Орнықтылық қғымы

1.1 Шешімнің орнықтылығы

Автономды теңдеулердің қалыпты  жүйесін қарастырайық:

                                                                                                                      (1)

Мұндағы f (x) векторы кейбір облысында анықталған  жəне үздіксіз дифференциалданатын функция деп есептелінеді.

Айталық, a -нүктесі (1) жүйенің теңбе-теңдік қалпы болсын:

                                       f (a) = 0                                                                                   (2)

ал x = ) функциясы жүйенің бастапқы

                                    ϕ (0, ) =                                                                            (3)

шартын қанағаттандыратыг  шешім болсын.

Анықтама-1. Жүйенің теңбе-теңдік қалпы x = a Ляпунов

бойынша орнықты деп аталынады, егер:

1) кез келген > 0 саны үшін 0

 теңсіздігін

қанағаттандыратын x =ϕ (t, ) шешім t -ның барлық оң мəндерінде анықталса,

2) кез келген ε > 0 саны үшін δ =δ (ε ) > 0 саны табылып,

 теңсіздігінен ≤ ε, t ≥ 0 теңсіздігі шықса.

Анықтама-2. Теңбе-теңдік қалып асимптотикалы орнықты деп аталынады, егер ол Ляпунов бойынша орнықты болса жəне қосымша

 

шарты орындалса.

Анықтама-3. Теңбе-теңдік қалып Ляпунов бойынша орнықсыз деп аталынады, егер қаншалықты кіші δ =δ (ε ) > 0 саны табылмасын, теңсіздігінен ≤ ε теңсіздігі шықпаса.

1.2. Бұл анықтамалардың бəріне геометриялық түсініктеме беруге болады.

 Алдын ала ескерте кететін жағдай: теңбе-теңдік x = a қалпы үшін координат жүйесінің бас нүктесін алуға болады, яғни a = 0 деп алуға болады (ол үшін параллельдік көшіру жасасақ, жеткілікті).

Бұл жағдайда орнықтылықты қысқаша анықтауға болады: теңбе-теңдік x = 0 қалпы

Ляпунов бойынша орнықты  деп аталынады, егер кез келген ε > 0 саны үшін кейбір

δ =δ (ε ) > 0 саны табылып, мынандай теңсіздіктер орындалса:

≤ ε, t ≥ 0                                                                   (4)                              

Ал асимптотикалық орнықты  болу үшін қосымша

                                                                                                  (5)                                      шарты орындалуы керек.

Соңғы теңсіздіктерге төмендегідей геометриялық түсініктеме беруге болады.

Фазалық     кеңістігінде центрлері координат жүйесінің басында жатқан радиустері сəйкес δ жəне ε сандарына тең центрлес сфералар жүргізейік. Бұлардың радиустері əртүрлі қатынаста болуы мүмкін. Айқын болуы үшін δ <ε болсын. Сонда орнықты дегеніміз – радиусы δ -ға тең сфераның ішінен басталған траектория радиусы ε -ге тең сфераның ішінен шықпайды дегенді білдіреді. Ал асимптотикалық орнықты дегеніміз –радиусы сол δ -ға тең сфераның ішінен басталған траектория t -ның мəні өскен сайын координат жүйесінің бас нүктесіне шексіз жақындайды дегенді білдіреді. Орнықсыздық дегеніміз – қаншалықты кіші мəнді δ > 0 саны табылмасын, кіші сфераның ішінен  басталған траектория белгілі бір мезеттен бастап үлкен сфераның сыртына шығады дегенді білдіреді.

 

Негізгі теоремалар

2.1. Теңдеудің белгілі бір шешімінің орнықтылығын зерттеу оның жалпы, не дара шешімдері белгілі болса, қиындық тудырмайды. Ал шешім айқын түрде табыла бермейді.Ляпунов өз зерттеулерінде кейбір шарттарды қанағаттандыратын арнаулы функцияларенгізу арқылы теңдеуді шешпей-ақ, оның нөлдік шешімінің орнықтылығын анықтауғаболатынын көрсетті. Бұл əдісті Ляпуновтың екінші əдісі деп атайды. Енді осы əдістеншығатын кейбір тұжырымдарды келтірейік.

