Основоположники математического программирования Данциг и Канторович

Содержание 
 

Введение

1 Математика  и экономика как единая наука

2 Понятие математического  моделирования как методологии  научных исследований

3 Основоположники  математического программирования.

4 О задачах оптимизации

5 Примеры задач Д.Данцига и Л.Канторовича

    5.1 Разработка Канторовича

    5.2 Алгоритм Данцига

Заключение

Список используемой литературы 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 
 

     Говоря  о «применении математики в экономике», мы подразумеваем не просто выполнение различного рода экономических расчетов, а использование математики для нахождения наилучших экономических решений, изучения экономических закономерностей, получения новых теоретических выводов (синтез экономических и математических знаний раскрывает новые возможности экономического анализа). Главные преимущества математики как средства научного познания раскрываются при построении математических моделей, заменяющих в определенном отношении исследуемые объекты. Математические модели экономики, отражающие с помощью математических соотношений основные свойства экономических процессов и явлений, представляют собой эффективный инструмент исследования экономических проблем (обычно такие модели называют экономико-математическими). Основными этапами экономико-математического моделирования считаются:

1) постановка  экономической проблемы и её  качественный анализ (главное –  четко сформулировать сущность  проблемы, принимаемые допущения  и те вопросы, на которые  требуется получить ответы);

2) построение  математической модели - этап формализации  экономической ситуации (выражение её в виде конкретных математических зависимостей и отношений – функций, уравнений, неравенств и т.п.), где сначала определяется тип модели, а затем уточняются детали модельной конструкции (переменные, параметры, форма связей);

3) математический  анализ модели с целью выяснить  общие свойства модели (чисто  математические приемы);

4) подготовка  исходной информации - реальные возможности  получения информации (сроки, затраты)  ограничивают выбор моделей, предназначаемых  для практического использования;

5) численное  решение - разработка алгоритмов  для решения задачи, программное  обеспечение и непосредственное  проведение расчетов (обычно многовариантных);

6) анализ численных  результатов и их применение - по результатам этого этапа,  помимо прочего, определяются и направления совершенствования модели, её информационного и математического обеспечения. По мере расширения и уточнения экономических и математических знаний, развития компьютерных технологий границы математической формализуемости экономических проблем неизбежно изменяются, хотя всегда будут существовать ещё неформализованные проблемы, а также ситуации, где математическое моделирование недостаточно эффективно. В соответствии с современными научными представлениями системы разработки и принятия хозяйственных решений должны рационально сочетать формальные и неформальные методы, взаимоусиливающие и взаимодополняющие друг друга. Формальные методы являются прежде всего средством научно обоснованной подготовки материала для действий человека в процессе управления. Это способствует продуктивному использованию его опыта, интуиции при решении слабо формализуемых задач. Естественно, что для исследования различных ситуаций используются различные математические методы, составляющие аппарат дисциплины, называемой исследованием операций. У истоков исследования операций стояли выдающиеся математики и экономисты: Л.В.Канторович (открывший миру в 1939 г. метод линейного программирования) и Д.Данциг (творец симплексного метода в его матричной форме), удостоенные Нобелевской премии; Р.Беллман (создатель метода динамического программирования, ориентированного в частности на принятие решений во времени); Д.фон-Нейман (один из величайших ученых ХХ века, создатель теории автоматов – базы компьютерной техники, основоположник современной теории игр и статистических решений, соавтор Данцига по разработке вычислительного алгоритма симплекс-метода); Л.Форд и Д.Фулкерсон (авторы многочисленных разработок по сетевым задачам оптимизации); А.Вальд (создал метод последовательного анализа статистических данных) и др. Существует обширная литература по экономико-математическому моделированию и математическому аппарату задач принятия решений, часть которой, сохраняя краткость и математическую культуру изложения, доступна не только математикам.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1 Математика и экономика как единая наука 
 

     Математика  изучает формы мышления. Предмет  экономики — обстоятельства человеческого  поведения. Математика абстрактна и  доказательна, а профессиональные решения  математиков не задевают обычную жизнь людей. Экономика конкретна и декларативна, а практические упражнения экономистов основательно жизнь меняют. Цель математики — безупречные истины и методы их получения. Цель экономики — индивидуальное благополучие и пути его достижения. Математика не вмешивается в личную жизнь человека. Экономика задевает его кошелек и кошелку. Список коренных различий математики и экономики бесконечен.

     Математическая  экономика — новация двадцатого века. Именно тогда возникло понимание  того, что экономические проблемы требуют совершенно нового математического аппарата.

     Человек разумный всегда был, есть и будет  человеком хозяйствующим. Практическая экономика для каждого из нас  и наших предков — это арена  здравого смысла. Здравый смысл представляет собой особую способность человека к мгновенным оценочным суждениям. Понимание не наследуется и, стало быть, не принадлежит к числу врожденных свойств. Уникальной особенностью человека является способность пониманием делиться, превращая оценки в материальные и идеальные артефакты.

