Системы счисления

 

 

 

 

 

Сообщение

 по 

методике  математического развития детей

 дошкольного  возраста

на  тему:

«Системы счисления».

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

Студентка 3 «А» курса 

Давыдова Анна

 

 

 

 

1.ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Двоичная система счисления  была придумана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII — XIX вв.). Выдающийся математик Лейбниц  говорил: "Вычисление с помощью  двоек... является для науки основным и порождает новые открытия... При сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, везде появляется чудесный порядок". Позже двоичная система была забыта, и только в 1936 — 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем. В последние годы в области прикладной математики, особенно в компьютерах, очень важное значение приобрела двоичная система счисления. В то время как система счисления с основанием 10 требует десяти цифр (включая нуль), для двоичной арифметики необходимо всего два символа – 0 и 1.

 

Десятичная система	Двоичная система
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110
7	111
8	1000
9	1001
10	1010
11	1011
12	1100
13	1101
14	1110
15	1111
16	10000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим пример:

В двоичной системе число 6789 записывается в виде 1101010000101, т.е. как 

Переход от десятичной записи к двоичной осуществляется легко: десятичное число делится на два, затем на два делится частное, затем – новое частное и так до тех пор, пока не будет получено последнее частное (равное 1), причем каждый раз записывается остаток от деления. Выписав последнее частное (1) и вслед за ним в обратном порядке все остатки от деления исходного числа на два, мы получим двоичный эквивалент исходного числа. Чтобы записать двоичное число в десятичной системе, необходимо обратить процедуру: умножить первую цифру слева на 2, к полученному результату прибавить вторую цифру слева, полученную сумму прибавить к третьей цифре слева и т.д. до тех пор, пока мы не прибавим последнюю (самую правую) цифру двоичного числа.

Двоичной системой счисления  пользовался в начале 17 в. Т.Харриот,  а позднее Г.Лейбниц обратил на двоичную систему внимание миссионеров, отправлявшихся для проповеди христианства в Китай в надежде убедить китайского императора в том, что Бог (единица) сотворил все из ничего (нуля). Однако вплоть до 20 века  двоичную систему рассматривали как своего рода математический курьез, и время от времени раздавались предложения перейти от десятичной системы к восьмеричной или двенадцатиричной, но отнюдь не двоичной системе.

Однако именно в двоичной системе арифметические операции особенно просты. В двоичной системе не существует «таблицы сложения», которую нужно  бы было запоминать, так как «перенос в старший разряд» начинается с 1 + 1 = 10. При сложении больших чисел  необходимо лишь складывать по столбцам или разрядам, как в десятичной системе, двойка переносится в следующий  столбец (влево) в виде единицы старшего разряда. Вычитание производится так  же, как в десятичной системе, не задумываясь о том, что теперь в случае необходимости нужно  «занимать» из столбца слева 2, а  не 10.

Умножение «столбиком» выполняется  без труда, так как необходимость  в «переносе в старший разряд»  отпадает за исключением сложения частичных  произведений при получении окончательного ответа. Однако за эту легкость приходится «платить» большим числом знаков при умножении даже небольших  чисел.

Деление «углом» в двоичной системе выполняется быстро, при  этом нет необходимости в пробных  делителях. По существу, деление становится своего рода непрерывным вычитанием, которое отличается необычайной  «прозрачностью».

И в двоичной, и в десятичной системе суть состоит в позиционном  принципе записи чисел, поэтому ясно, что современные суперкомпьютеры  стали возможны благодаря тому, что четыре тысячи лет назад в Месопотамии было совершено важнейшее открытие в области обозначения чисел.

2.ДВЕНАДЦАТИРИЧНАЯ И ВОСЬМЕРИЧНАЯ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Восьмеричная система  счисления — позиционная целочисленная  система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры 0 до 7.

