Развитие мышление школьников средствами математики

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1. Развитие логического мышления школьников средствами

           математики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

     2. Развитие интереса к изучению математики у учащихся . . . . . . . 4

     3. Содержание вопроса комбинаторики в учебной литературе . . . .5

3.1 Общие сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

3.2 Элементы комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3 Основные правила комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 Некоторые приемы, используемые при решении комбина-                     торных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

а) «Обратимость» выбор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

б) «Фиксирование» элементов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

в) «Склеивание» элементов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

г) Подсчет «ненужных» вариантов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

д) Выбор простейшего порядка заполнения мест в формируемой комбинации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

На современном  этапе развития общества, когда в  нашу жизнь стремительно вошли референдумы  и социологические опросы, кредиты  и страховые полисы, разнообразные  банковские начисления и т.п., становится очевидной актуальность включения  в школьный курс математики материала  вероятностно-статистического характера.

Данная  тема исследования актуальна для  наших детей в связи с тем, что современные школьники стали  более развиты и им требуются  не просто задачи на вычисление, а задачи, требующие в своем решении  участия логического мышления, а  также задачи, наиболее приближенные к жизненным ситуациям. Такими задачами и являются задачи на комбинаторику  и вероятность. Данное исследование определяет уровень логического мышления школьников 14-16 лет.

Объектом  исследования являются задачи на комбинаторику  и теорию вероятности.

В основу исследования положена гипотеза, согласно которой возможно сформировать первоначальное представление о вероятности  и научить решать комбинаторные  задачи учащихся 5-6 классов, используя  методы проблемного обучения, занимательные  задачи, задачи, содержащие жизненные  ситуации.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.Развитие логического мышления школьников средствами математики

 

В последнее  время много говорится о преемственности в обучении между средней и старшей школой. Этот вопрос стал так остро потому, что наблюдается значительное снижение успеваемости при переходе учащихся в среднее звено, растет нежелание посещать школу, угасает интерес к учебе. Причин тому много, например: увеличение учебной нагрузки, трудности в адаптации к новым условиям обучения, физиологические особенности и изменения в психике ребенка и т.д. Считается, что складывающаяся к 13-14 годам система мыслительных операций подготавливает почву для формирования научных понятий, и на последнем этапе интеллектуального развития, т.е. периоде формальных операций, подросток освобождается от конкретной привязанности к объектам, и тем самым приобретает возможность мыслить так же, как взрослый человек. Он рассматривает суждения, как гипотезы, из которых можно вывести всевозможные следствия; его мышление становится гипотетико-дедуктивным.

Школа обязана  строить обучение таким образом, чтобы шло интенсивное развитие различных качеств ребенка, в  частности, его логического мышления. В 9-10 классах этому наиболее полно соответствует математика. При этом считается, что «левополушарные» формально-логические компоненты мышления организуют любой знаковый материал таким образом, что создается строго упорядоченный и однозначно понимаемый контекст, необходимый для успешного общения между людьми. Это могут быть не только слова, но и другие символы, знаки и даже образы, то есть когда из всех реальных и потенциальных связей между предметами и явлениями выбирается несколько определенных, не создающих противоречий и укладывающихся в данный контекст.

По некоторым  данным, созревание правого полушария  идет более быстрыми темпами, чем  левого, и поэтому в ранний период развития его вклад в обеспечение  психологического функционирования превышает  вклад левого полушария, даже утверждается, что до 9—10 лет ребенок является правополушарным существом. Такая оценка не лишена некоторых оснований, поскольку соотносится с определенными особенностями психического развития детей в дошкольном, а отчасти и в младшем школьном возрасте.

В возрасте 10-11 лет происходят изменения в  головном мозге, более быстрыми темпами  начинает развиваться левое полушарие. Это обстоятельство и должно учитываться  при обучении математике, как науке  особым образом развивающей логическое мышление. В этом процессе ребенок  все чаще начинает мыслить не только образами, но у него появляется возможность к абстрагированию. Именно отсюда при обучении младших подростков математике следует учитывать возрастную ассимитрию полушарий головного мозга. В частности, использовать моделирование учебных задач, проигрывание их на уроке, накопление образов, связанных с собственным сопереживанием той или иной учебной задаче.

 

2. Развитие интереса к изучению математики у учащихся

 

В последние годы много и часто  говорят о недостаточной эффективности  процесса обучения в школе. Главную  причину видят в том, что его  традиционная организация не отвечает требованиям времени, не создает  условий для улучшения качества обучения и развития учащихся. С  этим трудно не согласиться. Решение  этой проблемы, главным образом, зависит  от того, на получение какого именно результата ориентируется учитель  в своей работе. В этой связи  главным критерием деятельности учителя является представление  о конечном результате. Хотим ли мы дать ученику определенный набор  знаний по предмету или сформировать личность, готовую к творческой деятельности. Главное найти тот рычаг, который  приведет в движение механизм развития творческой деятельности, а вместе с тем и личности учащегося. Исходя из общей цели, стоящего перед системой обучения, направленной на общее развитие школьников, курс математики нацелен на решение следующих задач:

1. Способствовать продвижению школьников  в общем развитии, то есть развивать  их мышление;

2. Дать представление о математике  как науке, обобщающей реально  существующие и происходящие  явления и способствующей познанию  окружающей действительности;

3. Сформировать знания, умения и  навыки, необходимые ученику в  жизни.

