Специальные задачи линейного программирования

    Вторым, но не менее важным источником, служит книга «Методы оптимизации» (Харчистов  Б.Ф.). В ней изложены основные понятия  и теоретические положения курса "Методы оптимизации". Приведены  алгоритмы, реализующие различные  методы решения оптимизационных  задач. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    1. Целочисленное программирование 

    Первые  упоминания о линейных уравнениях возникли еще за несколько веков до нашей  эры.

    В Древней Греции Диофант (II-III вв.) формулирует уравнения, в которых искомые переменные — целые. Например, для уравнения первой степени, а₀ + a₁x₁ = 0, где a₀, a₁ — целые, решение x₁ = -a₀/a₁ — целое, если a₀ делится на a₁ без остатка, т. е. такое уравнение не всегда разрешимо в целых числах. Из двух уравнений 3x₁ - 27 = 0 и 5x₂ + 21 = 0 только первое имеет целое решение:  x₁ = 27/3 = 9, а второе — нет, так как x₂ = -21/5.

    Для уравнения с двумя неизвестными: a₁x₁ + a₂x₂ = 0, где a₂, a₁ — целые, решение будет x₁ = -(a₂/a₁)x₂. Например,

    10x₂ - 5x₂ = 0 или x₁ = 0,5x₂ . (1)

    Из  этого примера можно сделать  следующие выводы: уравнение имеет  бесчисленное множество решений, так  как n > m; решение — целое, если x₂ — четное.

    Для того чтобы из множества допустимых решений выбрать одно — оптимальное, необходимо, как нам уже известно, добавить к условию (1) целевую функцию. Задачи оптимизации, в которых решение должно быть в целых числах, называют задачами целочисленного программирования. Если в этой задаче целевая функция и ограничения — линейные зависимости, то ее называют целочисленной задачей линейного программирования; если же хотя бы одна зависимость будет нелинейной, то такая задача формулируется как целочисленная нелинейного программирования.

    Большинство практических задач принятия решения сводится к целочисленным задачам линейного программирования.

    Если  к условию (1) добавить такие, например, граничные условия:

    2 ≤  x₁ ≤ 8; 1 ≤ x₂ ≤ 3

    то  можно видеть, что такая система  решения не имеет. Отсюда следует, что  задача целочисленного программирования не всегда имеет решение, т. е. она не совместна.

    Под целочисленным или дискретным программированием понимают такие задачи (обычно линейные), в которых искомые переменные по смыслу могут принимать только целые значения: число рабочих, разделяемых по рабочим местам; количество единиц оборудования, устанавливаемых на заданной площади, и т. п.

    Аналитическая задача целочисленного программирования формулируется:

    max(min) L =  
 

    Если  n₁ = n, то задачу называют полностью целочисленной; если n₁ < n, то — частично целочисленной.

    Предположим, что задача имеет многогранник решений (рис. 1). Если наложить требование целочисленности, то допустимое множество решений выразится в систему точек и уже не будет выпуклым.

     Если добавить новые ограничения, связывающие внешние целочисленные точки, а затем в качестве многогранника использовать все выпуклое множество, ограниченное осями координат и новым контуром, то получим новую задачу линейного программирования со следующими свойствами:

• новый многогранник решений содержит все целые точки, заключавшиеся в первоначальном многограннике решений; любая его угловая точка целая;
• так как целевая функция достигает оптимума в угловой точке, то построением многогранника обеспечивается целочисленность оптимального решения.

    Таким образом, решение задач целочисленного программирования трудоемко. Поэтому по возможности лучше не накладывать ограничений целочисленности переменных.

    В ряде случаев задачу целочисленного программирования решают следующим образом:

1. как непрерывную задачу линейного программирования;
2. округляют переменные;
3. проверяют допустимость округленного решения;
4. если решение допустимое, то оно принимается как целочисленное.

    При необходимости точного решения  применяют специальные методы, где учитывается, что множество решений любой целочисленной задачи — конечно. Например, в задаче с переменными x₁, x₂: 0 < x₁ ≤ 4; 0 < x_j ≤ 5. Число возможных решений 4*5 = 20. Следовательно, возможен полный перебор всех возможных сочетаний целочисленных x₁, x₂ и выбор из них наилучших в смысле целевой функции. Трудоемкость этого метода возрастает с ростом числа переменных и области граничных условий, и для реальных задач он неприменим.

    Поэтому в реальных задачах применяют  методы, в которых не рассматривают все возможные альтернативы. Распространены методы отсечений и методы возврата, среди которых наиболее известен метод ветвей и границ. Метод отсечений для программной реализации сложен. 
 