Восьмеричная система  часто используется в областях, связанных  с цифровыми устройствами. Характеризуется  лёгким переводом восьмеричных чисел  в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триады двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти  полностью вытеснена шестнадцатеричной. Есть версия что происхождение двенадцатиричной системы тоже связано со счётом на пальцах. Считали большой палец руки и фаланги остальных четырёх пальцев: всего их 12. Выглядит эта теория достаточно сомнительно. Преимущество числа 12 как основания системы счисления заключается в том, что оно имеет делителями числа 2, 3, 4 и 6, тогда как число 10 имеет делителями числа 2 и 5. То есть 12 можно легко разделить на двоих, на троих и на четверых (человек), в то время как 10 нормально делиться только на двоих. Логично предположить что среди крестьян, все время чего-то деливших между собой (взаиморасчеты и бартер в среде крестьян были весьма популярны, не смотря на изобретение денег) число 12 было удобнее в качестве основания для счета именно по этой причине. Некоторые народы Нигерии и Тибета до сих пор используют 12ричную систему счисления, но отголоски ее можно найти практически в любой культуре. В русском языке есть слово "дюжина", в английском "dozen", в некоторых местах (как там где я живу счас) слово двенадцать употребляют вместо десять, как круглое число - например подождите 12 минут. Элементы двенадцатеричной системы счисления сохранились в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам) и в денежной системе (1 шиллинг = 12 пенсам). До революции и в России считали дюжинами. Нередко мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков - 12 штук.

Первые три степени  числа 12 имеют собственные названия:

1 дюжина = 12 штук

1 гросс = 12 дюжин = 144 штуки

1 масса = 12 гроссов = 1728 штук

3.Десятичная система  счисления

Чтобы использовать числа, нужно  их как-то называть и записывать, нужна  система нумерации. Различные системы  счёта и записи чисел тысячелетиями  сосуществовали и соревновались между собой, но к концу "докомпьютерной эпохи" особую роль при счёте стало играть число "десять", а самой популярной системой кодирования оказалась позиционная десятичная система. В этой системе значение цифры в числе зависит от её места (позиции) внутри числа. Десятичная система счисления пришла из Индии (не позднее VI века нашей эры). Алфавит этой системы: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} — всего 10 цифр, таким образом, основание системы счисления — 10. Число записывается как комбинация единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее. Пример: 1998=8*100 + 9*101 + 9*102 + 1*103. Хотя десятичная система счисления является наиболее широко применимой, это отнюдь не означает, что она самая лучшая. Широкое распространение во многом объясняется тем анатомическим обстоятельством, что у нас на руках и ногах по десять пальцев. Что же касается позиционного принципа и цифровых обозначений, то они с равным успехом могут быть приспособлены к системе счисления с любым основанием, независимо от того, равно ли оно 2, 10 или какому-нибудь другому целому положительному числу, кроме единицы.

С небольшими числами иметь  дело очень просто: наборы из трех-четырех  предметов легко узнать «в лицо», так что считать их нет необходимости. Но как, к примеру, выяснить, не потерялась ли овца из большого стада? Здесь уже  не обойтись без подсчета. Чтобы  пересчитать стадо, проще всего  использовать камешки: один камешек  – один объект, в данном случае овца.

Считать при помощи камешков удобно и просто, если объектов немного. С большими числами уже сложнее: и нужного количества камешков можно  не набрать, и поднять такой мешок  не каждому под силу. В некоторых  сообществах для счета использовались пальцы рук и ног, но все равно  оставалась проблема. Значение цифр и  чисел в нашей жизни трудно переоценить. Биологи утверждают, что  в составе человеческого мозга  есть структуры (кора левого полушария  у правшей), отвечающие за формирование устной и письменной речи. Таких  структур нет ни у одного другого  животного. Благодаря им человек  может писать, читать, говорить, произносить  самые разнообразные звуки. Именно из-за такого сложного строения головного  мозга человек смог в первый раз  произнести слово, написать букву. Теперь мы не можем себе представить жизни  без алфавита и слов.

В математике таким алфавитом  являются цифры, а словами – числа. Есть много общего: своеобразными  языками в математике являются системы  счисления. В таких алфавитах  буквы – цифры. Чаще всего математический язык легче языка лингвистического, прежде всего объемом информации, которую несет один символ.

Изобретение десятичной системы  счисления относится к главным  достижениям человеческой мысли. Без  нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная  техника и наука вообще.

Появилась десятичная система, вероятно, в Индии. Выбор графических  изображений для цифр, разумеется, не принципиален. Современные изображения  цифр – простая стилизация древних арабских цифр. Марокканский историк Абделькари Боужибар считает, что арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры.

