n символів), відповідно з формулою Бернуллі, дорівнює:

p_пp(n) = . (5.12)

Отже ймовірність  помилкового приймання всієї  кодової комбінації

p_пом(n) = , (5.13)

оскільки  на практиці важливим є випадок, коли << 1.

Співвідношення (5.12) визначає собою  одночасно і оцінку для ймовірності  правильного приймання блока з k інформаційних символів. Тому еквівалентну ймовірність помилки на двійковий символ p_екв можна обчислити, вважаючи, що p_екв визначає еквівалентний канал без кодування, у якому k двійкових символів передаються з достовірністю (5.12). Таким чином, рівняння:

p_{пp eкв}(k) = (1- p_eкв)^k » (1-k p_eкв), (5.14)

є рівнянням, яке разом з (5.12) визначає верхню границю для еквівалентної ймовірності помилки. Із співвідношень (5.12),(5.13) та (5.14) знаходимо, що

 (5.15)

звідки, дорівнюючи p_пр(n) = p_{пр екв}(k), знаходимо

. (5.16)

Порівнюючи ймовірність помилки  на символ (5.10) та (5.16) можна вважати введення кодування доречним, якщо p_eкв < p_е, чи інакше, якщо виконується умова:

   . (5.17)

З порівняння кривих 2 та 3 витікає, що при великому відношенні сигнал/шум на вході приймача збиткове кодування забезпечує енергетичний виграш порівняно із звичайним передаванням, так як у цьому випадку однократні помилки стають найбільш імовірними, але саме такі однократні помилки виправляє код Хеммінга. Ціна енергетичного виграшу полягає в ускладнені пристроїв формування та обробки сигналів, а також у збільшенні ширини спектра сигналу.

Результати  аналітичних досліджень та моделювання  на ЕОМ показують, що енергетичний виграш кодування (ЕВК) циклічних кодів, порівняно із системою, що використовує КІМ-ФМ сигнали без кодування.

 

 (5.18)

 

 

 

Рис. 5.2. Залежність ймовірності помилки  розрізнення повідомлень при  різних методах передавання та приймання: 1 – по елементне приймання з кодуванням, 2 – по елементне приймання без кодуванням

5.4 Розробка структурних схем пристроїв кодування та декодування вибраного коду.

Приведемо схему кодера (31,5) – коду БЧХ, побудовану на основі рівняння кодування (5.5).

Робота кодера (рис. 5.3) відбувається наступним чином. Інформаційні символи із вхідного регістра переписуються у кодуючий регістр. Після цього на першому кроці буде обчислений перший перевірочний символ, що запишеться у крайній ліворуч розряд регістра. При цьому b_і+3 перепишеться на місце b_і+2 і т. д., а символ b₀ буде спрямований до каналу зв'язку. Аналогічним чином відбувається робота кодера n кроків. Таким чином, за n тактів у канал надійде все кодове слово, після чого кодуючий регістр скидається у нуль і готовий кодувати черговий вектор інформаційних символів.

 

 

 

 

 

Рис. 5.3 Схема кодера (31,5) -коду БЧХ

Для побудови декодера на основі мажоритарного способу декодування необхідно скласти лiнійно незалежні перевірочні рівняння. Ці рівняння легко знайти, якщо збудувати і упорядкувати елементи поля GF(2^k) відповідно до виду наданого первісного незвідного полiнома h(x). З цієї таблиці знаходимо всі можливі лiнійно незалежні перевірочні рівняння, як для самих елементів, так і для координат цих елементів (5.7):

З (5.7) видно, що у кожне перевірочне  рівняння (його праву частину) входить тільки 2 символи, причому кожний символ входить тільки в одне перевірочне рівняння. Таким чином одержуємо максимально можливу кількість l незалежних перевірочних співвідношень при заданій довжині коду, що визначає коректувальну спроможність коду. Цей висновок справедливий для довільних кодів максимальної довжини n = 2^k-1. При цьому число t виправляємих помилок визначається рівнянням

 

t = (l-1)/2 = 2^k-2-1,  (5.19)

 

де k – степінь первісного незвідного полiнома h(x), у згоді з яким будується код.

Відповідно до перевірочних співвідношень (5.7) на рис. 5.4 представлена схема декодера циклічного (31,5)-коду з мажоритарним способом декодування, де реалізовано також тривiальне перевірочне рівняння: a₀ = a₀.

Декодування вхідної послідовності  відбувається за допомогою трьох  скінченних автоматів D₁, D₂ та D₃, побудованих на логічних елементах.

 

Рис.5.4 Схема мажоритарного декодера

До автомата D₁ символи надходять послідовно один за одним з каналу, тобто автомат D₁, становить регістр-буфер на n символів. Коли всі cимволи кодового слова, передані по каналу, будуть записані у регістрі автомата D₁, це слово перепишеться у автомат D₂, а у автомат D₁ почнуть записуватися, послідовно один за одним, символи наступного кодового слова, що передаються по каналу.

