Орнықтылық қғымы

Теорема-1. Айталық, f (x) вектор-функциясы теңбе-теңдік қалыптың кейбір

аймағында екі рет үздіксіз дифференциалдансын. Егер Якоби матрицасының меншікті сандарының нақты бөліктері  теріс болса, онда сызықты емес (1) жүйенің теңбе-теңдік қалпы асимптотикалы  орнықты жəне кез келген шешім  үшін төмендегідей шарт орындалады:

     , ∀t ∈[0, ∞)                                                                (5)

мұнда α > 0, C > 0, -мейлінше аз шама.

Дəлелдеуі. Берілген (1) жүйені (2) жіктеуді пайдаланып төмендегідей түрде жазайық:

                                                                                                  (5)

Мұндағы,

A=- тұрақты матрица, ал g(x) функциясы (3) теңсіздікті қанағаттандырады. Өткен параграфта көрсетілгендей, кейбір T - матрицасы арқылы A матрицасын диагоналды дерлік түрге келтіреміз. Ол үшін x = Ty алмастыруын жасасақ, жүйе мына түрге келеді:

                                                                                      (6)

Мұнда Λ- диагоналды матрица, = ( ) - матрицасының əрбір элементі шектелген:

≤ ε , ал h( y) = g(Ty) .

Ляпунов функциясы үшін сол  алдыңғы параграфта көрсетілген  функцияны алайық:

V(x)=                                                                           (7)

Бұл функция анықталған оң таңбалы. Енді осы функцияның (6) жүйе бойынша алынған туындысын есептейік:

V̍ (y)=                                                           (8)

Мұнда жəне сəйкес бірінші жəне екінші квадрат жақшалардың ішіндегі өрнектерді

білдіреді. Осындағы қосындысы сызықты

                                                                                                  (9)

жүйе бойынша алынған туындыны білдіреді.

  ≤ −γ ,γ > 0                                                                                   (10)

Осы сияқты

 

 

 

Осыдан

2                                                                   (11)

мұндағы C = 2 .

Сондықтан,

V̍ (x ) ≡                                                        (12)

Егер кейбір ⊂U аймағында деп алсақ, онда

V̍ (x ) ∀x∈                                                                                  (13)

яғни облысында V̍ (x ) функциясы анықталған теріс таңбалы мəн қабылдайды жəне

 V̍ (x ) ≤ −αV (x), ∀x∈                                                                                 (14)

мұндағы α > 0. Ляпуновтың екінші теоремасы бойынша теңбе-теңдік қалып x = 0

асимптотикалы орнықты. (14) теңсіздіктен (5) шарты оңай шығады .

Теорема-2. Айталық, f (x) вектор-функциясы теңбе-теңдік қалыптың кейбір

аймағында екі рет үздіксіз дифференциалдансын. Егер Якоби матрицасының меншікті сандарының кейбіреуінің нақты бөлігі оң болса, онда теңбе-теңдік қалып орнықсыз.

Дəлелдеуі. Айталық, меншікті санының нақты бөлігі оң болсын: Re > 0 . Бұл

жағдайда A матрицасына T түрлендіруін пайдаланып, оны төменгі үшбұрышты

диагоналды түрге келтірсек, соңғы теңдеу

                                                                                           (15)

түрінде жазылады. Осы теңдеу үшін Четаев функциясын мына түрде алайық:

 V (x)=                                                                                      (16)

Осы функцияның (15) теңдеу бойынша туындысын есептейік:

 

V̍ (x )=()+(,)=()+()=2Re

мұндағы,.

Соңғы теңдіктен

V̍ (x ).(17)

теңсіздігін аламыз. Осы (16) жəне (17) қатынастардан x = 0 нүктесінің кейбір аймағында V(x) > 0 жəне V̍ (x ) > 0 болатынын көреміз. Мысалы, = 0,  = 0, ..., = 0, ≠ 0

нүктесінде V(x) жəне V̍ (x ) функциялары анықталған оң таңбалы. Сондықтан, аймағы үшін ≠ 0 облысын алсақ, жеткілікті. Егер жеткілікті аз шама болса, онда  ⊂U жəне оның ішкі шекарасында x = 0 нүктесі жатыр. Четаев теоремасы бойынша теңбе- теңдік қалып орнықсыз.

Теорема-3. Егер Якоби матрицасының меншікті сандарының кейбіреулерінің нақты бөліктері нөлге тең болып, қалғандарының нақты бөліктері теріс болса, онда (5) жүйедегі g(x) функциясының берілуіне қарай теңбе-теңдік қалып орнықты да, орнықсыз да бола алады.Мұндай жағдайларды ерекше жағдайлар деп атайды.