Правило золотого сечения

Содержание

 

 Введение

     Золотое сечение, несмотря на свое сложное числовое выражение, является пропорцией, встречающейся в природе чаще всего применяемой в произведениях искусства.

     Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому.

     Правило «Золотого сечения» – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе. Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, и расположены они на расстоянии и от соответствующих краев плоскости.

     Принято считать, что понятие о золотом  делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ  и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления  позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

 

     1 Правило о «Золотом сечении»

     В математике пропорцией (лат. proportio) называют равенство  двух отношений: .

     Отрезок АВ можно разделить на две части следующими способами:

       1) на две равные части – ;

       2) на две неравные части в любом отношении (такие части пропорции не образуют);

     Пропорцию принято обозначать греческой буквой φ (встречается также обозначение τ) и она равна:

.

     Свойства  золотого сечения описываются уравнением:

.

     Корни этого уравнения: .

1. Математические свойства «Золотого сечения»

      -иррациональное алгебраическое  число, положительное решение  любого из следующих уравнений:

.

      - представляется цепной дробью (1) для которой подходящими дробями являются отношения последовательных чисел Фибоначчи .

     Таким образом, φ = lim .

.       (1)

2. Построение «Золотого сечения»

     Золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке B восстанавливается перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BC, равный половине AB, на отрезке AC откладывают отрезок CD, равный CB, и наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AE, равный AD. Тогда:

.

Рисунок 1

     Построение  золотого сечения задается формулой:

.

3. «Золотое сечение» в картинах художников

     Переходя  к примерам «золотого сечения» в живописи, нельзя  не  заострить внимания на творчестве Леонардо да Винчи.

     Общепризнанным  фактом остается то, что Леонардо да Винчи был великим художником, но его личность и деятельность останутся покрытыми тайной, так как он оставил потомкам не  связное изложение  своих идей, а лишь многочисленные  рукописные наброски, заметки, в которых говорится «обо всем в мире».

     Портрет Джоконды много столетий привлекает внимание исследователей. Стало известно, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника (Рисунок 3).

Рисунок 3

4. «Божественная пропорция» в архитектуре

     В книгах о «золотом сечении» можно найти замечание о том, что в архитектуре, как и в живописи, все зависит от положения наблюдателя, и что, если некоторые пропорции в здании с одной стороны кажутся образующими «золотого сечения», то с других точек зрения они будут выглядеть по-другому. «Золотая пропорция» дает наиболее спокойное соотношение размеров тех или иных длин.

     Одним из великих произведениях древнегреческих архитекторов является Парфенон (V в. до н. э.).

     Длина архитрава- главной балки Парфенона  относится к высоте всего здания, как 1 : 0,618. Парфенон имеет 8 колонн по коротким сторонам и 17 по длинным. Выступы сделаны целиком из квадратов пентилейского мрамора. Благородство материала, из которого построен храм, позволило ограничить применение обычной в греческой архитектуре раскраски, она только подчеркивает детали и образует цветной фон (синий и красный) для скульптуры. Если произвести деление Парфенона по «золотому сечению», то получим те или иные выступы фасада - Рисунок 4. 

Рисунок 4

 

2. Второе правило «золотого сечения»

     Болгарский  журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение, Построение второго золотого сечения показано на Рисунке 5.

Рисунок 5

     Деление осуществляется следующим образом. Отрезок  делится в пропорции золотого сечения. Из точки восставляется перпендикуляр . Радиусом находится точка , которая соединяется линией с точкой . Прямой угол делится пополам. Из точки проводится линия до пересечения с линией . Точка делит отрезок в отношении . Деление прямоугольника линией второго золотого сечения представлено на Рисунке 6. Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.

Рисунок 6

     На  рисунке показано положение линии второго золотого сечения. Она находится посередине между линией золотого сечения и средней линией прямоугольника.

3. «Золотые» фигуры
1. Золотой прямоугольник

     Если  построить квадрат со стороной , найти середину М отрезка АВ и провести дугу окружности радиусом МС с центром в точке М до пересечения с продолжением стороны АВ в точке Е, то точка В разделит отрезок АЕ в крайнем и среднем отношении.

     Чтобы убедиться в этом, заметим, что  по теореме Пифагора:

.

     Откуда: .

     Прямоугольник со сторонами называется золотым прямоугольником. Четырехугольник - квадрат. Нетрудно видеть, что прямоугольник также золотой, поскольку . Это обстоятельство сразу наводит на мысль о дальнейшем разбиении прямоугольника ВЕFС.

2. Золотой треугольник

Рисунок 7

     Проводим  прямую . От точки откладываем на ней три раза отрезок произвольной величины, через  полученную точку проводим     перпендикуляр к линии  , на перпендикуляре вправо и влево от точки откладываем отрезки . Полученные точки и соединяем прямыми с точкой А. Отрезок откладываем на линию , получая точку . Она разделила линию в пропорции золотого сечения. Линиями и пользуются для построения «золотого» прямоугольника.

3. Золотой пятиугольник

     Хороший пример «Золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый (Рисунок 8). Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник.

Рисунок 8

     Пусть О - центр окружности, А - точка на окружности и Е - середина отрезка . Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок . Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.

     Каждый  конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

     Также существует золотой кубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1,618, 1 и 0,618.

     Рассмотрим, как Евклид использует золотое сечение для того, чтобы построить угол в – именно под таким углом видна сторона правильного пятиугольника  из центра описанной окружности. Начнем с  отрезка АВЕ, разделенного в среднем и крайнем отношении точкой В. Проведем далее дуги окружностей с центрами в точках В и Е и радиусах АВ, пересекающиеся в точке С. Чуть ниже докажем, что АС=АЕ, а пока примем без доказательств.

     Доказательство: Допустим . Обозначим через a равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то угол АСЕ также равен a. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна , позволяет найти , а . Тогда . Суммируя углы треугольника получаем, , значит .

     Итак, каждый из углов при основании  треугольника вдвое больше угла при вершине, равного . Следовательно, чтобы построить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке Е, пересекающую ЕС в точке Х и сторону ЕВ в точке Y: отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; Обойдя вокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны.

     Докажем, что АС=АЕ. Предположим, что вершина С соединена отрезком прямой с серединой N отрезка ВЕ. Заметим, что поскольку СВ=СЕ, то угол . По теореме Пифагора:

,

что и требовалось  доказать.

 

4. Числа Фибоначчи

     Числа Фибоначчи – это  ряд чисел, в котором  каждый последующий член равен сумме двух предыдущих.

     Леонардо  Фибоначчи занимался решением задач  и одна из задач гласила “Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится”. Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

     0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, и т.д. 

     Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом Ф. Только это отношение – 0,618 : 0,382 – дает непрерывное деление отрезка прямой в золотой пропорции, увеличение его или уменьшение до бесконечности, когда меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.