Автор: Пользователь скрыл имя, 03 Ноября 2012 в 12:26, контрольная работа
Дифференциальное исчисление широко используется при исследовании функций. С помощью производной можно найти промежутки монотонности функции, ее экстремальные точки, наибольшие и наименьшие значения.
Если функция f имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке некоторого промежутка, то она возрастает (убывает) на этом промежутке. При нахождении промежутков монотонности нужно иметь в виду, что если функция возрастает (убывает) на интервале (a,b) и непрерывна в точках a и b, то она возрастает (убывает) на отрезке [a,b].
(2.13)
Равенство имеет место тогда и только тогда, когда b=f(a). Это неравенство называют неравенством Юнга. Оно является источником получения других важных неравенств.
Пример 2.10. Функция
f, где f(x)=x, удовлетворяет условиям,
при которых справедливо
(2.14)
Пример 2.11. Функция f, где f(x)=xa, a>0, непрерывна, возрастает при x>0, f(0)=0. Обратной для нее является функция f-1, где f-1(x)=x1/a. Из неравенства (2.13) имеем
. Обозначив , получим
Из неравенства (2.15) может быть получено известное неравенство Гельдера: где
Из неравенства (2.15) может быть выведено и так называемое интегральное неравенство Гельдера: где
Полагая r=2, получим известное неравенства Коши-Буняковского:
Задача 2.21. Доказать, что для произвольного выполняется
Решение.
Неравенство достаточно доказать при . Положив в неравенстве , имеем. Так как , , то получаем , или .