В десятичной системе каждая цифра несет двойную информацию: свое собственное значение и место, которое она занимает в записи числа (разряд). Такие системы счисления  называются позиционными. Римскую систему  счисления можно скорее назвать  аддитивной, поскольку число образуется при сложении и вычитании значений специальных значков. В аддитивных системах счисления выполнять арифметические действия безнадежно – неудивительно, что такие системы не прижились.  Уже на заре развития человеческого общества люди замечали, что различные группы предметов — звери, охотники, камни — могут иметь одно и то же число: два пальца, два зверя, два камня и т. д. В наши дни об этом знает любой первоклассник. Если разложить напротив друг друга, например, кружки и палочки, нетрудно убедиться, что кружков окажется столько же, сколько палочек. Этим мы устанавливаем взаимно-однозначное соответствие. Так и первобытные люди, сопоставляя одну группу (множество) предметов с другой (другим множеством), видели сходство и различие обеих групп (множеств).

В то далекое время понимание  того, что одна группа (множество) может  быть похожа на другую (множество), стало  для человека громадным продвижением в его развитии. Это было величайшим открытием. Оно помогло людям  научиться видеть взаимно-однозначное соответствие предметов двух множеств, а затем и считать эти предметы.

Постепенное совершенствование жизненного уклада первобытных людей способствовало возникновению у них потребности считать, но прошли десятки столетий, прежде чем люди приобрели это умение.

Вначале человек научился выделять единичные предметы. Например, из стаи волков, стада оленей он выделял одного вожака, из выводка птенцов — одного птенца и т. д.  Научившись выделять один предмет из множества других, говорили: «один», а если их было больше — «много».  Даже для названия числа «один» часто пользовались словом, которым обозначался единичный предмет, например: «луна», «солнце». Такое совпадение названия предмета и числа сохранилось в языке некоторых народов до наших дней.

Частые наблюдения множеств, состоящих из пары предметов (глаза, уши, крылья, руки), привели человека к представлению о числе два. До сих пор слово «два» на некоторых языках звучит так же, как «глаза» или «крылья».

В некоторых племенах Австралии долгое время пользовались только числами «один» и «два», а все другие называли, повторяя эти числа или говоря «много».

 С появлением городов  и каменных сооружений все  больше людей стали заниматься  письменностью и началами математики. Самые сведущие придумали специальные  знаки для записи чисел. Эти  знаки, выполняющие роль цифр, были удобны для чтения, но  для их записи требовалось  довольно много времени. 

Как уже было сказано, в  некоторых сообществах для счета  использовались пальцы рук, однако этот способ годился только в пределах 10. Кое-где прогресс пошел дальше: к счету приобщали и пальцы ног, но все равно оставалась проблема с числами больше 20.

Выход нашелся: считать на пальцах до 10, а затем начинать сначала, отдельно подсчитывая количество десятков. Система счисления на основе десяти возникла как естественное развитие пальцевого счета. Существовало, однако, несколько отклонений от этой системы. Например, 4000 лет назад жители Древнего Вавилона использовали систему счета до 60. Следы шестидесятеричной системы в наше время сохранились в делении часа и углового градуса на 60 минут, а минуты - на 60 секунд.

По мере развития речи люди начали использовать слова для обозначения чисел. Отпала необходимость показывать кому-то пальцы, камешки или реальные предметы, чтобы назвать их количество. Для изображения чисел стали применяться рисунки, чертежи или символы. Например, для ответа на вопрос «Сколько овец в стаде?» достаточно нарисовать или начертить группу животных. Но считать можно гораздо быстрее, применяя для обозначения чисел какие-либо символы. Египтяне для чисел до 9 использовали последовательности простых штрихов и специальный символ - для 10. Вавилоняне имели аналогичную систему, а римляне ввели новый символ при достижении 5. Существовали и системы с отдельными символами для каждой цифры до 9 включительно, как в арабской системе счисления, которую мы сейчас используем, а у греков имелся специальный символ и для 10.

Самый древний  способ запоминания  чисел – камешками. Сколько камешков – столько предметов надо запомнить. Когда камешков не стало хватать, человек придумал разрядность (системы  счисления). Число в таком виде записать легче, например, при помощи узелков. Так делали древние перуанцы, завязывая узелки на нескольких сплетенных вместе веревках. Такой «прибор» назывался  «квипос». Он был в принципе эквивалентен нашим счетам и, без сомнения, связанный с ними общностью происхождения. На таких счетах однократно завязанный узел означал 10, двукратно – 100 и т. д. Однако пользоваться таким прибором нелегко: на завязывание – перевязывание узелков уходит много времени. Выход нашелся – сделать систему подвижной.