Основы дифференциального исчисления . Понятие производной

1

Основы дифференциального  исчисления . Понятие производной.

DX=X1-X – приращение аргумента.

Df(X)=f(X+DX)-f(X) – приращение функции. Пример:

Определение: Произв. функ. f(x) в точке Х наз. предел отношения приращения функ. к приращению аргум., когда последнее стремится к 0.

Геометрический  смысл производной.

Ку.к. – угловой коэф. касательной.

Ксек – угловой  коэф. секущей.

Таким образом угловой  коэффициент касательной совпадает  со значение производной в данной точке.

Уравнение касательной  к графику функции y=f(x) в точке М0 (x0,y0) имеет вид:

Физический  смысл производной.

S(t) – путь за данное время.

DS(t) – приращение пути.

DS(t)/ Dt –средняя скорость на участке.

мгновен. скорость на участке:

произв. пути от скорости: S'(t)=U(t)

Теорема: Связь между непрерывной и дифференцируемой функцией.

Функция наз. диферинцируемой  если она имеет производную.

Если функция диффер. в точке х, то она и непрерывна в этой точке.

Доказательство:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

Правила дифференцирования

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Доказательство 2-го правила.

Теорема о произв. сложной функции.

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Доказательство:

Рассмотрим f(x) в задан. промеж.: [a,b].

g(y): [f(a),f(b)] – наз. обратной к f(x), если g(f(x))=x, для любого " X Î[a,b]

f(g(y))=y, для любого у Î[f(a),f(b)]

y=sin x [-p/2, p/2], тогда

x=arcsin y, yÎ[1,1]

sin arcsin y = y;

arcsin * sin x=x

Теорема о произв. обратной функции.

Таблица производных:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

Таблица производных:

Доказательство:

Дифференциал  функции.

Определение: Если Х независимая переменная, то дифференциал функции f(x) наз. f’(x)Dx=u обозначают df(x).

Теорема об инвариантной форме первого дифференциала.

df(x)=f’(x)dx

Доказательство:

1).

2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

Производная высших порядков.

Определение: Производная второго порядка называется производная производной данной функции:

Определение: Производная n-го порядка называется производной производной n-1-го порядка.

Пример:

Используя метод математической индукции несложно показать, что:

1). n-ая производная обладает свойством линейности, т.е.:

2).

3).

4).

5).

6).

Дифференцирование функций заданных параметрически.

Пример 1:

возьмем t=1, тогда x=2, y=3; y’(2)=7/3

Пример 2:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

Основные теоремы матим. анализа.

1. Теорема Ферма.

Если f(x) дифф. в точке x0 и принимает в хтой точке наибольш. или наименьш. значение для некоторой окресности точки x0, то f’(x)=0.

Доказательство:

пусть f(x0) – наибольшая.

2.Теорема Ролля.

Если функция f(x) непрерывна на заданном промеж/ [a,b] деффер. на интервале (a,b)  f(a)=f(b) то существует т. с из интерв. (a,b), такая, что f’(c)=0.

3. Теорема Коши.

Если f(x), g(x) удовл. трем условиям:

1). f(x), g(x) непрерыв. на промеж [a,b]

2). f(x), g(x) деффер. на интервале (a,b)

3). g’(x)¹0 на интер. (a,b), то сущ. т. с

g(b)¹g(a) (неравны по теореме Ролля).

1). F(x) – непрерывна на [a,b]

2). F(x) – дефференцированна на (a,b)

3). F(a)=0 ; F(b)=0

по теореме Ролля сущ. сÎ(a,b); F’(с)=0

4.Теорема Лагранжа.

Если функция f(x) непрерывна на [a,b] и дефференцирована на (a,b), то сущест.

т. с(a,b), такая, что: f(b)-f(a)=f’(c)(b-a).

Доказательство: применим т.Коши, взяв только g(x)=x, тогда g’(x)=1¹0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

Правила Лопиталя.

Раскрытие неопределенности.

Теорема: Если функция f(x), g(x) дефференцирована в окресности т. а, причем f(a)=g(a)=0 и существует предел

Доказательство:

Формула Тейлора.

Определение: многочлен Тейлора n-го порядка функции f(x) в точке x0 назыв.

Пример:

Определение: остаточным членам формулю Тейлора n-го порядка наз.:

Теорема: Если функция F(x) (n+1) – дефферен. в окресности точки x0, то для любого x из этой окресн. сущ. т. с(x0, x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

Правила дифференцирования.

Производные степенных  и тригонометрических функций.

Основные формулы:

Производная сложной  функции.

Производные показательных  и логарифмических функций.

Основные формулы:

Если z=z(x) – дифференцируемая функция от x, то формулы имеют вид:

Производные обратных тригонометрических функций.

Основные формулы:

Для сложных функций:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

Аналитические признаки поведения  функции.

Теорема: Критерий постоянства фун.

Функция f(x)=const на промежутке [a,b], тогда, когда f’(x)=0 на интервале (a,b).

Док-во: f(x)=c => f’(x)=c’=0 возьмем "xÎ[a,b] и применим т. Лангранжа f(x) [a,b] по т. Лангранжа f(x)-f(a)=f’(c)(x-a); cÎ(a,x); f(x)-f(a)=0; f(x)=f(a) для любого  x => f(x)=const.