Структура автомата D₂ визначається обраним способом декодування.

Автомат D₃ становить, по суті, інформаційний регістр зсуву, що містить k коректованих інформаційних символів.

Автомат D₂ реалізує мажоритарне декодування і складається з кільцевого регістра зсуву, суматорів за модулем 2, що вирішують разом з кільцевим регістром систему перевірочних співвідношень (5.7), та мажоритарного елемента (МЕ). Після того, як прийняте (вхідне) слово буде переписано із автомата D₁ у кільцевий регістр автомата D₂, відбувається обчислення значень символів a₀ згідно з (5.7) і МЕ виносить рішення (по більшості однакових символів) про значення переданого інформаційного символу . Це оцінене значення інформаційного символа записується у інформаційний регістр D₃. Тому що розглядаємий код є циклічним, для декодування інших символів також може бути використана обрана система розділених перевірок (5.7), оскільки контрольним рівнянням (5.7) задовольняє будь-яке кодове слово і в тому числі слово, отримане з прийнятої послідовності циклічним зсувом. При цьому, для декодування інформаційного символа достатньо провести у кільцевому регістрі циклічне зсування символів декодуємого слова на i елементів праворуч і застосувати рішення по більшості.

Очевидно, якщо при передаванні спотворилися t £ 3 символів кодового слова, то за допомогою перевірочних співвідношень (5.7) всі вони будуть виправлені.

6. Вибір найкращого варіанта  системи зв’язку

Важливою задачею в теорії і  техніці зв'язку є задача аналізу  і порівняння між собою різноманітних РТС ПІ по степеню використання ними основних ресурсів каналу, таких як пропускна спроможність, потужність сигналу і смуга займаних частот. При запроваджені критеріїв ефективності РТС ПІ [6, 15], вірність передавання вважається заданою і характеризується, як відзначалося раніше, ймовірністю помилки в прийманні одиночного символу при передаванні дискретних повідомлень, або відношенням сигнал/ шум на виході демодулятора при передавання неперервних повідомлень.

Для оцінки ефективності РТС ПІ в роботі [6] введені коефіцієнт b використання каналу по потужності (енергетична ефективність) і коефіцієнт g використання каналу по смузі частот (частотна ефективність):

 

b = R/ , (6.1)

g = R/Df_еф. (6.2)

де R – швидкість передавання інформації; = (P_s/N₀)_вх – відношення потужності сигналу до енергетичного спектра шуму; Df_eф – ефективна ширина спектра сигналу.

Розглянемо більш докладно фізичну  суттєвість означених критеріїв. Враховуючи, що R = I /T_s, і позначаючи E_s /I = E_b, запишемо для коефіцієнта b очевидний ланцюжок рівнянь

b = , (6.3)

де b_E – критерій b_E-ефективності.

Таким чином, чим менша кількість  енергії E_b витрачається на передавання одного біта інформації в заданих шумах N₀, тим вище енергетична ефективність b. Отже, питому швидкість b завжди бажано максимізувати.

Коефіцієнт g визначає швидкість передавання інформації в одиничній смузі частот. Очевидно, що і цей показник також бажано максимізувати. Однак неважко зрозуміти, що по-своєму фізичному сенсу ці параметри питомих швидкостей знаходяться в протиріччі, аналогічно тому, як вірність передавання і швидкість передавання, при інших однакових умовах. В якості узагальненої характеристики ефективності РТС ПІ часто виступає коефіцієнт h використання пропускної спроможності системи зв'язку (інформаційна ефективність)

h = , (6.4)

де C_ki – пропускна спроможність канального тракту з номером i; C – пропускна спроможність спільного тракту багатоканальної РТС ПІ.

 Інформаційна ефективність  РТС ПІ:

Помітимо, що вхідне відношення сигнал/ шум , можна надати в вигляді

. (6.5)

 З урахуванням  формули Шеннона, інформаційну ефективність одержимо у вигляді

h = g/log (1 + g/b). (6.6)

Енергетична ефективність b, на підставі (10.119), визначається залежністю

b = g/(2^g/h-1). (6.7)

Якщо в  системі зв'язку застосовуються найкращі методи передавання і приймання, включаючи методи кодування і декодування, то таку систему називають ідеальною системою за Шенноном. Якщо ж в системі зв'язку застосовується тільки найкращий метод приймання, при заданому методі передавання, то таку систему називають ідеальною за Котельниковим. Теорія ідеальних систем за Котельниковим і Шенноном вказала на принципові можливості вдосконалення РТС ПІ і дозволила вирішити ряд важливих питань теорії і техніки передавання інформації.

З прийнятих  означень виходить, що для системи  ідеальної за Шенноном коефіцієнт h = 1. В цьому випадку співвідношення (6.7) слід розглядати як граничну залежність між b і g:

  b = g / (2^g-1). (6.8)