Анықтама-1. Үздіксіз дифференциалданатын V (x) функциясы x = 0 нүктесінің кейбір U аймағында анықталған оң таңбалы деп аталынады, егер

V (x) > 0,x ≠ 0,V (0) = 0

Ал егер V (x) < 0,x ≠ 0,V (0) = 0 болса, онда V (x) функциясы анықталған теріс таңбалы деп аталынады.

Анықтама-2. V (x) функциясы U аймағында тұрақты таңбалы деп аталады, егер ол осы аймақта тек бір ғана таңбалы мəн қабылдаса, ал нөлге координат жүйесінің бас нүктесінен басқа нүктелерде де айналып жатса.

Анықтама-3. Анықталған оң таңбалы V (x) функциясы Ляпунов функциясы деп

аталынады, егер оның берілген жүйе, не теңдеу бойынша алынған  туындысы теріс таңбалы болса.

Бұл анықтаманы теріс таңба  арқылы беруге де болады: анықталған теріс  таңбалы V (x) функциясы Ляпунов функциясы деп аталады, егер оның берілген жүйе, не теңдеу бойынша алынған туындысы оң таңбалы болса. Жалпы, V (x) функциясы Ляпунов функциясы болу үшін оның жүйе бойынша алынған туындысының таңбасы кері болуы немесе нөлге тең болуы шарт.

Теорема-1 (Ляпуновтың орнықтылық туралы теоремасы). Егер жүйенің теңбе-теңдік қалпы x = 0 нүктесінің кейбір U аймағында V (x) Ляпунов функциясы бар болса, онда x = 0 теңбе-теңдік қалып Ляпунов мағынасында орнықты болады.

Дəлелдеуі. V (x) функциясы анықталған оң таңбалы болсын. x = 0 нүктесінің U

аймағында шарын қарастырайық. -сол шардың сферасы (шекарасы) болсын,

. -- шектелген тұйық жиын болғандықтан, ал V (x) - үздіксіз функция болғандықтан, əрі V (x) > 0 деп алынғандықтан,

 

Енді шарын алайық. V (0) = 0 болғандықтан, δ > 0 санын соншалықты кіші етіп алуға болады жəне сол δ үшін

V (x) < K, x.

Енді егер ≤δ деп алсақ, онда ≤ε болатынын көрсетейік (0 ≤ t < ∞) .

U аймағында  V ( x) ≤ 0

V(x) болғандықтан, яғни V (x) монотонды өспейтін функция

болғандықтан, V ( ) < K жəне кез келген 0 ≤ t < ∞ аралығында x = x(t, ) шешімінің бойында V(x) < K теңсіздігі орындалады. Сондықтан, шарының ішінен басталатын траектория шарынан шығып кете алмайды, өйткені x болғанда V (x) ≥ K , ал траектория бойында V (x) < K . Осыдан ≤ε болатынын көреміз, яғни нөлдік шешіморнықты.

Теорема-2 (Ляпуновтың асимптотикалық орнықтылық туралы теоремасы). Егер

жүйенің теңбе-теңдік нөлдік қалпының кейбір аймағында анықталған оң таңбалы V (x) функциясы бар болса, ал оның жүйе бойынша алынған толық туындысы анықталған теріс таңбалы болса, онда теңбе-теңдік қалып асимптотикалық орнықты болады.

Дəлелдеуі. Алдыңғы теореманың дəлелдеуінде келтірілген жəне шарлары үшін болғанда ≤ε теңсіздігі орындалатыны көрсетілді. Енді W(t) =V (x(t, )) функциясын қарастырайық.   болғандықтан, W(t) функциясы кемімелі болады жəне оның шегі бар: .

Осындағы A санының нөлге тең болатынын көрсетейік (егер A = 0 болса, онда теорема орындалып тұр). Кері жориық, A > 0 болсын. Бұл жағдайда шекке көшкенге дейін t ≥ 0 үшін W(t) ≥ A шарты орындалады жəне кейбір α саны үшін (0 <α <ε ) ≥α теңсіздігі орын алады (Кері жағдайда, V (x) функциясы траектория бойында өте кіші аз мəн қабылдаған болар еді). Теореманың шарты бойынша α ≤ ≤ε теңсіздіктері арқылы анықталатын екі шар аралығында . , яғни

W ̓ (t)=V̍ (x(t,  ))

Осыдан [0, t) аралығында интеграл алсақ:

W(t) −W(0) ≤ −βt

немесе

W(t) ≤ −βt +W(0)

Бұл қатынастың оң жағы t > болғанда теріс мəн қабылдайды, бұл V (x)

функциясының анықталған оң таңбалы екеніне қарама-қарсы. Осы қайшылық теореманы дəлелдейді.