Теорема: Достаточный признак возрастания функции.  Если  f’(x)>0, (a,b), то f(x) возрастает на [a,b].

Док-во:

возьмем x1, x2 Î[a,b]: x1<x2 => f(x2)>f(x1)

применим т. Лангранжа f(x) на [x1,x2]

по этой теореме f(x2)-f(x1)=f’(c)(x2-x1)>0  => f(x2)>f(x1).Замечание: данные условия не являются необходимыми.

Теорема: достаточный признак убывания функции. Если f’(x)<0 на (a,b), то f(x) убывает на [a,b].

Док-во 1: подобно предыдущему.

Док-во 2: g(x)=-f(x),тогда g’(x)=-f’(x)>0

=> g(x) - возрастает => f(x) – убывает.

Несложно показать, что если функция возрастает (убывает) на [a,b], то ее произв. не отрицат.(положит.) на (a,b).

f(x) возрастает: [a,b]=>f’(x)Ê0 (a,b).

Признаки экстремума функций.

Опред: точка x0 называется точкой max (min) если существ. такая окрестность данной точки, что в x0 фун. принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Точка х0 наз. точкой экстремума, если эта точка max или min данной функции.

Теорема: Необходимый признак экстремума функции.

Если х0 точка экстремума f(x), то :

1). Либо не существует f’(x0)

2). Либо f’(x0)=0

Док-во:

1). Не сущест. f’(x0)

2). Сущест. f’(x0) - по т. Ферма f’(x0)=0

Замечание: данные условия не являются достаточными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

Поиск наибольшего  и наименьшего значения непрерывных  функций на замкнутом промежутке.

Теорема: Первый достаточный признак экстремума функции.

Если f’(x)>0 на интервале (x0-б,х0) и f’(x)<0 на интервале (х0,x0+б) т.е. меняет знак с плюса на минус при переходе на точку х0, т.е. х0 – точка максимума f(x), а если же меняет знак с минуса на плюс, то х0 – точка минимума.

Доказательство:

Теорема: Второй достаточный признак максимума функции.

Если  f(x) имеет непрерывную вторую производную в окрестности точки х0, и:

1). f’(x0)=0  2). f’’(x0)<0

то х0 точка максимума (аналогично, если f’’(x0)<0, то х0 – точка минимума)

Док-во: Возьмем окрестность, где вторая производная сохраняет знак и запишем формулу Тейлора 1-го порядка для х из данной окрестности.

Выпуклость  графика функции.

Опр. График функции y=f(x) называется выпуклым вниз (вверх) если он расположен выше (ниже) любой касательной проведенной к графику функции на данном интервале.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

Теорема: Достаточный признак выпуклости графика функции вниз.

Если функция f(x) дважды дефференц. на нтервале (a,b) и ее вторая производн. f’’(x)>0 на интервале (a,b), то график функции  y=f(x) выпуклый вниз на интервале (a,b).

Уравнение касательной:

Возьмем X=x.Из первого вычтем второе

Поэтому y>Y следовательно график функции расположен выше касательной

Аналогично, если f’’(x)<0 на (a,b) то график функции y=f(x) - выпуклый вверх, на данном интервале.

Асимптоты.

Опр. Часть графика называется бесконечной ветвью если при движении точки по этой части, расстояние между ей и началом координат стремится к бесконечности.

Опр. Прямая называется асимптотой бесконечной ветви графика функции, если при удалении точки от начала координат по этой ветви, расстояние до данной прямой стремится к нулю.

Теорема 1: x=a (вертикальная прямая) – является асимптотой для бесконечно вертикальной ветви графика функции y=f(x), тогда когда f(x)®µ, при x®a.

Теорема 2: Критерий существования наклонной асимптоты прямая y=kx+b является асимптотой для правой (левой) ветви графика функции тогда, когда существует предел при :

Док-во: Точка M0(x0,y0) и прямая

L: Ax+By+Cz=0, то расстояние

Пусть y=kx+b

асимптота =>

d(M,l)®0=>

kx-f(x)+b®0

тогда f(x)-kx®b

при x®+µ

существует предел:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10

Теорема: Необходимый признак существования наклонной асимптоты. Если прямая l: y=kx+b –

наклонная асимп. для правой наклонной  ветви, то:

 

Док-во:

Пример:

 x=1 – верт. Асимптота, т.к.

f(x)®µ, когда x®1

Вывод: y=0×y+1 – наклонная асимптота для левой и правой ветви.

Примерная схема исследования графика функции.

1).Область определения.

2).Четность (нечетность), переодичность, точки пересечения  и др.

3). Непрерывность, точки  разрыва, вертикальные асимптоты.

4). Исследование на  убывание (возвр.) в точках экстремума.

5). Исследование на выпуклость.

6). Построение графика функции.

Пример:

1). (-¥,+¥)

2).не периодическая.

нечетная, если фун. не изменила знак, значит фун. нечетная  y=0óx=0

3). непрерывная (-¥,+¥)

4).

5).

6).

y=0×x+0;y=0 – наклонная асимптота.