Нулевая и альтернативная гипотеза. Ошибки 1 и 2 рода

 

    Казахстанско-Российский  Медицинский Университет

Кафедра общественного  здравоохранения.

 

 

СРС

                   

 

На тему: Нулевая и альтернативная гипотеза.    

                    Ошибки 1 и 2 рода.

 

 

 

 

 

 

Выполнил: Фомин Родион

Курс 3

Факультет ОМ

Проверила: Ахметова Р. Л.

 

 

 

 

Алматы 2012

 

Содержание:

1.Введение.

А) Гипотеза в статистике

Б) Простая и нулевая  гипотеза

В) Альтернативная гипотеза в статистике

Г) Статистический критерий

Д) Критическая область  и область допустимых значений

2. Понятие нулевой и альтернативной гипотезы.

3. Проверка статистических гипотез

А) Этапы проверки статистических гипотез

Б) Сущность задачи проверки статистических гипотез

В) Типовые распределения

Г) Проверка гипотез о законе распределения

4. Ошибки 1 и 2 рода

5.Вывод

6.Литература

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

Гипотеза в  статистике — есть некое научное предположение, которое необходимо проверить и далее принять или отвергнуть.

 

Статистической гипотезой  называют предположение о свойстве генеральной совокупности, которое  можно проверить, опираясь на данные выборки. Её обозначают буквой Н (от латинского слова hypothesis).

 

Простая и нулевая  гипотеза

 

Простая гипотеза однозначно характеризует параметр распределения  случайной величины.

 

Сложная гипотеза состоит  из конечного или бесконечного числа  простых гипотез, здесь указывается  некоторая область вероятных  значений параметра.

 

Нулевая гипотеза (Но) — это гипотеза о том, что есть две совокупности, которые сравниваются по одному или нескольким признакам, не отличаются. При этом предполагают, что действительное различие сравниваемых величин равно нулю, а выявленное по данным отличие от нуля несет случайный характер. Нулевая гипотеза отвергается в тех случаях, когда по выборке получается результат, который при истинности выдвинутой нулевой гипотезы маловероятен. Границей маловероятного или невозможного обычно считают а = 0,05 или 0,01; 0,001.

 

Параметрическая гипотеза —  это гипотеза о параметрах генеральной  совокупности.

 

Непараметрическая гипотеза — это гипотеза о параметрах распределения.

 

Альтернативная  гипотеза в статистике

 

Альтернативная гипотеза (Нa). При такой гипотезе исследуемый  фактор оказывает существенное влияние. Это означает, что х1 не равно х2. Ефакт = |хi – х| возникает как результат  влияния фактора. При существенном влиянии фактора возникает новая  совокупность с новыми характеристиками.

 

 

Статистический  критерий

 

Статистический критерий представляет из себя определенное правило, устанавливающее условия, при которых  проверяемую нулевую гипотезу нужно  либо отклонить, либо не отклонять. Критерий проверки статистической гипотезы определяет, противоречит ли выдвинутая гипотеза фактическим данным или не противоречит.

 

Критическая область  и область допустимых значений

 

Критическая область представляет из себя область, попадание в которую  значения статистического критерия приводит к отклонению Нo. Вероятность  попадания значения критерия в такую  область равняется принятому  уровню значимости. Если вычисляемое  значение критерия попадет в критическую  область, то На отклоняется, так как  она противоречит фактическим данным. В зависимости от формулировки альтернативной гипотезы критическая область может  быть левосторонняя или правосторонняя, двухсторонняя или односторонняя.

 

Область допустимых значений дополняет критическую область. Если значение критерия попадт в данную область, то это может говорить о  том, что выдвинутая гипотеза На не противоречит фактическим данным, т. е. Нo не отклоняется.

 

Точки, разделяющие критическую  область и область допустимых значений, называются критическими точками (или границами критической области).

 

 ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ

Этапы проверки статистических гипотез

 

1. В виде гипотезы формулируется  задача исследования.

2. Выбирают статистическую  характеристику гипотезы.

3. Выбирают испытуемую  и альтернативную гипотезы на  основе анализа возможных ошибочных  решений и их последствий.

4. Определяют область  допустимых значений, критическую  область, а также критическое  значение статистического критерия  по соответствующей таблице. 

