Приложения определенных интегралов

Содержание: 

1. Площадь плоской области.

1.1. Декартовы координаты._______________________________________3

1.2. Область задана в полярных координатах.________________________4

1.3. Область ограничена кривыми, заданными параметрически._________7

2. Вычисление длин кривых.

2.1. Определение спрямляемой кривой и длины кривой._______________8

2.2. Длина кривой в декартовых координатах._______________________ 8

2.3. Кривая задана параметрически.________________________________9

2.4. Кривая задана в полярных координатах.________________________10

3. Объёмы тел вращения.

3.1. Вычисление объёма тела по площадям поперечных сечений._______12

3.2. Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг координатной оси.___________________________________________________________13

3.3. Объём тела в полярных координатах.___________________________14

4. Площадь поверхности вращения.________________________________15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1. Площадь плоской  области.

1.1 Декартовы координаты.

    Геометрический  смысл определённого интеграла: если f(x)>0 на отрезке [a,b], то    равен площади криволинейной трапеции ABCD, ограниченной снизу отрезком [a,b], слева и справа - прямыми x = a и x = b , сверху - функцией y = f(x) . Следствие: если фигура ограничена сверху кривой y = f(x) , снизу - кривой y = g(x) , слева и справа - отрезками прямых x = aи x = b, то её площадь равна  

. 

Пример: Найти  площадь области D, ограниченной кривыми

y = x2 + x + 11, y = 2 x - 9, при условии, что   (дальше мы будем писать так:  ).  
При решении таких задач следует обязательно изобразить исследуемый геометрический объект. Для определения нижнего предела интегрирования надо найти точку пересечения кривых; уравнение x2 + x + 11 = 2 x - 9 имеет два корня: x = -1 и x = 2. Подходящий корень - x = -1.

Область ограничена сверху параболой, снизу - прямой, справа - прямой x = 1, крайняя левая точка - x=-1 , поэтому

 Если область имеет более  сложную структуру, её следует разбить на простые части.  

    1.2. Область задана  в полярных координатах.

    Если  область D - сектор, ограниченный лучами  ,   и кривой  , формула для вычисления площади получается с помощью следующей интегральной конструкции. Разобьём промежуток   лучами на n частей;  . На каждом из отрезков   выберем произвольную точку  , найдём  , тогда   равно площади сектора круга, ограниченного лучами  ,   и дугой окружности радиуса . Объединение этих секторов - снова ступенчатая фигура, приближающая данную область D, её площадь 

    

    При   разница между Sступ и S - площадью области D - будет тоже стремиться к нулю,

    т.е.  . 

    

    Примеры:

    1) Найти площадь, ограниченную лемнискатой  .  
Решение: точки лемнискаты расположены в секторах   и   ; кроме того, при решении таких задаче целесообразно использовать симметрию фигуры, поэтому мы найдём площадь части, расположенной в секторе   и учетверим её: 

     .  
2) Найти площадь, лежащую внутри кардиоиды   вне окружности  .  
Решение: найдём разность площадей, лежащих внутри кардиоиды и окружности. Для верхней части кардиоиды   ; для верхней части окружности  , поэтому

    

 
3) Найти площадь, лежащую внутри окружности   вне лемнискаты  .  
Решение. Точки пересечения лемнискаты и окружности находятся из условия  , 

      

    Область симметрична относительно полярной оси, поэтому вычисляем площадь  верхней части и удваиваем  её. При изменении   от   до   полярный радиус меняется от  до  ; при изменении   от   до   полярный радиус меняется от 0 до  , поэтому

      

    

  
 
 
 
 
 

    1.3. Область ограничена кривыми, заданными параметрически.

    Если  кривая, ограничивающая криволинейную трапецию ABCD. Вычисление площади криволинейной трапеции) задана в параметрическом виде  

       ;

    то  переход в интеграле   к переменной t приводит к формуле  .  
Пример: найти площадь, ограниченную астроидой  

      ( ).  
Решение: используем симметрию фигуры. Мы найдём площадь части фигуры, расположенной в первом квадранте ( ), и учетверим её. Точка (0, a) получается при  , точка (a, 0) - при t = 0, поэтому 

        
 
 
 
 
 

2. Вычисление длин  кривых.

2.1. Определение спрямляемой  кривой и  длины кривой.

    Пусть на плоскости задана кривая AB. Разобьём эту кривую точками A = M0, M1, M2, …, Mi-1, Mi, …, Mn = B на n частей и впишем в кривую ломаную M0 M1 M2 …Mi-1 Mi … Mn, соединяющую эти точки. Длина L лом этой ломанной равна сумме длин прямолинейных звеньев, соединяющих точки разбиения:

  . Устремим теперь количество n точек разбиения к бесконечности так, чтобы максимальная длина звена   стремилась к нулю. Если при этом существует конечный предел последовательности длин ломаных L лом, не зависящий от способа разбиения кривой, то кривая называется спрямляемой, а значение этого предела называется длиной кривой AB. 

