Сандар тарихы

САНДАР  СЫРЫ

      Ежелгі  гректер  а р и ф м е т и ка деп натурал сандардың қасиеттері жөніндегі ғылымды атайтын ( «аритмос» - сан деген сөзден шыққан ). Карл Гаусс математиканың  сан салаларын сарапқа сала келіп  арифметиканы математика патшасы деп бағалаған.  Ал арифметиканың негізгі ұғымы – сан. Ендеше, сол сан ұғымының қалай пайда болуын  ашу, білу – ғылыми методогиялық үлкен проблема.

      19 ғасырға дейін  математика тарихы жөнінде  қалам таратушы авторлардың  көбісі сандар мен сандарға амал қолдану  әрекетін құдайлар немесе кемеңгер философтар шығарған деп түсіндіріп келеді. Өткен ғасырдағы ең мықты алгебрашылардың бірі  Кронекер « бүтін сандарды құдай жасады, қалған дүниені адам жасады » , - дегені мәлім. Ескі аңыздарда сандарды біресе  Пифагор, біресе Прометей немесе басқа да бір пайғамбар  шығарыпты – мыс деген тұжырымдар көп ұшырасады.  Бұлардың барлығы, әрине, ғылыми шындыққа келмейтін жалаң қорытындылар.

      Шындығында, арифметиканың өзі айрықша    ғылым болып бертінде қалыптасқанмен  оның басты ұғымы  - сан ұғымы  өте ертеде, адамзат  жазу,  сызуды білмеген  заманда пайда болған.

      Адам  баласының ең бірінші қолдана  білген  математикалық  амалы  санау болды.  Тіпті аз ғана санды білетін жабайы  тайпалардың өзі  көп нәрседен  тұратын жиындарды  санауға дейін әрекет еткен.

      Ғалымдар  ерте кездерден бастап-ақ  жай  сандарды зерттеген.  Жай сан ұғымын біз  заманымыздан бұрыңғы  IV ғасырда  ежелгі грек ғалымы  Пифагор енгізген.

      Біздің  заманымыздан бұрыңғы   III ғасырда  өмір сүрген  грек математигі Евклид  жай сандардың шексіз көп екендігін, ең үлкен  жай санды атап көрсету  мүмкін болмайтынын дәлелдеген.

      Евклидтен  біршама кейінірек  Александрияда  өмір сүрген  ежелгі грек математигі  Эратосфен  жай сандардың кестесін  жасауға арналған  өзінің тәсілін ұсынды.

      Эратосфен балауыздан жасалған тақтайшада натурал  сандар кестесін  жасап, одан құрама сандарды алып тастап отырған. Сонда  алғашқы кесте  елек тәрізденіп,  онда тек қана жай сандар қалған.  Сондықтан оны Эратосфен елегі деп атаған.

      Жай сандардың кестесін даярлаудағы  Эратосфен  тәсілін үйренейік.

      Алдымен 2 санынан бастап  барлық  натурал  сандар жазылады.  Мысалы,     2-ден 40-қа  дейінгі барлық натурал сандарды  тізіп жазайық.  Бірінші ретте-

2-санынан   басқа, 2-ге еселік сандардың барлығын  сызып тастаймыз.

      Кестеде  2 санынан  кейін  3 саны қалады.  Екінші ретте – 3 санынан басқа 

3- ке еселік   сандардың барлығын сызып тастаймыз.  Нәтижесінде 2 және 3 сандарынан басқа  кестеде қалған сандар  2-ге де, 3-ке де бөлінбейді  ( еселік емес).

      Кестеде 2 және 3 сандарынан  кейін 5 саны  қалады.  Үшінші ретте – 5 санынан  басқа  5-ке еселік  сандардың  барлығын сызып тастаймыз.

      Сонда  кестеде 40-тан кіші жай  сандар ғана қалады. Демек, 40-тан кіші  жай сандар  кестесін жасадық: 

          Кестедегі  2 санынан  басқа  қалған  сандардың кез  келгені  2 – ге бөліндейді.

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37

      Осындай  реттілікпен қалаған санға дейінгі  жай сандар кестесін  даярлауымызға болады.

      Жай сандарды зерттеуде орыс математиктері  П.Л. Чебышев (1821-1894),

И.М.Виноградов (1891-1983) зор еңбек сіңірді.

      П.Л.Чебышев  1-ден  үлкен кез келген  сан  мен берілген  саннан екі есе  үлкен  санның арасында  кем дегенде  бір  жай сан болатынын  дәлелдеді.

      Мысалы,  5 жай  саны мен оның екі еселенгені 10 санының арасында  бір  жай  сан – 7 саны  болса,  17 жай  саны  мен оның  екі еселенгені  34 санының  арасында  4 жай  сан  бар. Олар: 19, 23, 29 және  31 жай сандары.

      И.М. Виноградов  кез келген үлкен  санды одан кіші  үш жай санның  қосындысы түрінде жазуға болатынын   көрсетті.

      Мысалы,  7=2+2+3;                             14=2+5+7;

                         12=2+3+7;                    11= 5+3+3;