Культура —  сокровищница понимания. Инвентаризация культуры — суть мировоззрения. Здравый  смысл субъективен и родствен духовному подъему веры, то есть силе, превышающей возможности фактов и логики. Проверка суждений с помощью фактов и логики - критический процесс, освобождающий человека от ошибок субъективизма. Наука — трудный путь объективизации понимания. Религиозная и научная версии мировоззрения отличаются по сути способом кодификации артефактов понимания.

     Становление науки как инструмента понимания — долгий и сложный процесс. Зарождение ординального счета фиксировано палеолитическими находками, отделенными десятками тысяч лет от явления разумного и хозяйствующего человека. Экономическая практика предваряет предысторию математики, сформировавшуюся в науку доказательных вычислений в Древней Греции примерно 2500 лет тому назад.

Целенаправленное  поведение людей в условиях ограниченных ресурсов стало объектом науки совсем недавно. Датой рождения экономики  как науки принято считать 9 марта 1776 г. — день публикации сочинения Адама Смита «Исследование о природе и причинах богатства народов».

     Общая задача математического программирования состоит в отыскании значений некоторых факторов (объемов производства, транспортных маршрутов, кассовых аппаратов), которые обеспечивают максимум (минимум) некоторой функции (прибыли, издержек) при наличии ограничений на эти факторы (ограниченные объемы сырья, рабочей силы и денежных средств, этические и экологические требования и др.).

2 Понятие математического моделирования как методологии научных исследований

     Под математическим моделированием,  в  узком  смысле  слова,  понимают описание в виде уравнений  и  неравенств  реальных  физических,  химических, технологических, биологических, экономических и других процессов.  Для  того чтобы использовать математические методы для  анализа  и  синтеза  различных процессов, необходимо уметь описать эти процессы  на  языке  математики,  то есть описать в виде системы уравнений и неравенств.

      Как методология научных исследований  математическое  моделирование сочетает в себе  опыт  различных отраслей  науки о природе и обществе, прикладной  математики,  информатики и системного   программирования   для решения фундаментальных проблем.   Математическое  моделирование  объектов сложной природы  –  единый  сквозной  цикл  разработок  от  фундаментального исследования  проблемы  до   конкретных   численных   расчетов   показателей эффективности     объекта.    Результатом    разработок    бывает    система математических   моделей,   которые   описывают   качественно    разнородные закономерности функционирования объекта и его эволюцию в целом  как  сложной системы   в   различных    условиях.     Вычислительные    эксперименты    с математическими моделями  дают  исходные  данные  для оценки   показателей эффективности объекта. Поэтому математическое моделирование как методология организации научной экспертизы крупных проблем незаменимо  при проработке народнохозяйственных  решений.   (В   первую   очередь   это   относится   к моделированию экономических систем).

      По своей сути математическое  моделирование есть  метод   решения  новых сложных   проблем,  поэтому  исследования  по  математическому  моделированию  должны  быть  опережающими.  Следует заранее разрабатывать новые методы, готовить кадры, умеющие со знанием дела применять эти методы  для решения новых практических задач.

      Математическая модель может  возникнуть тремя путями:

1.  В  результате  прямого  изучения  реального  процесса.   Такие   модели называются феноменологическими.

2. В результате  процесса дедукции. Новая модель  является  частным  случаем  некоторой общей модели. Такие  модели называются асимптотическими.

3.  В  результате  процесса  индукции.  Новая  модель  является  обобщением элементарных моделей. Такие модели называют моделями ансамблей.

       Процесс  моделирования   начинается   с   моделирования   упрощенного  процесса, который с одной стороны  отражает основные качественные  явления,  с другой стороны допускает достаточно  простое математическое  описание.  По мере  углубления  исследования  строятся  новые   модели,   более   детально описывающие явление. Факторы, которые считаются второстепенными на  данном этапе, отбрасываются. Однако, на  следующих  этапах  исследования,  по  мере усложнения модели, они могут быть включены в рассмотрение. В зависимости  от цели исследования  один  и  тот  же  фактор  может  считаться  основным  или второстепенным.

       Математическая модель и реальный процесс не тождественны между собой. Как правило, математическая модель строится с  некоторым  упрощением  и  при некоторой  идеализации.  Она  лишь  приближенно  отражает  реальный   объект исследования, и результаты исследования  реального  объекта  математическими методами носят  приближенный  характер.  Точность  исследования  зависит  от степени адекватности модели и объекта  и  от  точности  применяемых  методов вычислительной математики.

       Схема построения математических  моделей следующая:

1. Выделение  параметра или функции, подлежащей  исследованию.

2. Выбор закона, которому подчиняется эта величина.

3. Выбор области,  в которой требуется изучить  данное явление. 
 

3 Основоположники математического программирования. 
 

     Джордж  Бернард Данциг родился 14 ноября в  Портланде, штат Орегона, США   Родители Джорджа Данцига - Тобайас Данциг и Аня Уриссон. Тобайас был  рожден в России, но переехал во Францию, где преподавал математику ему Пуанкаре. В это время он встретил Аню, которая училась в Сорбонне, и также изучала математику. Они поженились и емигрировали в США, поселившись в штате Орегона. Тобайас полагал, что его русский акцент будет препятствовать ему в получение хорошей работы,  кроме как чернорабочего, и вначале он работал дровосеком, дорожным строителем и художником.