Свойства и графики элементарных функций

КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 

Реферат: 

Свойства  и графики элементарных функций 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Студента 1 курса ФТФ

Группы  ОС-1

Масленникова  Николая Александровича 
 
 
 
 

Краснодар

      2007г

 

Содержание

                  Содержание:

1. Линейные функции (f(x)=kx+b)    3 ст.

2. Степенные функции (f(x)=x^α)    4

2.1 если α N, D(f)=R       4

2.2 если α Z, α ≤ 0, D(f)= R \ {0}    5

2.3 если α = ( ), при α > 0,       при α < 0; D(f) = { x : x ≥ 0}    6

2.4 Квадратичная функция     7

3. Показательные функции (f(x)=a^x)   8

3.1 вида a>0         

      вида a<0         8

3.2 вида a = e        9

4. Логарифмическая f-я f(x)= log_ax, (a>0, a≠1) 9

      a>1, D(f) = { x : x>0}      9

      a<1, D(f) = { x : x>0}      10

5.  Тригонометрические функции    10

5.1  f-я вида y= sin x       10

5.2 f-я вида y= cos x       11

5.3 f-я вида y= tg x       11

5.4 f-я вида y= ctg x       12

6. Обратные тригонометрические функции (f^-1)  13

6.1  f-я вида y= arcsin x      13

6.2 f-я вида y= arccos x      13

6.3 f-я вида y= arctg x       14

6.4 f-я вида y= arcctg x      14

7. Гиперболические функции     15

7.1  f-я вида y= sh x; y= ch x     15

7.2 f-я вида y= th x; y= cth x     15

Литература         16 

 

 

 

Линейная  функция

1. Линейная функция – это функция вида f(x)=kx+b; D(f)=R. Число k называется угловым коэффициентом, а число b – свободным членом. Графиком Г_f линейной функции служит прямая на координатной плоскости xOy,  не параллельная оси Oy.

Угловой коэффициент  k равен тангенсу угла α наклона графика Г_f к горизонтальному направлению – положительному направлению оси Ox.  

 

График  линейной функции (прямая). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Степенная функция

2. Степенная функция – это функция вида f(x)=x^α, где    α R. Рассматриваются такие случаи:

2.1 Если α N,то D(f)=R. Тогда f(0)=0 , f(1)=1; если число α – четное, то и функция f – четная (то есть f(-x)=f(x) при x D(f); если число α – нечетное, то и функция f – нечетная (то есть f(-x)=-f(x) при всех x D(f)). 

 

График  степенной функции при α = 1, 2, 3, 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.2  Если α Z, α ≤ 0, D(f)= R \ {0}. Ситуация с четностью и нечетностью при этом такая же, как и для α > 0: если α – четное число, то и f(x)= – четная функция; если α – нечетно число, то и F(x) – нечетная функция. 

 

График  степенной функции при α = 0, -1, -2, -3 

Снова заметим, что f(1)=1 при всех α. Если α=0, то f(1)==x⁰=1 при всех x, кроме x=0 (выражение 0⁰ не имеет смысла). 
 
 
 
 
 

2.3 Если α – не целое число (α = ), то, по определению, при α > 0: D(f) = { x : x ≥ 0}; тогда f(0) = 0; f(1) = 1 

 

График  степенной функции при α > 0 

При α  < 0, по определению, D(f)={x

: x>0}; тогда f(1)=1. 

График  степенной функции при α < 0. 
 
 
 
 
 
 

Квадратичная  функция 

2.4 Квадратичная функция – это функция вида f(x)=ax²+bx+c; D(x)=R, причем a не равно нулю. Графиком Г_f квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси Oy. При b=c=0 вершина оказывается в точке О(0;0).