 

    Решение задачи методом Гомори

    Во  многих экономических задачах переменные выражают физически неделимые объекты  и потому могут принимать только натуральные значения. Соответственно, в таких задачах на переменные накладывается дополнительное требование их целочисленности.

                     (1.1)

    Присоединяя равенство (1.1) к ранее решенной задаче, получить новую задачу линейного  программирования, которую вновь  решить симплексным методом. Если ее оптимальное решение окажется целочисленным, то оно и будет оптимальным  решением исходной задачи. Если снова  получится нецелочисленное решение, то построить новое сечение, и  т.д.

    Пример. Найти наибольшее значение функции 

    при ограничениях: 
 
 
 
 
 
 
 
 

    2. Метод ветвей и границ

    Задача  линейного программирования решается без учета целочисленности. Такая задача называется непрерывной. Далее рассматривают одну из переменных x_j, на которую накладывают ограничение целочисленности, но которая получила дробное значение. На основе полученного решения составляют дополнительные ограничения:

    x_j ≤ [] и x_j ≥ [] + 1,

    где [] — целая часть нецелочисленного значения переменной в оптимальном решении, и затем решаются еще две задачи линейного программирования, в каждую из которых вошли все исходные ограничения и одно из дополнительных.

    Полученное  решение новых задач проверяют  на целочисленность переменных. Если решение не удовлетворяет требованию целочисленности, на основе каждой из задач составляют, аналогично предыдущим, две новые и т. д.

    Если одно из решений удовлетворяет требованию целочисленности, значение целевой функции принимается за граничное L_гр. При этом рассмотрение других задач продолжается до тех нор, пока не будет получено:

• на одной из ветвей недопустимое решение;
• на одной из ветвей целочисленное решение. Тогда значение целевой функции сравнивается с L_гр (верхним - при max, нижним - при min); если полученное значение хуже, оно отбрасывается; если лучше, то принимается за граничное;
• на одной из ветвей нецелочнеленное решение, однако при этом значение целевой функции хуже граничного. Тогда дальнейшее рассмотрение также прекращается. На первом цикле расчета

 

    Таким образом, для получения целочисленного решения методом ветвей и границ приходится решать большое число задач линейного программирования, причем в каждом очередном ветвлении число ограничений увеличивается на 1. Поэтому время решения задачи целочисленного программирования по сравнению с непрерывной значительно увеличивается.

    Пример 1.

    max L = 7x₁ + 3x₂, 
 

    Решение. В результате решения задачи симплекс-методом найдем оптимальное решение = 1; = 7,5; L₁ = 29,5, где верхний индекс переменных — номер задачи.

    В полученном решении x₂ = 7,5 — нецелочисленное. Поэтому для дальнейшего решения составляем две новые задачи с различными граничными условиями.

Задача 2.                                                      Задача 3.

max L = 7x₁ + 3x₂,                                                                   max L = 7x₁ + 3x₂,

                                         

    Результаты  решения симплекс методом задачи 2: = 1,2; = 7; L₂ = 29,4; задачи 3: = 0,75; = 8; L₃ = 29,25;

    В задаче 1 переменная = 1 — целочисленная, а в последующих задачах при целочисленности х₂ перестала быть целочисленной x₁. Затем следует накладывать ограничения целочисленности на x₁ и т. д. (рис. 2).

    Результаты  решения непрерывной и целочисленной  задачи вводятся в таблице 1. В качестве оптимального принимается решение задачи 5, которое дает наибольшее из целочисленных решений значение целевой функции.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Таблица 1.

 

    Из  примера видно, что метод ветвей и границ достаточно трудоемкий. При этом оптимальное решение может быть получено в результате сравнения всех допустимых целочисленных решений. Поэтому при решении задач реальной размерности может потребоваться память, которой нет даже в современных компьютерах, или потребуется практически неприемлемое время решения.

    Обязательное  условие метода — наличие верхних  границ на значения переменных D_j. Если D_j не назначена, то ее определяют по зависимости: 

    Где минимальные значения всех , для которых определяется верхняя граница . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3. Задача выбора  вариантов

    Перейдем  теперь к частному случаю задач целочисленного программирования  —  задаче выбора вариантов.

    В этом частном случае искомая переменная , в результате решения может принимать не любое целое значение, а только одно из двух: либо 0, либо 1. Чтобы такие переменные отличать от обычных и каждый раз не писать [0; 1], будем их вместо , обозначать . И это уже будет означать, что в результате решения задачи может быть равным или 0 или 1, т. е. всегда Такие переменные обычно называют булевыми (в честь предложившего их английского математика Джорджа Буля, 1815-1864).