Решение задач

 

Находим новые потенциалы и оценки.Наибольшую положительную оценку будет иметь свободная клетка (1;4). Для нее строим цикл пересчета и получаем следующее базисное допустимое решение: 

A\B	b1=31		b2=40		b3=41		b4=49		b5=9		pi
a1=45	31	4		5		8	5	6	9	0	p1=0
a2=60		3	40	2		5	20	1		0	p2=-3
a3=65		5		6	41	3	24	2		0	p3=-5
qj	q1=4		q2=5		q3=8		q4=7		q5=0

 
 

Все оценки свободных клеток D_ij ≤ 0, следовательно, мы получили оптимальное базисное допустимое решение:

L_min=31*4+5*6+40*2+20*1+41*3+24*2=425, т.е. минимальная стоимость перевозки всего груза из трех пунктов хранения в четыре пункта потребления составит 425 ед.

 

  5. Анализ доходности и риска финансовых операций

    Финансовой  называется операция, начальное и  конечное состояния которой имеют  денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода - разности между конечной и начальной оценками.

    При проведении какой-либо финансовой операции возникает неопределенность и поэтому  её результат невозможно предсказать  заранее. Из этого можно сделать вывод, что финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможен как прибыль, так и убыток.

    Чтобы оценить операцию с точки зрения её доходности и риска, будем использовать   представление дохода операции как  случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода.

    Даны  четыре финансовые операции Q₁, Q₂, Q₃, Q₄. Найти средние ожидаемые доходы M(Q_i) и риски r_i операций. Нанести точки (M(Q_i), r_i) на плоскость, найти финансовые операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы (j (Q_i)= 2×M(Q_i) – r_i) найти лучшую и худшую операции.

Q1	0	4	8	32
	1/2	1/4	1/8	1/8
Q2	0	8	12	24
	1/4	1/4	1/3	1/6
Q3	0	2	4	16
	1/3	1/3	1/6	1/6
Q4	2	4	6	18
	1/2	1/4	1/8	1/8

    Найдем  M(Q_i) для каждой операции, показывающая средний ожидаемый доход, и - риск проведения данной операции.

      

M(Q₁)=0*1/2+4*1/4+8*1/8+32*1/8=6

M(Q₂)=0*1/4+8*1/4+12*1/3+24*1/6=9

M(Q₃)=0*1/3+2*1/3+4*1/6+16*1/6=4

M(Q₄)=2*1/2+4*1/4+6*1/8+18*1/8=5 

 

Теперь  нанесём точки (M(Q_i), r_i) на плоскость.

    Получили 4 точки. Чем правее точка, тем более  доходная операция, чем точка выше - тем более она рисковая. Нас же интересует точка с максимальным доходом, но в то же время с минимальным риском. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже. Точка (M(Q)’, r’) доминирует точку (M(Q),r) если M(Q)’=>M(Q) и r’<=r. В нашем случае 4-я операция доминирует 3-ю. Но 1-я, 2-я и 4-я операции несравнимы.

    Точка, не доминируемая никакой другой называется оптимальной по Парето, а множество  всех таких точек называется множеством оптимальности по Парето. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций, оптимальных по Парето.

    Для нахождения лучшей операции иногда применяют  подходящую взвешивающую формулу, которая  для пар (M(Q),r) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть j (Q)= 2×M(Q) - r . Тогда получаем:

    j (Q₁)=4,16

    j (Q₂)=10,04 – max

    j (Q₃)=2,46

    j (Q₄)=4,88

Из расчётов видно, что 2-ая операция лучшая, а 3-я худшая. 
 
 
 

 

6. Динамическая задача распределение капитальных вложений

  Имеется производственное объединение, включающее в себя 4 предприятия. По плану в  ближайшее время должна проводится реконструкция этих 4-х предприятий. На реконструкцию выделено 700 млн. руб. и суммы распределены между предприятиями  кратно 100 млн. руб. После проведения реконструкции ожидается прирост прибыли от каждого предприятия в зависимости от вложенных в него капиталов. Эти данные известны и заданы таблицей: 

xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(x1)	0	28	42	51	57	61	64	66
f2(x2)	0	20	27	30	31	32	32	33
f3(x3)	0	8	26	37	47	53	58	61
f4(x4)	0	5	20	29	36	41	45	47

 

Требуется найти такое распределение X=(х₁, х₂, x₃, х₄) капиталовложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост прибыли.

Но так  же не стоит забывать, что в данной задаче происходит распределение капиталовложений в рамках выделенных 700 млн. руб., т.е. х₁+ х₂+ x₃+ х₄=700.

Кроме того, вкладываемые капиталы в предприятия  кратны 100 млн. руб., т.е. x_j=100 * n , где n=0,1,2,…,7.

В качестве показателя эффективности выступает  суммарный прирост прибыли 4-х предприятий: Z=f₁(x₁)+ f₂(x₂)+ f₃(x₃)+ f₄(x₄) → max.

В качестве критерия эффективности выступает  принцип максимального результата.

   Итак, требуется найти X, компоненты которого обеспечили бы максимум функции Z, при ограничении на его компоненты. Воспользуемся методом динамического программирования для решения этой задачи.

   Для решения данной задачи введём параметр t, обозначающий кол-во млн. руб., выделяемых сразу k предприятиям вместе. Тогда прибыль от такого вклада составит F_k(t) при 0<= t <=700.

   Представим  ситуацию, что последнее, а именно k-предприятие, получит x_k млн. руб., тогда остальные (t-xk) млн. руб. должны быть распределены между предприятиями от первого до (k-1)-предприятия, причем не надо забывать, что при вложении капиталов мы должны получить максимальную прибыль.

   Таким образом, приходим к рекуррентному  соотношению, которое выполняет  роль критерия эффективности:

Для k=2,3,4 : F_k(t) = f_k(x_k) + F_k-1 (t-x_k)  → max при 0<=x_k<=t ;

Для k=1       : F_k(t) = f₁(t)

Функции прибыли F_k(t) и соответствующие им значения x_k табулируются в следующих таблицах: 

t-x2 0 100 200 300 400 500 600 700 x2 F1(t-x2) f2(x2) 0 28 42 51 57 61 64 66 0 0 0 28* 42 51 57 61 64 66 100 20 20 48* 62* 71* 77 81 84   200 27 27 55 69 78* 84* 88*     300 30 30 58 72 81 87       400 31 31 59 73 82         500 32 32 60 74           600 32 32 60             700 33 33

 
 
 

t	0	100	200	300	400	500	600	700
F2(t)	0	28	48	62	71	78	84	88
x2	0	0	100	100	100	200	200	200

 

t-x3 0 100 200 300 400 500 600 700 x3 F2(t-x3) f3(x3) 0 28 48 62 71 78 84 88 0 0 0 28* 48* 62* 71 78 84 88 100 8 8 36 56 70 79 86 92   200 26 26 54 74* 88* 97 104     300 37 37 65 85 99* 108       400 47 47 75 95 109*         500 53 53 81 101           600 58 58 86             700 61 61