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Парабола  y=ax² (a>0)

В общем случае вершина лежит в точке M₀(x₀;y₀): x₀= ; y₀=f(x₀)= . Если a>0, то “рога” параболы направлены вверх, если a<0, то вниз.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Парабола  с вершиной в точке M₀ (a>0)

Показательная функция

3. Показательная функция – это функция вида f(x)=a^x (a>0, a≠1), где a – основная показательная функция. Для нее D(f)=R, f(0)=1, f(1)=a. Рассмотрим:

3.1 Если a > 1 и 0<a<1 то графики функции имеет вид: 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

График  показательной функции при a > 1. 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

График  показательной функции при 0<a<1. 
 
 
 
 

3.2 Если a = e , зная, что (e^x)' = e^x, => угловой коэффициент касательной к графику функции в точке x=0 равен единице (касательная и ось абсцисс образует угол 45^o). 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

График  показательной функции a = e. 

Логарифмическая функция

4. Логарифмическая функция – это функция вида  f(x)= log_ax (a>0, a≠1). Для нее D(f) = { x : x>0}, f(1)=0, f(a)=1, и при a>1 график имеет такой вид: 

График  логарифмической функции при a>1 
 
 

Рассмотрим  график получаемый при  условии, что  a<1:

 

Число a называется основанием логарифма. Обратим внимание на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырех чертежах изображена одна и та же линия. 
 

Тригонометрические  функции. 

5. Тригонометрические функции.

5.1 Функция синус: f(x) = sin x. Для нее D(f) = R; функция периодичная с периодом и нечетная. Ее график таков: 

График  функции sin x 
 
 
 
 

5.2 Функция косинус: f(x) = cos x. Эта функция связана с синусом формулой приведения: cos x = sin( ); D(f)=R; период функции косинуса равен ; функция cos – четная. Ее график таков:

График  функции cos x 
 

5.3 Функция тангенса: f(x) = tg x. По определению, . Функция tg нечетная и периодична с периодом; , то есть x не может принимать значений при которых cos x (стоящий в знаменателе) обращается в нуль.

График  функции tg x

5.4 Функция котангенс: f(x)= ctg x. По определению . Если ( ), то . Функция котангенс нечетная и периодична с периодом ; , то есть x не может принимать значения вида при которых sin x обращается в 0. 

График  функции ctg x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Обратные тригонометрические функции 

6. Обратные тригонометрические функции – это f-и вида: arcsin (sin^1-) – обратная главной ветви синуса ; arcos (cos^-1) – обратная главной ветви косинуса; arctg (tg^-1) – обратная главной ветви тангенса; arcctg (ctg^-1) – обратная главной ветви котангенса; таким образом:

6.1  arcsin: D(y) = [-1;1]; E(y) = [ ]. y = arcsin x , если siny = x и y  

Графики главной ветви sin и arcsin. 

6.2  arccos: D(y) = [-1;1]; E(y) = [ ].y = arccos x, если  cosy = x и y  

 
 

6.3 arctg: D(y) = R; E(y) = ( ).y = arctg x, x ( ); если tgy=x и y ( ), т.к.: tg: E(y)=R; D(y)=( )k Z. 

Графики главной ветви tgx и arctgx 

6.4  arcctg: D(y) = R; E(y) = ( ).y = arcctg x, x ( ); если ctg y = x и y ( ), т.к.: ctg: E(y) =R; D(y)=( ). 

 
 

Гиперболические функции 

7. Гиперболические функции. Так называются функции:

, , , ;… (гиперболические синус, косинус, тангенс, котангенс, …); они определены для всех значений x, исключая cthx, который теряет смысл при x = 0. Эти функции проявляют замечательную аналогию с тригонометрическими функциями.

7.1 График гиперболического синуса и косинуса 

 

7.2 График гиперболического тангенса и котангенса 

Литература

1. Курс дифференциального и интегрального исчисления 1-3 том Г.М. Фихтенгольц.
2. Курс математического анализа 1-2 том Л.Д. Кудрявцев.
3. Математика М.И. Сканави и В.В. Зайцев.