     
2.2. Длина  кривой в декартовых  координатах.

    Пусть теперь кривая AB - график функции кривой y = f(x), имеющей непрерывную производную  ,  . Тогда точка Mi имеет координаты (xi, f(xi)), звено Mi-1Mi имеет длину

       Функция y = f(x) на отрезке [xi-1xi]удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому существует точка   такая, что  . 
 

    С учётом этого длина звена Mi-1Mi равна  

     , длина всей ломаной -  .

    Последняя сумма - интегральная сумма для интеграла  

      , и, вследствие непрерывности подынтегральной функции, стремится к нему при . Итак, длина кривой, заданной декартовым уравнением y = f(x),  , определяется формулой  .  
Пример: Найти длину отрезка параболы y = x2 от точки A(0,0) до точки B(2,4).  
Решение:   , поэтому    . 

     
2.3. Кривая  задана параметрически. 

     .

    Заменим в   переменную x на переменную t. Так как  , то .

    Итак, длина кривой, заданной параметрически, определяется формулой  .  
Пример: найти длину участка развёртки окружности, соответствующего одному витку нити. 

    Решение: кривая задаётся уравнениями 

       .  

    2.4. Кривая задана  в полярных координатах.

    Случай, когда кривая задаётся уравнением  ,   , легко сводится к предыдущему. Так как  , то, рассматривая полярный угол   как параметр, получим

     , поэтому

     .  
Пример: найти длину кардиоиды  . 

Решение:  

     , поэтому  .

Ответ явно бессмысленен.

    Где ошибка? Ошибка в том, что упущен знак модуля при извлечении корня  из  .

    Правильное  решение:

      Однако, как и в предыдущих случаях, проще воспользоваться симметрией фигуры, найти длину верхней ветви  и удвоить её:   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    3. Объёмы тел вращения.

    3.1. Вычисление объёма  тела по площадям  поперечных сечений.

    Пусть тело V расположено в пространстве между плоскостями x = a и x = b, и для   известна площадь его поперечного сечения S = S(x). Требуется определить объём этого тела.  
 Рассечём это тело плоскостями x = x0 = a, x = x1, x = x 2, …, x = xi-1, x = xi, …, x = x n-1, x = xn = b на n слоёв (a = x0< x1 < < x2< …< xn-1 < xn = b), на каждом из отрезков [xi-1,xi] возьмём произвольную точку  ; будем считать, что объём слоя, заключенного между плоскостями x = xi-1 и x = xi приближённо равен объёму   цилиндрика с площадью основания   и высотой  :  . Сумма объёмов   - объём ступенчатой фигуры - при   стремится к искомому объёму V,

    поэтому  . 

    

     
 
 
 

    3.2. Объём тела, получающегося при вращении кривой вокруг

    координатной  оси.

    Если  объём V получается в результате вращения кривойy = f(x), 

, вокруг оси Ox, то, очевидно,  , поэтому  .  
Пример: найти объём эллипсоида, получающегося при вращении эллипса   вокруг оси Ox.

    Решение: эту задачу проще решить, если применить  параметрические уравнения эллипса:  . 

    Верхняя дуга эллипса получается при изменении t от 0 до  , при этом точке крайней левой точке эллипса соответствует значение параметра t0 , равное  , крайней правой точке соответствует значение tk = 0.

    Формула   для кривой, заданной параметрически, примет вид  , поэтому  . 

    

     
Если требуется найти объём  тела, которой получается при вращении плоской фигуры ABCD вокруг оси Oy, рассуждаем по другому. Разбиваем тело на полые цилиндры радиуса x, толщины  , высоты f(x). Объём этого цилиндра равен произведению длины окружности   на толщину   и высоты f(x); суммируя эти объёмы и переходя к пределу при  , получим  . 

    

 

    3.3. Объём тела, получающийся  при вращении сектора,  ограниченного кривой и двумя полярными радиусами, вокруг полярной оси.

    Объём тела, получающийся при вращении сектора, ограниченного кривой   и двумя полярными радиусами   и  , вокруг полярной оси находится по формуле  .  
Пример: найти объём тора, полученного вращением окружности   вокруг полярной оси. 

    Решение:    .

    

 
 

4. Площадь поверхности вращения.

Площадь поверхности вращения, образующейся при вращении вокруг оси Ox дифференцируемой кривой, определяется по формулам (в зависимости от способа задания кривой)

  
( - длина окружности кольца,   - его ширина).  
Пример: найти площадь тора, образующегося при вращении окружности   вокруг оси Ox. 

Решение:  .