Решение задач

 

t	0	100	200	300	400	500	600	700
F3(t)	0	28	48	62	74	88	99	109
x3	0	0	0	0	200	200	300	400

 

t-x4 0 100 200 300 400 500 600 700 x4 F3(t-x4) f4(x4) 0 28 48 62 74 88 99 109 0 0               109* 100 5             104   200 20           108     300 29         103       400 36       98         500 41     89           600 45   73             700 47 47

 
 

Z_max =  109 тыс. руб., причем наилучшее вложение капитала выглядит следующим образом:

x*₄ = x₄(700) = 0 руб.

x*₃ =x₃(700 - x*₄) = x₃(700) = 400 тыс. руб.

x*₂ =x₂(700 - x*₄ - x*₃) = x₂(300) = 100 тыс. руб.

x*₁ =700 - x*₄ - x*₃ - x*₂ = 200 тыс. руб.

Этот  план обеспечивает производственному  объединению наибольший возможный  прирост прибыли на 197 млн. руб.

В качестве проверки правильности решения задачи можно использовать равенство:

Z_max = f₁(x*₁) + f₂(x*₂) + f₃(x*₃) + f₄(x*₄) = 42 + 20 + 47 + 0 = 109 тыс.руб.

Следовательно, полученные решения верны. 
 

 

7. Матричная игра

     Два игрока А и В играют в матричную  игру. Дана платёжная матрица (А), отражающая выигрыш игрока А или проигрыш игрока В при использовании ими  их стратегий.

Требуется найти решения игры для каждого игрока, а именно пару оптимальных стратегий, при которых каждому из игроков не выгодно отступать от них, поскольку это приведёт к их проигрышу.

Средний выигрыш первого (и средний проигрыш второго) игрока вычисляется по формуле: f(x;y) = ∑∑a_ijp_iq_j

Попытаемся  упростить матрицу А, если это  возможно, за счёт выявления дублирующих  и доминирующих стратегий.

Исключим  заведомо невыгодные стратегии, используя  доминирование чистых стратегий.

Выясним, есть ли решении игры в чистых стратегиях (проверим на седловую точку).

A\B	B1	B2	B3	αi
A1	1	-4	3	-4
A2	-2	2	-3	-3
βj	1	2	3

α≠β, т.е. можно сделать вывод, что игры в чистых стратегиях нет.

     Введём  новые переменные: для игрока A P(p₁,p₂) , т.е. вероятности использования игроком А 1-ой стратегии, 2-ой стратегии соответственно, для игрока B Q(q₁,q₂,q₃) , т.е. вероятности использования игроком B 1-ой стратегии, 2-ой стратегии и 3-ей соответственно. Так же введем υ – цену игры.

     Графическое решение этой игры показано на рисунке. 

 

     Из  графика видно, что активными  стратегиями 2го игрока являются q₁ (1;-2) и q₂ (-4;2) 

A\B	B1	B2	αi
A1	1	-4	-4
A2	-2	2	-2
βj	1	2

Для первого игрока:

f(x;y) ~ M (p₁ = 1;Q) = q₁ - 4q₂ = υ

f(x;y) ~ M (p₂ = 1;Q) = -2q₁ + 2q₂ = υ

q₁ + q₂ = 1

p₁ - 2p₂ =  -4p₁ + 2p₂

p₁ + p₂ = 1

5p₁ - 4p₂ = 0

p₁ = (1 - p₂ )

9p₂ = 5, p₂ = 5/9

             p₁ = 4/9

f(x;y) ~ M (P; q₁ = 1) = p₁ - 2p₂ = 4/9 - 2*5/9 = -6/9 = -2/3 

      Для второго игрока:

f(x;y) ~ M (p₁ = 1;Q) = q₁ - 2q₂ = υ

f(x;y) ~ M (p₂ = 1;Q) = -4q₁ + 2q₂ = υ

q₁ + q₂ = 1

q₁ - 4q₂ = -2q₁ + 2q₂

p₁ + p₂ = 1

3 *(1 - q₂) - 6q₂ = 0

p₁ = (1 - p₂ )

