Автор: Пользователь скрыл имя, 02 Февраля 2013 в 07:27, научная работа
В работе мною был рассмотрен и изучен принцип Дирихле.
Проведен в работе анализ решения задач по принципу Дирихле.
Собраны и исследованы фактические материалы о самом Петере Густава Лежене Дирихле, о его принципе решения задач.
Приведена демонстрация решения задач с помощью принципа Дирихле.
Актуальность работы несомненна, хотя бы потому, что знакомство с новыми методами решения задач расширяет их круг.
Аннотация ……………………………………………………………………….3
Введение …………………………………………………………………………4
Краткая биография Петера Густава Лежена Дирихле ………………....5
Формулировка и доказательство принципа Дирихле ……………..…...6
Решения задач с помощью принципа Дирихле ……………………….11
Заключение ……………………………………………………………………..18
Список использованной литературы …………………………………………19
Содержание
Аннотация ……………………………………………………………………….3
Введение …………………………………………………………………………4
Заключение ……………………………………………………………………..18
Список использованной литературы …………………………………………19
Аннотация
В работе мною был рассмотрен и изучен принцип Дирихле.
Проведен в работе анализ решения задач по принципу Дирихле.
Собраны и исследованы фактические материалы о самом Петере Густава Лежене Дирихле, о его принципе решения задач.
Приведена демонстрация решения задач с помощью принципа Дирихле.
Введение
Однажды изучая книги по математики, я увидел решение одной задачи с элементами доказательства. При этом решении ссылались на принцип Дирихле. Я заинтересовался этим доказательством, и ученым, который ввел его в математику, стал находить и решать задачи с применением этого способа доказательства.
Моя работа касается одного из интересных эвристических методов решения математических задач - принципа Дирихле. Принцип назван в честь немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле (1805-1859г.г.), который успешно применял его к доказательству арифметических утверждений.
В этой исследовательской работе мне хотелось бы показать, как самым интересным и сложным было находить в казалось бы простых задачах "зайцев" и "клетки", т.к. это иногда было совсем не очевидно. Из-за неправильного выбора задачи не решались, а как только определялись "зайцы" и "клетки", принцип Дирихле сразу помогал их решать.
После того, как я изучил этот принцип доказательства, я сам стал придумывать несложные задачи, решаемые с помощью принципа Дирихле. Так создавалась работа, которую я представляю.
Актуальность работы несомненна, хотя бы потому, что знакомство с новыми методами решения задач расширяет их круг.
Целями работы являются следующие:
1. Изучить краткую биографию немецкого математика;
2. Формулировка и доказательство принципа Дирихле;
3. Выявление круга задач, решение которых основывается на принципе Дирихле;
4. Демонстрация решения задач с помощью принципа Дирихле.
Дирихле Петер Густав Лежен (13.2.1805 – 5.5. 1859) - немецкий математик. Родился в Дюрене. В 1822-1827гг. был домашним учителем в Париже. Входил в кружок молодых ученых, которые группировались вокруг Ж. Фурье. В 1827 занял место доцента в Бреславе; с 1829 работал в Берлине. В 1831-1855гг. – профессор Берлинского университета, после смерти К. Гаусса (1855г.) – Гёттингенского университета. Сделал ряд крупных открытий в теории чисел; установил формулы для числа классов бинарных квадратичных форм с заданным определителем и доказал теорему о бесконечности количества простых чисел в арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой взаимно просты. К решению этих задач применил аналитические функции, названные функциями (рядами) Дирихле. Создал общую теорию алгебр, единиц в алгебраическом числовом поле. В области математического анализа впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, дал строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье кусочно-непрерывной и монотонной функций, что послужило обоснованием для многих дальнейших исследований. Значительны труды Дирихле в механике и математической физике, в частности в теории потенциала. С именем Дирихле связаны задача, интеграл (ввел интеграл с ядром Дирихле), принцип, характер, ряды. Лекции Дирихле имели огромное влияние на выдающихся математиков более позднего времени, в том числе на Г. Римана, Ф. Эйзенштейна, Л. Кронекера, Ю. Дедекинда 1.
