Принцип Дирихле

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ясно, что какие-то 2 из 5 точек  лежат в одном из этих квадратов  и расстояние между ними не превосходит  длины диагонали этого квадрата, то есть ¹ /₂ АС.

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим крайние случаи расположения пяти находящихся в  квадрате точек.

I случай.

Четыре точки совпадают  с вершинами квадрата АВСВ, а пятая (X) находится в центре квадрата. Здесь  решение очевидно: расстояние между  точками А и X, С и X, В и X, D и X равно 1/2АС (то есть не превосходит 1/2АС).

II случай.

Пятая точка (Y) находится на одной из сторон маленького квадрата.

∆АYХ - тупоугольный ( Y- тупой, т.к. являясь внешним углом треугольника АТY, он больше прямого угла Т треугольника АТY), следовательно, АY<АХ. То еcть АY≤ 1/2АС.

III случай.

Пятая точка (Z) находится внутри одного из маленьких квадратов.

 

 

 

 

 

 

Проведём через точку Z два луча ZМ и ZN:

ZМ || КХ, ZN || CK. Тогда NZМ=90°, но угол NZM - часть угла ХZС, значит он тупой. Поэтому в ∆ ХZС   ХС- наибольшая сторона. Значит, СZ<ХС, то есть СZ≤1/2 АС.

IV случай.

 

 

 

 

Пятая точка (Т) совпадает с точкой пересечения прямой а и стороны АВ. ∆ АТХ - прямоугольный, АХ - гипотенуза, поэтому, АТ<АХ, то есть АТ ≤ 1/2АС.

 

Рассмотрим теорему.

 

Пусть n € N. Из любых n+1 натуральных чисел можно выбирать два, разность, которых делится на n.

Доказательство

При делении на n получается один из остатков: 0. 1, 2, ... , n-1, (то есть n остаток). Нам же дано n+1 чисел, и по принципу Дирихле остатки от деления на n у каких-то двух из тех совпадают. Разность этих двух чисел делится на n.

(Пусть а : n=х(α), b : n=у (α), тогда а=n•х+ α , b=n•у+α.

Далее а - b=n•х+α-n•у - α , а-b=n•(х-у).

Так как n :n, то n•(х-у) : n по свойству делимости произведения.)

 

Задача № 10.

Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать два, разность, которых делится на 11.

Решение

Пусть остатки от деления  данных чисел на 11 - "клетки", а  данные числа - "зайцы" (а,b,с,d,e,f,g,h,k,l,m,n)

"Клетки" -  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

"Зайцы" - a  b c d e f g h k l m

Тогда 12-е число n при делении на 11 будет давать один из остатков от 0 до 10, а значит его разность с числом, дающим такой же остаток от деления на 11, будет кратна 11.

 

 

Задача №11.

Какое наименьшее количество любых натуральных чисел следует  взять, чтобы среди них всегда нашлась такая пара чисел, разность которых делилась бы на 5?

Решение

Разобьем множество натуральных  чисел на 5 классов.

I класс - числа, которые  при делении на 5 дают остаток,  равный 0.

II класс - числа, которые  при делении на 5 дают остаток,  равный 1.

III класс - числа, которые  при делении на 5 дают остаток,  равный 2.

IV класс - числа, которые  при делении на 5 дают остаток,  равный 3.

V класс - числа, которые  при делении на 5 дают остаток,  равный 4.

Очевидно, что разность двух чисел, принадлежащих одному и тому же классу, делится на 5, в противном  случае - нет.

Если же взять шесть  чисел, то среди них обязательно  найдутся два числа, принадлежащие  одному и тому же классу, и, следовательно, разность этих чисел будет делиться на 5 ⁴.

 

Задача № 12.

Дано 8 различных натуральных  чисел, каждое из которых не больше 15. Докажите, что среди их положительных  попарных разностей есть три одинаковых.

Решение

Пусть а, b, с, d, e, f, g, h - данные различные натуральные числа. Условимся, что а<b<с<d<е<f<g<h, причем h ≤ 15.

Различных разностей может  быть 14(15-14,15-13,....,15-2,15-1). Причем разность 14 может быть получена одним способом: 14=15-1.

Пусть разности будут 14 "клетками". Выясним, сколько пар чисел образуют эти 14 разностей.

b-a   c-b   ….   g-f  h-g

c-a   d-b   ….   h-f  1

d-a   e-b   ….   2

e-a   f-b   ….

f-a   g-b

g-a   h-b

h-a   6

7

 

Итак, разности образованы 28 парами данных чисел. Тогда 28 пар этих чисел будут «зайцами». Причем в  «клетке» с номером 14 может сидеть не более одного «зайца». Следовательно, оставшиеся 27 «зайцев» сидят в 13 оставшихся «клетках» 27=13-2+1.

Значит, найдется «клетка», в которой будет сидеть 3 «зайца», то есть среди положительных попарных разностей есть три одинаковых.

 

Задача № 13.