5. Вычисляют фактическое  значение статистического критерия.

6. Проверяют испытуемую  гипотезу на основе сравнения  критического и фактического  значений критерия, и в зависимости  от результатов проверки гипотеза  либо принимается, либо отклоняется.

Сущность задачи проверки статистических гипотез

Статистическая гипотеза представляет собой некоторое предположение о законе распределения случайной величины или о параметрах этого закона, формулируемое на основе выборки [3, 5, 11]. Примерами статистических гипотез являются предположения: генеральная совокупность распределена по экспоненциальному закону; математические ожидания двух экспоненциально распределенных выборок равны друг другу. В первой из них высказано предположение о виде закона распределения, а во второй – о параметрах двух распределений. Гипотезы, в основе которых нет никаких допущений о конкретном виде закона распределения, называют непараметрическими, в противном случае – параметрическими.

Гипотезу, утверждающую, что различие между сравниваемыми характеристиками отсутствует, а наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями  в выборках, на основании которых  производится сравнение, называют нулевой(основной) гипотезой и обозначают Н₀. Наряду с основной гипотезой рассматривают и альтернативную (конкурирующую, противоречащую) ей гипотезу Н₁. И если нулевая гипотеза будет отвергнута, то будет иметь место альтернативная гипотеза.

Различают простые и сложные  гипотезы. Гипотезу называют простой, если она однозначно характеризует параметр распределения случайной величины. Например, если l является параметром экспоненциального распределения, то гипотезаН₀ о равенстве l =10 – простая гипотеза. Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или бесконечного множества простых гипотез. Сложная гипотеза Н₀ о неравенстве l >10 состоит из бесконечного множества простых гипотезН₀ о равенстве l =b_i , где b_i – любое число, большее 10. Гипотеза Н₀ о том, что математическое ожидание нормального распределения равно двум при неизвестной дисперсии, тоже является сложной. Сложной гипотезой будет предположение о распределении случайной величины Х по нормальному закону, если не фиксируются конкретные значения математического ожидания и дисперсии.

Проверка гипотезы основывается на вычислении некоторой случайной  величины – критерия, точное или  приближенное распределение которого известно. Обозначим эту величину через z, ее значение является функцией от элементов выборкиz=z(x₁, x₂, …, x_n). Процедура проверки гипотезы предписывает каждому значению критерия одно из двух решений – принять или отвергнуть гипотезу. Тем самым все выборочное пространство и соответственно множество значений критерия делятся на два непересекающихся подмножества S₀ и S₁. Если значение критерия z попадает в область S₀, то гипотеза принимается, а если в область S₁, – гипотеза отклоняется. Множество S₀ называется областью принятия гипотезы или областью допустимых значений, а множество S₁ – областью отклонения гипотезы или критической областью. Выбор одной области однозначно определяет и другую область.

Принятие или отклонение гипотезы Н₀ по случайной выборке соответствует истине с некоторой вероятностью и, соответственно, возможны два рода ошибок. Ошибка первого рода возникает с вероятностью a тогда, когда отвергается верная гипотеза Н₀ и принимается конкурирующая гипотеза Н₁. Ошибка второго рода возникает с вероятностью b в том случае, когда принимается неверная гипотеза Н₀, в то время как справедлива конкурирующая гипотеза Н₁. Доверительная вероятность – это вероятность не совершить ошибку первого рода и принять верную гипотезу Н₀. Вероятность отвергнуть ложную гипотезу Н₀ называется мощностью критерия. Следовательно, при проверке гипотезы возможны четыре варианта исходов, табл. 3.1.

Таблица 3

Гипотеза Н0	Решение	Вероятность	Примечание
Верна	Принимается	1–a	Доверительная вероятность
	Отвергается	a	Вероятность ошибки первого рода
Неверна	Принимается	b	Вероятность ошибки второго рода
	Отвергается	1–b	Мощность критерия

Например, рассмотрим случай, когда  некоторая несмещенная оценка параметра q вычислена по выборке объема n, и эта оценка имеет плотность распределения f(q ), рис. 3.1.