Принцип Дирихле - это утверждение, согласно которому в любой совокупности из n множеств, содержащих в общей сложности более n элементов, есть хотя бы одно множество, содержащее не менее 2-х элементов.
Основная идея решения задач, выводимая из принципа Дирихле, заключается в следующем:
- если при разбиении множества элементов на не пересекающие части удаётся установить факт взаимосвязи между количеством элементов данного множества (N) и числом его частей (n) в виде N>n, то тогда можно утверждать, что среди этих частей такая, которая содержит более одного элемента.
По традиции в популярной литературе принцип объясняется на примере «зайцев и клеток»: „Если десять зайцев сидят в девяти клетках, то в некоторой клетке сидят не менее двух зайцев".
Докажем принцип Дирихле.
Если n зайцев сидят в k клетках, причём n>k, то найдётся клетка, в которой сидят не меньше, чем n/k зайцев, и найдётся клетка, в которой сидят не больше, чем n/k зайцев».
Допустим, что в каждой клетке сидят меньше, чем n/k зайцев. Тогда во всех клетках вместе зайцев меньше, чем n•k/k=n. Противоречие с условием.
Аналогично, если допустить, что в каждой клетке сидят больше, чем n/k зайцев, то во всех клетках вместе зайцев будет больше, чем n•k/k=n. Это тоже противоречит условию утверждения. Следовательно, требуемое доказано.
Формулировка принципа Дирихле кажется очевидной, однако трудность состоит в том, что в задачах не указаны ни зайцы, ни клетки.
Зная принцип Дирихле, можно догадаться, в каких случаях его применять. Например, если каждому элементу множества А соответствует ровно один элемент множества В, то элементы множества А можно назвать зайцами, а элементы множества В – клетками 2.
Рассмотрим две простейшие задачи.
Задача № 1.
У мальчика 9 медных монет (Достоинством 1коп., 2коп., 3коп., 5коп.). Докажите, что у него есть хотя бы три монеты одинакового достоинства.
Решение.
Установим соответствие между двумя множествами (А и В), где А - множество монет, а В - множество достоинств монет.
При этом монеты будут зайцами, а достоинства монет - клетками.
1 коп 2 коп 3 кон 5 коп
2мон. 2мон. 2мои. 2мон.
Тогда при наихудшем раскладе окажется по две монеты разного достоинства и ясно, что девятая монета (заяц) попадает в одну из клеток. То есть она окажется третьей монетой одного и того же достоинства.
Задача № 2.
В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.
Решение.
В данной задаче ящики - это «зайцы», а сорта - «клетки».
25 ящиков - «зайцев» рассадили по 3 - «клеткам» - сортам. Так как 25=3-8+1, то получим, что в какой-то - «клетке» - сорте не менее 9 «зайцев» - ящиков.
Теперь рассмотрим решение более сложных задач.
Задача № 3.
Докажем, что в любой компании из 5 человек есть двое, имеющих одинаковое число знакомых в этой компании.
Решение.
У каждого члена компании может быть от 0 до 4 знакомых. Если у каждого компаньона 0 знакомых, то утверждение доказано. Заметим, что если у кого-то из компаньонов 4 знакомых, то ни у кого не может быть 0 знакомых. То есть 0 и 4 знакомых исключают друг друга.
Рассмотрим вариант, когда у каждого члена компании от 1 до 4 знакомых. Тогда количество знакомых - клетки, а компаньоны » зайцы.
1зн. 2зн. 3зн. 4зн.
1 1 1 1
Получаем, что «зайцев» - компаньонов на 1 больше чем «клеток» -количество знакомых. Поэтому как минимум у двоих компаньонов есть одинаковое число знакомых,
Задача № 4.
10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причём известно, что среди них есть школьники, решившие ровно одну задачу, школьники, решившие ровно две задачи и школьники, решившие ровно три задачи. Докажите, что есть, по крайней мере один школьник, решивший не менее пяти задач,
Решение.
Пусть школьники «клетки», а задачи «зайцы». Установим соответствие между этими двумя множествами.
