Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства

Рациональные и иррациональные уравнения и неравенства. Степень  с рациональным показателем. Понятие  равносильности уравнений и неравенств.

• Понятие равносильности уравнений и неравенств.
• Степень с рациональным показателем.
• Рациональные уравнения и неравенства.
• Рациональные уравнения.
• Метод интервалов для рациональных функций.
• Иррациональные уравнения.
• Уравнения вида: √f(x) = g(x)
• Уравнения вида: √f(x) = √g(x)
• Иррациональные неравенства.
• Неравенство  вида: √f(x) / √g(x) ≤ 0 (или ≥ 0)
• Неравенство  вида: √f(x) > g(x) (или < g(x) )
• Неравенство вида: √f(x) ≤ √g(x)
• Более сложные неравенства

Понятие равносильности уравнений и неравенств.

При решении неравенств и  уравнений фундаментальное значение имеет понятие равносильности, и  в нашей работе это будет играть большую роль. Два неравенства  
F₁(x) >G₁(x) иF₂(x) >G₂(x) или два уравненияF₁(x) =G₁(x) иF₂(x) =G₂(x) 
называются равносильными на множестве X, если каждое решение первого неравенства (уравнения), принадлежащее множеству X, является решением второго и, наоборот, каждое решение второго, принадлежащее X, является решением первого; или ни одно из неравенств (уравнений) на X не имеет решений. Таким образом, неравенства (или уравнения) называются равносильными на X, если множества решений этих неравенств (уравнений) совпадают.  
Отсюда следует, что, вместо того чтобы решать данное неравенство (уравнение), можно решать любое другое, равносильное данному. Замену одного неравенства (уравнения) другим, равносильным данному на X, называют равносильным переходом на X. Равносильный переход обозначают двойной стрелкой <=>. Если уравнение f(x) = 0 равносильно уравнению g(х) = 0, то это мы будем обозначать так:

f(x)=0 <=> g(x)=0

 
Примеры.

1. √sin²X -1 = 0 <=> cosX = 0, т.к. решением первого уравнения являются все Х, для которых sin²X = 1,но sin2X + cos2X ≡ 1, поэтому при этом cosX = 0, и наоборот.
2. √8 - Х² = X и 8 -Х² не равносильны, т.к. (-2) является решением второго уравнения, но не является решением второго.
3. Уравнения SinX = 3 и √8 - x = -1равносильны, т.к. ни то ни другое не имеет решений.

Отметим основные операции, приводящие к равносильным соотношениям.

1. Если функции f(x), g(x), h(x) определены на множестве X, то на X

f(x) < g(x) <=> f(x) + h(x) < g(x) + h(x), 
f(x) = g(x) <=> f(x) + h(x) = g(x) + h(x).

2. Если h(x) > 0 на X, то на X

f(x) < g(x) <=> f(x)h(x) <g(x)h(x),

т.е. при умножении неравенства  на положительную функцию знак неравенства  не меняется.

3. Если h(x)< 0 на X, то на X

f(x) < g(x) <=>f(x)h(x) > g(x)h(x),

т.е. при умножении неравенства  на отрицательную функцию знак неравенства меняется на противоположный.

4. Если h(x) ≠ 0 на X, то на X

f(x) = g(x) <=> f(x)h(x) =g(x)h(x).

5. Если f(x) ≥ 0, g(x) ≥ 0 на X, то на X

f(x) < g(x) <=>f²(x) < g²(x), 
f(x) = g(x) <=> f²(x) =g²(x),  
f(x) ≤ g(x) <=>f²(x) ≤ g²(x).

т.е. если обе части неравенства  или уравнения неотрицательны, то возведение в квадрат (или любую четную степень) обеих частей неравенства или уравнения приводит к равносильному неравенству или уравнению соответственно.

Если левая и правая части неравенства имеют разные знаки, то нельзя возводить неравенство в квадрат, т. к. возведение в квадрат может привести как к равносильному неравенству, так и к неравносильному: -4 < 5 и 16 < 25;-7 < 5, но 49 > 25.

 

1(A) Решить уравнение √1 - sinХ = cosX. 
Решение с помощью равносильных преобразований.

 

 
N — множество всех натуральных чисел.  
Z — множество всех целых чисел.  
Q — множество всех рациональных чисел.  
R — множество всех действительных чисел.  
Ø — пустое множество (нет решений).  
P_n(х) = a₀Xⁿ + a₁X^n-1 + ... + a_n — многочлен степени n, n € N.

Степень с рациональным показателем.

Xⁿ = a, n € Z. 
Начертим эскизы графиков функции у = Xⁿ для четных и нечетных n (рис. 1, 2).

 

Итак,

 
 

Рациональные  и иррациональные уравнения и  неравенства.

Рациональные  уравнения.

Одним из способов решения  уравнений высших степеней является разложение на множители многочлена, стоящего в левой части уравнения. Этот способ основан на применении теоремы Везу: если число а является корнем многочлена P_n(х), то этот многочлен можно представить в виде

P_n(х) = (x - a) Q_n-1(x).

Это значит, что если известен один корень уравнения степени п, то с помощью теоремы Везу задачу можно свести к решению уравнения степени n - 1, т. е., как говорят, понизить степень уравнения. Если P_n(х) можно представить в виде (x - a)^k Q_n-k(x) и число х = а не является корнем многочлена Q_n-k(x), то  
говорят, что а является корнем многочлена P_n(х) кратности k.  
Как найти хотя бы один корень? Его приходится «угадывать».  
Чтобы понять, как угадывать, приведем без доказательства теорему и ее следствия. 
 
Теорема1. Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения a₀X_n + a₁X^n-1 + ... + a_n-1X + a_n = 0 с целыми коэффициентами. Тогда число p является делителем свободного члена a_n, a q — делителем а₀ — коэффициента при старшей степени X.  
 