В строку вписано 5 натуральных  чисел: а₁,a₂, a₃ , a₄, a₅. Докажите, что либо одно из них делится на 5, либо сумма нескольких рядом стоящих чисел делится на 5.

Решение.

Рассмотрим пять чисел  х, у, z, t, р таких, что

x=   a₁

y=         a₁+a₂

z=       a₁+a₂+a₃

t=  a₁+a₂+a₃+a₄

p=       a₁+a₂+a₃+a₄+a₅

 

Если одно из них делится  на 5, то все в порядке, утверждение  справедливо. В противном случае при делении на 5 они дают в  остатке какие-то из четырех чисел: 1,2,3,4.

На основании доказанной теоремы разность каких-то двух из них  делится на 5. Но эти разности есть либо одно из данных чисел, либо сумма  нескольких из них, стоящих рядом.

у - х = (a₁ + а₂) – а₁ = а₂;

z - х = (a₁ + а₂ + a₃) - a₁ = а₂ + а₃;

z - у = (a₁ + a₂ + а₃) - (a₂ + a₁) = а₃;

t - х = (a₁ + а₂ + a₃+ a₄) - a₁ = a₂ + а₃ + a₄;

t - у = (а₁ + a₂ +a₃ + а₄) - (a₂ + а₁) = a₃ + а₄;

t - z = (а₁ + a₂ + a₃ + a₄) - (a₂ +a₁ + а₃) = а₄;

р - х = (а₁ + а₂ + a₃ + а₄ + а₅) - a₁ = а₂ + а₃ + a₄ + а₅;

р - у = a₁ + а₂ + a₃ + а₄ + a₅ - (а₁ + а₂) = а₃ + а₄ + а₅;

р – z = a₁ + a₂ +a₃ + a₄ + a₅ - (а₁ + а₂ + а₃) = a₄ + a₅ ;

p – t = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ – (a₁ + a₂ + a₃ + a₄) = a₅.

Итак, требуемое доказано.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Итак, результатом исследовательской  работы стала формулировка и доказательство принципа Дирихле, определение условий, позволяющих применять этот принцип  и решение разнообразных задач, соответствующих этим условиям.

Таким образом, принцип Дирихле является мощным логическим методом, с помощью которого решаются не только арифметические задачи, но и задачи с геометрическим содержанием.

В дальнейшем я планирую исследовать более сложные задачи, построенные на геометрическом материале. Например, такие:

1. Внутри квадрата со  стороной 7 дм находится 51 точка. Докажите, что

3 из них можно накрыть  кругом единичного радиуса.

2. Шахматная доска разрезана на 13 прямоугольников с целым числом клеток. Могут ли они все быть различными?

3. Несколько дуг окружности (с общей длиной менее половины  длины окружности) покрашены. Существует  ли диаметр, оба конца которого  не окрашены?

4. Сторона клетки шахматной доски равна 1. На доске лежат 70 точек, и никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Докажите, что найдется треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого не превышает 1.

5. В сфере, радиус которой  равен 1, летают 9 мух. Найдутся  ли 2 из них, расстояние между  которыми не превосходит квадратный  корень из 3?

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

 

1. Гусев, В. А., Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: Пособие для учителя: Пер. со 2-го рус. изд. / В. А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Розенталь; Под ред. С. И. Шварцбурда. - Душанбе: Маориф, 1989. – 309 с.

2. Канель - Белов, А. Я., Как решают нестандартные задачи [Текст] / А. Я. Канель-Белов, А. К. Ковальджи; под ред. В. О. Бугаенко. - Изд. 6-е, стер. - М.: Изд-во МЦНМО, 2010. - 94 с.

3. Миракова, Т.Н., Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах: Пособие для учителя / Т. Н. Миракова; Всесоюз. ассоц. учителей математики, [Науч. - метод. журн. "Квантор"]. - Львов: Журн. "Квантор", 1991. - 94 с.

4. Рассказы о математике и математиках / [Сост. С. М. Львовский]. - М.: МЦНМО, 2000. - 123 с.

5. Энциклопедический словарь юного математика: для среднего и старшего школьного возраста / [сост. А. П. Савин]. - Изд. 2-е, испр. и доп. - М.: Педагогика, 1989. - 352 с.

 

¹ Рассказы о математике и математиках / [Сост. С. М. Львовский]. - М.: МЦНМО, 2000. С. 50.

² Миракова, Т.Н., Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах: Пособие для учителя / Т. Н. Миракова; Всесоюз. ассоц. учителей математики. - Львов: Журн. "Квантор", 1991. – С. 89.

³ Миракова, Т.Н., Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах: Пособие для учителя / Т. Н. Миракова; Всесоюз. ассоц. учителей математики. - Львов: Журн. "Квантор", 1991. – С. 91.

⁴ Миракова, Т.Н., Развивающие задачи на уроках математики в V-VIII классах: Пособие для учителя / Т. Н. Миракова; Всесоюз. ассоц. учителей математики. - Львов: Журн. "Квантор", 1991. – С. 93.