№1 №2 №3 №4 №5 №6 №7 №8 №9 №10
1 2 3 4 4 4 4 4 4 4 4
Согласно условию найдутся 7 школьников, решивших 29 задач.
35-(1+2+3)=29 (задач).
Но 29=7-4+1! Значит, «оставшийся» 1 «заяц», который попадёт в одну из семи клеток с номерами 4-10. Следовательно, по крайней мере один из школьников решил 5 задач.
Задача № 5.
В классе 41 ученик написал по три контрольных работы. В результате учитель не поставил ни одной неудовлетворительной отметки, и каждый ученик получил все остальные отметки. Узнав об этом, один ученик заметил, что, по крайней мере, 7 человек получили одинаковые отметки по всем трём контрольным работам, а другой, подумав, сказал, что таких учеников, наверное, будет 8. Кто из них прав?
Решение.
Разобьём класс на группы в соответствии со всевозможными наборами отметок. Пусть отметки - это «клетки», а ученики - «зайцы».
Тогда 3,4,5 3,5,4 4,3,5 4,5,3 5,3,4 5,4,3
6 6 6 6 6 6
Если в каждой группе не больше 6 человек, то всего в классе не больше 36 учащихся, что противоречит условию задачи.
Следовательно, по крайней мере, в одной из этих групп не меньше 7 человек.
Возможен, однако, и случай, когда в каждой группе не больше 7 человек. Например, в одной группе 6, а в остальных - по 7 человек, ведь 41=7-5+6.
Следовательно, утверждение
второго ученика абсолютно
Задача № 6.
Несколько футбольных команд проводят турнир в один круг. Докажите, что в любой момент турнира найдутся две команды, сыгравшие к этому моменту одинаковое число матчей.
Решение.
Пусть число матчей, сыгранных командами (0,1,2,3,..., n-2, n-1) «клетки», а команды - «зайцы» (их n).
Заметим, что случай 0 и n-1 матчей исключают друг друга, так как, если одна команда сыграла n-1 матчей, (то есть все!), то остальные команды сыграли минимум по одному матчу. Итак, имеем n-1 «клеток» (матчей) и n «зайцев» (команд). Очевидно, что две команды, сыгравшие одинаковое количество матчей в любой момент турнира найдутся.
Некоторые геометрические задачи решаются методами, в какой-то мере аналогичными принципу Дирихле. Сформулируем соответствующие утверждения:
1) Если на отрезке длиной
1 расположено несколько
2) Если на окружности радиуса 1 расположено несколько дуг, сумма длин которых больше 2р, то по крайней мере две из них имеют общую точку.
3) Если внутри фигуры площадью 1 расположено несколько фигур, сумма площадей которых больше 1,то по крайней мере две из них имеют общую точку.
Рассмотрим решение задач с геометрическим содержанием 3.
Задача № 7.
Докажите что, если прямая пересекает две стороны треугольника (и не проходит через его вершины), то она не пересекается с третьей стороной треугольника.
Решение.
Прямая разбивает плоскость треугольника на две открытые полуплоскости (не содержащие точек этой прямой). Две из трех вершин треугольника (пусть А, В лежат в одной из полуплоскостей). Очевидно, что отрезок АВ не содержит точек прямой.
Задача № 8.
В квадрат со стороной 1м бросили 51 точку. Докажите, что какие - то 3 из них можно накрыть квадратом со стороной 10см.
Решение.
Разобьем данный квадрат на 25 квадратиков со стороной 20см
(1м- 1м =20•см•20см•25).
Имеем 25 «клеток» (квадратов) и 51 «зайца» (точку). 51=25•2+1. Ясно, что на основании принципа Дирихле, в какой-то один из квадратиков попадут, по крайней мере, три точки.
Задача № 9.
В квадрате АВСО находятся 5 точек. Докажите, что расстояние между какими-то двумя из них не превосходит 1 /2 АС.
Решение.
Проведя через центр квадрата прямые (а и Ь), параллельные его сторонам, разрежем его на 4 одинаковых квадрата.