Рис. 3.1. Области и отклонения гипотезы

Предположим, что истинное значение оцениваемого параметра равно Т. Если рассматривать гипотезу Н₀ о равенстве q =Т, то насколько велико должно быть различие между q и Т, чтобы эту гипотезу отвергнуть. Ответить на данный вопрос можно в статистическом смысле, рассматривая вероятность достижения некоторой заданной разности между q и Т на основе выборочного распределения параметра q .

Целесообразно полагать одинаковыми  значения вероятности выхода параметра q за нижний и верхний пределы интервала. Такое допущение во многих случаях позволяет минимизировать доверительный интервал, т.е. повысить мощность критерия проверки. Суммарная вероятность того, что параметр q выйдет за пределы интервала с границами q _1–a /2 и q a _/2, составляет величину a . Эту величину следует выбрать настолько малой, чтобы выход за пределы интервала был маловероятен. Если оценка параметра попала в заданный интервал, то в таком случае нет оснований подвергать сомнению проверяемую гипотезу, следовательно, гипотезу равенства q =Т можно принять. Но если после получения выборки окажется, что оценка выходит за установленные пределы, то в этом случае есть серьезные основания отвергнуть гипотезу Н₀. Отсюда следует, что вероятность допустить ошибку первого рода равна a (равна уровню значимости критерия).

Если предположить, например, что  истинное значение параметра в действительности равно Т+d, то согласно гипотезе Н₀ о равенстве q =Т – вероятность того, что оценка параметра q попадет в область принятия гипотезы, составит b , рис. 3.2.

При заданном объеме выборки вероятность  совершения ошибки первого рода можно  уменьшить, снижая уровень значимостиa . Однако при этом увеличивается вероятность ошибки второго рода b (снижается мощность критерия). Аналогичные рассуждения можно провести для случая, когда истинное значение параметра равно Т – d.

Единственный способ уменьшить  обе вероятности состоит в  увеличении объема выборки (плотность  распределения оценки параметра  при этом становится более "узкой"). При выборе критической области  руководствуются правилом Неймана  – Пирсона: следует так выбирать критическую область, чтобы вероятность a была мала, если гипотеза верна, и велика в противном случае. Однако выбор конкретного значения a относительно произволен. Употребительные значения лежат в пределах от 0,001 до 0,2. В целях упрощения ручных расчетов составлены таблицы интервалов с границами q _1–a /2 и q a _/2для типовых значений a и различных способов построения критерия.

При выборе уровня значимости необходимо учитывать мощность критерия при  альтернативной гипотезе. Иногда большая  мощность критерия оказывается существеннее малого уровня значимости, и его  значение выбирают относительно большим, например 0,2. Такой выбор оправдан, если последствия ошибок второго  рода более существенны, чем ошибок первого рода. Например, если отвергнуто правильное решение "продолжить работу пользователей с текущими паролями", то ошибка первого рода приведет к  некоторой задержке в нормальном функционировании системы, связанной  со сменой паролей. Если же принято  решения не менять пароли, несмотря на опасность несанкционированного доступа посторонних лиц к  информации, то эта ошибка повлечет более серьезные последствия.

В зависимости от сущности проверяемой  гипотезы и используемых мер расхождения  оценки характеристики от ее теоретического значения применяют различные критерии. К числу наиболее часто применяемых  критериев для проверки гипотез  о законах распределения относят  критерии хи-квадрат Пирсона, Колмогорова, Мизеса, Вилкоксона, о значениях параметров – критерии Фишера, Стьюдента.

Типовые распределения

При проверке гипотез широкое применение находит ряд теоретических законов  распределения. Наиболее важным из них  является нормальное распределение. С  ним связаны распределения хи-квадрат, Стьюдента, Фишера, а также интеграл вероятностей. Для указанных законов функции распределения аналитически не представимы. Значения функций определяются по таблицам или с использованием стандартных процедур пакетов прикладных программ. Указанные таблицы обычно построены в целях удобства проверки статистических гипотез в ущерб теории распределений – они содержат не значения функций распределения, а критические значения аргумента z(a ).

Для односторонней критической  области z(a ) = z_1–a , т.е. критическое значение аргумента z(a ) соответствует квантили z_1–aуровня 1– a , так как  , рис. 3.3.