Применение формул и методов вычисления вероятностей для конкретных практических задач

Решение: 

Дискретная случайная  величина X (число отказавших элементов  в одном опыте) имеет следующие возможные значения:

x₁=0 (ни один из элементов устройства не отказал),

x₂ = l (отказал один элемент),

x₃=2 (отказали два элемента) и x₄=3 (отказали три элемента).

Отказы элементов  независимы один от другого, вероятности отказа

каждого элемента равны между собой, поэтому применима формула Бернулли, согласно которой вероятность наступления одного и того же события, k раз в n испытаниях: 

P_n(k) = C_n^k * p^k * q^n-k

Учитывая, что, по условию, n = 3, р = 0,1 (следовательно,

(q= 1—0,1 =0,9), получим:

Рз(0) = q³ = 0,9³ = 0,729;

Рз(0) = C(1,3) * p * q² = 3.0,1 0,92=0,243;

P₃(2)=C(2,3) * p² * q = 3.0,ia.0,9 = 0,027;

Рз(3) = р^З = 0,1^з = 0,001. 

Контроль: 0,729+0,243+0,027+0,001 = 1. 

Напишем искомый  биномиальный закон распределения X:

X     0        1       2         3

р 0,729 0,243 0,027 0,001 

Задача  №11 

В партии имеется 3000 деталей. Вероятность того, что  деталь, отправляемая в партию, окажется бракованной, равна 0,001.

Найти вероятность  того, что в партии окажется 5 бракованных  деталей. 

Решение: 

В нашем случае требуется найти вероятность  редкого события 

A = {окажется 5 бракованных деталей}

Вероятность бракованной  детали постоянна и мала (0,00033), а число деталей велико (3000). Следовательно, мы можем воспользоваться формулой распределения Пуассона: 

P_n^k = (۸^k e ^-۸)/k!, где ۸ = n*p

В нашем случае n = 3000, p = 0,00033 и k = 5. Тогда вычислим вероятность: 

P₃₀₀₀⁵ =

P₃₀₀₀⁵ = 0,0029 

Задача  №12 

Ролик кодового замка содержит N=5 возможных цифр, из которых нужно выбрать одну. С какой вероятностью его можно открыть точно с 5-го раза? 

Решение

Вероятность единичного набора постоянна и определяется по формуле: p = 1/N=0,2. Пусть Х – дискретная случайная величина, число испытаний до появления события открытия замка.

Вероятность правильного  единичного выбора есть распределение, очевидно, геометрическое (нам требуется определить наступление события при k=5 испытании). 

P(X = 5) = q ^k-1 * p = (1-0,2)⁴ * 0,2 = 0,082 

• Раздел  IV: Интегральная теорема Лапласа.

 
 

Суть  теоремы:

Если проводится n испытаний с неравной вероятностью, не равной 0 или 1, то вероятность того, что событие появится от k₁ до k₂ раз будет равна: 

- функция Лапласа;

; . 
 

Задача  №13 

В результате осмотра  устаревших станков было установлено, что в среднем каждый четвёртый  станок неисправен. Найти вероятность того, что из 300 таких станков найдётся от 20 до 60 неисправных. 

Решение: 

Каждый четвёртый  станок не исправен, следовательно, вероятность неисправности каждого станка равна p = ¼ = 0,25.

Применим интегральную теорему Лапласа, где 

p=0,25;  n = 300; k₁ = 20; k₂ = 60. 

X₁ = = -7,33

X₂ = =  -2 

P₃₀₀ (20...60) = Ф(-2) – Ф(-7,33) = Ф(7,33) – Ф(2) = 0,5 – 0,4772 = 0,02 
 
 
 
 

Раздел  IV: Числовые характеристики случайных величин. 

Задача  №14 

Непрерывная случайная  величина Х распределена по равномерному закону на отрезке от 4 до 6. Найти  математическое ожидание, дисперсию  и среднеквадратичное отклонение этой случайной величины. 

Решение: 

Найдём плотность  распределения вероятности по формуле:

W(x) = 1/(b-a), a <= x <= b. Вне интервала плотность равна нулю. 

W(x) = 1/(6-4) = 0,5.

Математическое  ожидание непрерывной случайной  величины характеризует её среднее  значение на заданном интервале и  определяется по формуле:

                      b                             6

 6

M(x) =          x * w(x) dx =       0,5*x dx = 0,5 * x² /2   = 0,5*(13-8) =2,5 

            a                              4  4 

                      6                                      6

M(x²) =          x² w(x)dx = 0,5 * x³/3        = (216-64)/6 = 25,3

             4                                                4

Дисперсия непрерывной  случайной величины – это математическое ожидание квадрата её отклонения от математического ожидания и вычисляется по формуле: 

D(x) = M(x²) – M²(x) = 25,3 – 2,5² = 19,05. 

Среднеквадратическое  отклонение – это показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания и вычисляется по формуле:

σ = = 4,365 
 

Раздел  IV: Лемма Чебышёва 

Суть  теоремы: 

Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε, не меньше, чем  1 – D(X) / ε ²: 

Р ( | X-M (X) | <  ε ) ≥ 1 – D (Х) / ε ². 

Задача  №15 

Устройство состоит  из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05.

С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется меньше двух. 

Решение: 

Обозначим через  X дискретную случайную величину - число отказавших элементов за время Т.

Тогда:

М(Х) = nр = 10 * 0,05 = 0,5;

D(X) = npq= 10 * 0,05 * 0,95 =0.475. 

Воспользуемся неравенством Чебышева: 

Р ( | X-M (X) | <  ε ) ≥ 1 – D (Х) / ε ². 

Подставив сюда M(X) = 0,5; D(X) =0,475, ε = 2 , получим 

Р (| X—0,5| < 2) ≥ 1 —0,475/4 

Р (| X—0,5| < 2) ≥ 0,88.