При знакомстве с программой нужно  иметь в виду, что ее содержание не однородно и относится к  трем разным уровням, каждый из которых  имеет свою специфику и требует  различного подхода. Воспитать инициативного, думающего, ответственного человека традиционными  способами невозможно и программа  развивающего обучения – один из путей  достижения этой цели. Проблема, которая  особенно беспокоит педагогов, работающих в подростковых классах – потеря познавательного интереса, снижение внутренней мотивации учения.

Педагог должен исходить из реальной учебной ситуации. Ему надо не исследовать  мышление ребенка, а анализировать  ошибки детей, которые они допускают  в процессе выполнения учебных заданий. Главной задачей для педагога является формирование у учащихся познавательной мотивации. А это может произойти  только через грамотно построенное  образование.

 

3. Содержание вопроса комбинаторики в учебной литературе

 

На рубеже третьего тысячелетия становится очевидной  универсальность вероятностно-статистических законов, они стали основой описания научной картины мира. И ребенок  в своей жизни ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями, ведь игра и азарт составляют существенную часть его жизни. Круг вопросов, связанных  с осознанием соотношения понятий вероятности и достоверности, проблемой выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценкой степени риска и шансов на успех, представлением о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях – все это, несомненно, находится в сфере реальных интересов становления и развития личности.

Подготовку  человека к таким проблемам и  осуществляет школьный курс математики. Принципиальные решения о включении  вероятностно-статистического материала  как равноправной составляющей обязательного  школьного математического образования  приняты ныне и в нашей стране. Все перспективные государственные  образовательные документы последних  лет содержат вероятностно-статистическую линию в курсе математики 5-9 классов  наравне с такими привычными линиями, как «Числа», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрические  фигуры». Продолжение изучения этой линии предполагается в старших  классах.

Современные стандарты и программы  математического образования в  основной школе предполагают пропедевтику основных понятий, знакомство на наглядном, интуитивном уровне с вероятностно-статистическими закономерностями, определение основных понятий, построение и изучение базовых вероятностно-статистических моделей.

Сохранение интереса к изучению математики при использовании новых  комплектов учебников обеспечивается не только через дополнительные темы, но и через достаточное количество занимательных задач.

Занимательные задачи — инструмент для развития мышления, ведущего к  формированию творческой деятельности школьника. К таким задачам относятся  задачи «на соображение», «на догадку», головоломки, нестандартные задачи, логические задачи, творческие задачи. Например, задача 8-го класса: Восемь подружек решили обменяться фотографиями так, чтобы у каждой из них оказались фотографии остальных подруг. Сколько фотографий для этого потребуется.

Занимательный материал многообразен, но его объединяет следующее: 
1. способ решения занимательных задач не известен;

2. занимательные задачи способствуют  поддержанию интереса к предмету. Для решения занимательных задач характерен процесс поисковых проб. Появление догадки свидетельствует о развитии у детей таких качеств умственной деятельности как смекалка и сообразительность. Смекалка – это особый вид проявления творчества. Она выражается в результате анализа, сравнений, обобщений, установления связей, аналогий, выводов, умозаключений.

Систематизированный набор нестандартных  задач применяется по индивидуальному  плану учителя на уроках и во внеурочной работе.

Опыт проведения занятий  подтвердил, как велика роль комбинаторных  задач как средства развития мышления учащихся, формирования приемов умственной деятельности - анализа, синтеза, обобщения через реализацию полной схемы эвристических рассуждений: анализ проблемы, выдвижение гипотез, их проверка. Кроме этого поддерживается на достаточно высоком уровне познавательный интерес учащихся и к математике, и к информатике, а также укрепляются межпредметные связи.

 

3.1 Общие сведения

 

В обыденной  жизни нам нередко встречаются  задачи, которые имеют несколько  различных вариантов решения. Чтобы  сделать правильный выбор, важно  не упустить ни один из них. Для этого  надо уметь осуществлять перебор  всех возможных вариантов или  подсчитывать их число. Задачи, требующие  такого решения, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой.

Комбинаторика возникла в XVI веке и первоначально в ней рассматривались комбинаторные задачи, связанные в основном с азартными играми. В процессе изучения таких задач были выработаны некоторые общие подходы к их решению, получены формулы для подсчета числа различных комбинаций.

В настоящее  время комбинаторика является одним  из важных разделов математической науки. Ее методы широко используются для  решения практических и теоретических  задач. Установлены связи комбинаторики  с другими разделами математики.

В начальном  обучении математике роль комбинаторных  задач постоянно возрастает, поскольку  в них заложены большие возможности  не только для развития мышления учащихся, но и для подготовки учащихся к  решению проблем, возникающих в  повседневной жизни.

Комбинаторные задачи в начальном курсе математики решаются, как правило, методом перебора. Для облегчения этого процесса нередко  используются таблицы и графы. В  связи с этим учителю необходимы определенные умения и навыки решения  комбинаторных задач.

Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторику можно рассматривать  как введение в теорию вероятностей, поскольку методы комбинаторики  используются для решения многих вероятностных задач, в которых  речь идет о подсчете числа возможных  исходов и числа благоприятных  исходов в различных конкретных случаях.

Выбором объектов и расположением  их в том или ином порядке приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности.

С аналогичными задачами, получившими  название комбинаторных, люди сталкивались в глубокой древности. Уже несколько  тысячелетий назад в Древнем  Китае увлеклись составлением магических квадратов, в которых заданные числа  располагались так, что их сумма  по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата и т.д.