Следствие 1. Любой целый корень уравнения с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена. 
Следствие 2. Если коэффициент при старшей степени уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни уравнения, если они существуют, являются целыми числами.  
 
Если удалось угадать корень а, то найти частное от деления на (X - а) можно, по крайней мере, тремя способами: делением под углом; по схеме Горнера; последовательным выделением слагаемых, имеющих множитель (X - а).

 

 

17(С2). Решите уравнение (x² - 1)(x + 3)(x + 5) = 20.

□ Первый способ. Разложим все многочлены на элементарные множители (х - 1) (х +1) (х + 3) (x + 5) и нанесем их корни на числовую ось (рис. 4).  
Теперь видно, что расстояние между соседними корнями одно и то же. В таком случае, когда корней четное число, удобно сделать замену переменных t = х - x_o, где х_о — середина между крайними корнями. Тогда в уравнение войдут квадраты новой переменной. В данном случае х_о = -2. Поэтому t = х + 2 <=> х = t - 2 и уравнение станет биквадратным:  
(t - 3)(t - 1)(t + 1)(t + 3) ≡ (t² - 1)(t² - 9) = 20 <=> (t²)² - 10t² - 11 = 0 <=> t² = 5 ± 6 <=> t² = 11, 
или в старых переменных x = ± √11 - 2. 
Ответ: x = ± √11 - 2. 
 
□ Второй способ. Заметим, что сумма «крайних» корней уравнения (х — 1)(х + 1)(х + 3)(ж + 5) = 0 равна сумме «средних» корней: -5 + 1 = -3 - 1 = -4. Поэтому соответствующие произведения 
(x - 1)(x + 5) = х² + 4х - 5 и (х + 1)(х + 3) =x² + 4x + 3 имеют одинаковое слагаемое х² + 4х. В этом случае удобно сделать замену переменных: t = х² + 4х. Тогда заданное уравнение примет вид (t - 5)(t + 3) = 20 <=> t² - 2t - 35 = 0 <=> t = 7 и t = - 5. 
В старых переменных имеем: х² + 4х = 7 <=> х = - 2 ± √11 , x² + 4x = -5 <=> Ø.

 

 

Метод интервалов для рациональных функций.

1) двучлен (х - а) в нечетной степени ведет себя так же, как (х - а),  
2) двучлен (х - а) в четной степени ведет себя по-другому: он не меняет знак при переходе через точку а.  
3) квадратный трехчлен, имеющий положительный коэффициент при х² и отрицательный дискриминант, всегда положителен и может быть опущен при решении любого неравенства.  
4) при переходе через точку a может изменить знак только один множитель, (x - а)^k выражение (x - b)ⁿ, b ≠ a при переходе через а знак не меняет.

Иррациональные  уравнения.

Уравнения вида: √f(x) = g(x)

Обратим внимание на то, что  при этом ОДЗ выполняется автоматически и его можно не писать, а условие g(x) ≥ 0 необходимо проверять.

 

 

Уравнения вида: √f(x) = √g(x)

При таком способе решения  достаточно проверить неотрицательность одной из функций — можно выбрать более простую.

 

 

 

Иррациональные  неравенства.

Неравенство вида: √f(x) / g(x)≤ 0 (или ≥ 0)

школьники очень часто  ошибаются. Воспользуемся определением нестрогого неравенства (для определенности будем рассматривать один знак, например≥)

 

 

 

 

Неравенство вида: √f(x) > g(x) (или < g(x) )

Для решения неравенств обязательно  придется найти ОДЗ f(x) ≥ 0.  
Рассмотрим разность √f(x) - g(x). Квадратный корень если он существует, т.е. если х € ОДЗ, принимает неотрицательные значения. Поэтому,

а) если g(x) < 0, то разность положительна в ОДЗ и  неравенство √f(x) > g(x)  выполнено в ОДЗ, а неравенство √f(x) < g(x) не имеет решений;

б) если же g(x) ≥ 0, то знак разности может быть любым, но сумма √f(x) + g(x) ≥ 0 (неотрицательна), и умножение разности на эту сумму не меняет знака разности в ОДЗ. Поэтому если g(х) ≥ 0, то √f(x) - g(x) ≤ (≥) 0 <=> f(x) - g²(x) ≤ (≥) 0.

Отсюда следует правило  
Правило 1. Если g(х) ≥ 0, то знак разности √f(x) - g(x)совпадает со знаком разности f(x) - g²(x) в ОДЗ.  
Отсюда следуют условия равносильности

 

44(C2).Решите неравенство √2X² - 7X - 4 > -X - 0,25. [МФТИ, 1998] 
 
□ Найдем сначала ОДЗ: 
2X² - 7X - 4 ≥ 0   <=>   x € ( - ∞; - 0,5) U [4; + ∞). 
Теперь рассмотрим два случая.

• Если - х - 0,25 < 0   <=>   x > - 0,25, то неравенство выполнено в ОДЗ, т. е. X € [4; + ∞).
• Если - х - 0,25 ≥ 0   <=>   х ≤ - 0,25, то

 
Объединяя оба случая, получаем окончательный  ответ. 
Ответ: ( - ∞; (15 - √2X² - 7X - 4 )   /  4) U [4; + ∞).

 

 

 

Неравенство вида: √f(x) ≤ √g(x)

Правило 2. Знак разности √f(x) - √g(x) совпадает со знаком разности f(x) - g(x) в ОДЗ.

Более сложные  неравенства 

Т. к. при g(х) ≥ 0 знак разности √f(x) - g(x) совпадает со знаком разности  f(x) - g²(x) в ОДЗ, то получаются условия равносильности: