Применение формул и методов вычисления вероятностей для конкретных практических задач

Нижегородский Государственный  Технический Университет

Им. Р.Е. Алексеева 
 
 
 
 

Кафедра “Вычислительные системы и технологии” 
 
 
 
 

Расчётная работа

 

по дисциплине “Теория вероятностей” 

Тема: “Применение формул и методов вычисления вероятностей для конкретных практических задач” 
 
 
 
 
 

                                                                    Выполнил: Фролов Н.С. 
 

Приняла: Панкратова А.З. 
 
 
 
 
 

Нижний  Новгород 

2011 год 
 
 
 

Раздел  I: Классический метод вычисления вероятностей 

Данный метод  применим, когда все элементарные события равновероятны и несовместны, образуя полную группу. Число равновозможных событий счётно и дискретно. 

Задача №1. 

Лотерея представляет собой выбор наудачу одного из 20 жетонов. Известно, что количество призовых жетонов среди всех равно 5. Какова вероятность того, что среди 4 человек, наудачу выбравших жетон, двое окажутся победителями? 

Решение: 

Пространство  элементарных событий образует полную группу, следовательно, применим классический метод вычисления вероятности.

Пространство  элементарных событий: Ω = {С (4,20)}

Общее число  элементарных событий: 

N = С (4,20) = 4845

Число благоприятствующих событий:  

M = C (2,5) = 10 – способов выбора 4мя участниками одного из 5 выигрышных жетонов. 

Тогда искомая  вероятность определиться по формуле: 

P (A) = M / N = 10/4845 = 0,00206,  

где A = {Среди 4х человек – 2 победителя} 
 
 
 
 
 

Задача  №2 

На заводе произвели 27 деталей, из которых оказалось 9 бракованных. Найти вероятность того, что мастер возьмёт хорошую деталь. 

Решение:

Пространство  элементарных событий образует полную группу, следовательно, применим классический метод вычисления вероятности.

Событие A = {Мастер получит хорошую деталь}

Общее число  событий:

N = | Ω| = 27 – общее число событий;

Число благоприятствующих событий:

M = 27-9=18 – число благоприятствующих событий.

P(A) = M / N = 18/27 = 2/3 

Задача №3 

При перевозке  ящика, в котором содержались 21 стандартная 10 нестандартных деталей, утеряна  одна деталь, причем неизвестно

какая. Наудачу  извлеченная (после перевозки) из ящика  деталь

оказалась стандартной. Какая деталь вероятнее всего была утеряна? 

Решение

Пространство  элементарных событий образует полную группу, следовательно, применим классический метод вычисления вероятности. | Ω| = 30 – кол-во элементарных событий

А = {Утеряна стандартная деталь}, B = {Утеряна нестандартная}

Извлеченная стандартная  деталь, очевидно, не могла быть утеряна.

Могла быть потеряна любая из остальных 30 деталей (21 + 10 —1=30), причем среди них было 20 стандартных (21 – 1 = 20). Вероятность того, что была потеряна стандартная деталь,

Р (А)  = 20/30 =2/3.

Событие B является противоположным событию А, следовательно

P(B) = 1 – P(A) = 1/3.

Вероятность события А больше, чем события B, следовательно вероятно, что была утеряна стандартная деталь.

Задача  №4 

Абонент забыл  последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места. 

Решение: 

Абонент набрал одну из десяти равновероятных цифр, поэтому  общее число элементарных событий  | Ω | = 10. Эти события образуют полную группу, следовательно мы имеем право применить классический метод определения вероятности. 

Вероятность набрать  верную цифру из десяти равна по условию p=1/10, q=1-p=9/10 – вероятность набрать неверную цифру. Получаем следующие случаи:

1. первый звонок оказался верным, вероятность равна 1/10 (сразу набрана нужная цифра)
2. первый звонок оказался неверным, а второй – верным, вероятность равна 9/10*1/9 (первый раз набрана неверная цифра, а второй раз верная из оставшихся девяти)
3. первый и второй звонки оказались неверными, а третий – верным, вероятность равна 9/10*8/9*1/8 (аналогично).

 

Поскольку между  случаями можно поставить логическое “ИЛИ” мы имеем право складывать вероятности этих случаев. Тогда получаем P=1/10+1/10+1/10=3/10=0,3 – вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места.  
 
 
 
 
 

Задача  №5

Один из мальчиков  родился в марте, а другой в  апреле. Какова вероятность того, что  оба они родились в первой неделе месяца? 

Решение: 

Поскольку мальчик  родился только в один из возможных  и равновероятных дней месяца, то события, соответствующие рождениям в  любой из этих дней составляют полную группу. Следовательно, классический метод  вычисления вероятности применим для  данной задачи. 

| Ω| = 31, A = {Мальчик родился в первой неделе марта}, |A| = 7 

Вероятность того, что первый мальчик родился в первой неделе марта равна:

 
 
Аналогично, вероятность того, что второй мальчик родился в первой неделе апреля равна:

 
 
Вероятность того, что оба они  родились в первой неделе месяца, равна P(A) ∙ P(B) (поскольку имеем логическое “И”):

P(A) × P(B) = 49 / 930 = 0,05 
 
 
 
 
 

Задача №6 

В цехе работает 20 станков. Из них 10 марки А, 6 – марки В и 4 – марки С. Вероятность того, что качество детали, изготовленной на этих станках, окажется отличным, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?

Решение: 

Введем независимые  гипотезы:

= (станок марки А),

= (станок марки В),

= (станок марки С). 

Найдем вероятности  гипотез, используя данные о количестве станков каждой марки:

, , . 

Введем событие  = (Качество детали отличное).

По условию  заданы вероятности:

, , . 

Для нахождения вероятности события  используем формулу полной вероятности: 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  №7 

Для разрушения моста достаточно попадания одной  бомбы. Найти вероятность того, что  мост будет разрушен, если на него будут  сброшены 4 бомбы с вероятностями  попадания соответственно 0,3; 0,4; 0,6; 0,7. 

Решение: 

Для определения  вероятности воспользуемся формулой вероятности появления хотя бы одного из n событий:

 
 
Обозначим события: А1 = «Первая бомба попала на мост» 
А2 = «Вторая бомба попала на мост» 
А3 = «Третья бомба попала на мост» 
А4 = «Четвертая бомба попала на мост» 
 
В нашем случае:

 

 
 
Тогда P (A1 + A2 + A3 + A4) = 1 – 0,7 ∙ 0,6 ∙ 0,4 ∙ 0,3 = 0,9496. 
 
Таким образом, вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будут сброшены 4 бомбы с заданными вероятностями попадания, равна 0,9496, то есть это почти достоверное событие. 
 
 
 

Раздел  II: Геометрический способ вычисления вероятности. 

Данный способ применим, когда пространство элементарных событий не является дискретным и конечным множеством. Можно сказать, что этот метод применим, когда плотность распределения вероятности есть постоянная величина. 

Задача  №8 

На квадратном листке бумаги ширины a нарисован правильный треугольник со стороной 2а/3. Листок вешают на стену и стреляют в него. Какова вероятность, что, попав в листок бумаги, стрелок попадёт и в область треугольника?  

Решение:                            2a/3

 

                                      а 
 
 
 

А = {Пуля попала в треугольник}

Обозначим X – случайная величина, определяющая положение места попадания пули. Если считать размеры отверстия пули очень малыми относительно листка, то можно сказать, что плотность распределения этой случайной величины есть постоянная величина. Следовательно, применим геометрический метод вычисления вероятности, где искомая вероятность определиться следующим образом:

P(A) = S(A) / S(Ω) = S_треуг / S_кв

S_кв = a ²

S_треуг = ( (2a/3) ²) / 4 

Тогда P(A) = ( (2a/3)²) / 4a² = / 9 = 0,0192 
 
 

Задача  №9 

Какова вероятность  Вашей встречи с другом, если вы договорились встретиться в определенном месте, с 12.00 до 13.00 часов и ждете друг друга в течение 5 минут? 

Решение: 

Встреча проходит в неизвестный момент времени (12:00 ÷13:00), причём множество всех возможных моментов времени встречи непрерывно. Встреча может произойти в любой момент с равной вероятностью. Следовательно, мы в праве применить геометрический метод распределения вероятности. 

Обозначим за х  и у время прихода, 0 ≤ х, у ≤ 60 (минут).

В прямоугольной  системе координат этому условию  удовлетворяют точки, лежащие внутри квадрата ОАВС.

Множество точек, заключённых в этой области непрерывно, следовательно, применим геометрический метод вычисления вероятности.

Друзья встретятся, если между моментами их прихода  пройдет не более 5 минут, то есть  
y - x < 5, y >0,  
x - y < 5, x > y.  
Этим неравенствам удовлетворяют точки, лежащие в области G, выделенной жирным контуром.  
 
Тогда вероятность встречи равна отношению площадей области G и квадрата, то есть

 

Раздел  III: Законы распределения вероятностей дискретной случайной величины. 

Законом распределения  вероятностей дискретной случайной  величины называется соответствие между  возможными значениями этой величины и их вероятностями. 

Задача  №10. 

Устройство состоит  из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить  закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.