9q₂ = -3, q₂ = 1/3

               q₁ = 2/3

f(x;y) ~ M (p₁ = 1;Q) = q₁ - 4q₂ = 2/3 - 4*1/3 = 2/3 - 4/3 = -2/3 

Таким образом, средний выигрыш первого (и средний проигрыш второго) игрока равен:

f(x;y) = ∑∑a_ijp_iq_j = 1*2/3*4/9 + 2*0*4/9 + (-4)*1/3*4/9 + 3*0*4/9 + (-2)*2/3*5/9 + 1*0*5/9 + 2*1/3*5/9 + (-3)*0*5/9 = -2/3 
 

P = (4/9; 5/9)

Q = (2/3; 0; 1/3; 0)         Оптимальные стратегии для игроков

υ = -2/3                          Средний выигрыш 1го и средний проигрыш 2го игрока при                             использовании этих стратегий.

 

8. Формирование оптимального портфеля ценных бумаг

Определить, с  каким наименьшим риском можно достичь 20%-ной эффективности инвестиций, если есть возможность банковских вложений и заимствований по ставке i = 2% годовых, а на рынке ценных бумаг обращаются две акции, их ожидаемые эффективности равны соответственно r₁ = 4% и r₂ = 9%, риски σ₁ = 7%, σ₂ = 10%, а коэффициент корреляции доходностей данных акций равен ρ₁₂ = 0,76. 

Введем данные в рабочий лист Microsoft Excel, как показано на рис. 19.1.1, а. Пусть ячейки B9 и B10 соответствуют долям рисковых вложений x₁ и x₂, в ячейку B8, соответствующую доле безрисковых вложений x0, введем формулу, соответствующую разности всех вложений (единицы) и вложений в акции x₁ и x₂, в ячейку B12 введем формулу для ожидаемой эффективности портфеля ME_π, а в ячейку B13 введем формулу для дисперсии эффективности портфеля DE_π; учтем здесь, что σ₁₂ = ρ₁₂σ₁σ₂ (эти формулы приводятся справа от соответствующих ячеек).

Воспользуемся инструментом «Поиск решения». Для  этого выберем в меню «Сервис» пункт «Сервис | Поиск решения…», и в появившемся окне (рис. 19.1.1, б) укажем, что мы хотим установить целевую ячейку $B$14 (в которой рассчитывается дисперсия портфеля) равной минимальному значению, изменяя ячейки $B$10:$B$11 (в которых находятся доли рисковых составляющих портфеля), причем в задаче присутствует ограничение $B$13 = $B$7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

а) ввод формул

б) окно «Поиск решения»

в) результаты

Рис. 19.1.1. Расчет оптимального портфеля 

После нажатия  на кнопку «Выполнить» в рабочем  листе произойдут изменения: в ячейках B9, B10 и B11 появятся значения x^*₀=0,1188x , x^*₁=-2,3663, x^*₂=3,2475, в ячейке B13 будет рассчитана ожидаемая эффективность портфеля (она равна требуемой эффективности r* = 0,20 π , а в ячейке B14 появится рассчитанное значение дисперсии эффективности портфеля DEπ= 0,0511. При этом риск портфеля равен σ = .  

 

Список литературы 

1.  Математические  методы принятия решений в  экономике: Учебник / Под ред.  В.А. Колемаева М.: ЗАО "Финстатинформ", 1999.

2.  Колемаев В.А., Калинина В.Н.   Теория вероятностей и математиче¬ская статистика: Учебник. - М.: Инфра-М, 1999.

3.  Колемаев  В.А., Староверов О.В., Турундаевский  В.Б. Теория вероят¬ностей и  математическая статистика: Учебник. - М.: Высшая школа,

1991.

4.  Колемаев В.А., Громенко В.М., Калинина В.Н., Курочкин А.П., Малыхин В.И., Атурин В.В., Белова Л.А., Иванищев Г.Г. Теория вероятностей в примерах и задачах. - М.: ГАУ, 1993.