Теорема-3 (Четаевтың орнықсыздық туралы теоремасы). Айталық, кейбір ⊂Uаймағында үздіксіз дифференциалданатын V (x) функциясы төмендегідей шарттарды қанағаттандырсын:

1) V (x) > 0, V̍ (x) > 0, ∀x∈,

2) аймағының U облысына жататын ішкі шекара нүктелерінде V (x) = 0 болсын. Бұл жағдайда жүйенің теңбе-теңдік қалпы орнықсыз.

Дəлелдеуі. аймағының нүктесінен шығатын x = x(t, ) шешімнің траекториясы  γ болсын. Осы траектория бойымен алынған W(t) =V (x(t, )) функциясы γ ⊂ болғанда W(0)>0, W ̓ (t)=V̍ (x)>0 теңсіздіктерін қанағаттандырады. Сондықтан, сол γ ⊂   үшін W(t) > 0 теңсіздігі орын алады, яғни ол қатаң өсетін функция. Бұл жағдайда траектория

V (x) = 0 теңдігі орындалатын ішкі шекара нүктелерді басып өте алмайды, бірақ ол өсіп отыратын болғандықтан,   аймағынан шығып кетеді. Сондықтан, теңбе-теңдік қалып орнықсыз.

Теорема-4. Автономды жүйенің анықталған оң таңбалы интегралы бар болса, ол

жүйенің теңбе-теңдік қалпы  орнықты.

Дəлелдеуі. Егер анықталған оң таңбалы V (x) функция жүйенің интегралы болса, онда анықтама бойынша V̍ (x)≡ 0 тепе-теңдігі орындалады. Сондықтан, V (x) функциясы Ляпуновтың бірінші теоремасының шарттарын қанағаттандырып тұр, яғни нөлдік шешім орнықты.

Теорема-5. Айталық, x = 0 нүктесі берілген жүйенің теңбе-теңдік қалпы болсын, ал V (x) Ляпунов функциясы үшін

V̍ (x)                                  (6)

шарттары орындалсын. Бұл жағдайда кейбір C саны үшін

)                                                       (7)

теңсіздігі орындалады.

Дəлелдеуі. x = x(t, ) шешімі үшін W(t) =V (x(t, )) функциясын құрайық. Теорема шарты бойынша: W′(t) ≤ −αW(t) немесе (lnW(t))′ ≤ −α . Осыдан [0,t) аралығында интеграл алсақ, W(t) ≤W(0) қатынасын аламыз. (6) теңсіздіктердің екіншісін пайдалансақ,

A ≤V (x(t, )) ≤V () , t > 0 β

қатынастары шығады, ал бұдан (7) теңсіздік оңай шығады. Ол үшін теңсіздіктің екі жағын A санына бөліп, түбір тапсақ, жеткілікті.

Сызықты жүйенің орнықтылығы

3.1. n теңдеуден тұратын тұрақты коэффициентті сызықты біртекті жүйені

қарастырайық:

                                                                                                                   (1)    

 

Бұл жүйенің теңбе-теңдік қалпы x = 0 нүктесінің орнықтылық, орнықсыздық шарттарын келтірейік.

Теорема-1. Егер A матрицасының барлық меншікті сандарының нақты бөліктері теріс болса, онда (1) жүйенің теңбе-теңдік қалпы асимптотикалы орнықты, ал егер сол меншікті сандардың ең болмағанда біреуінің нақты бөлігі оң болса, онда теңбе-теңдік қалып орнықсыз.

Дəлелдеуі. Айталық, , , ..., - сандары A матрицасының меншікті сандары

болсын жəне Re ≤ −α < 0, (i =1, ..., n) . Бұл жағдайда Ляпунов функциясын құру үшін A матрицасын алдын ала диагоналды дерлік түрге келтіреміз. Алгебрадан белгілі, A матрицасы үшін кейбір T матрицасын табуға болады жəне ол мынандай теңдікті қанағаттандырады:

 

Мұнда Λ = diag{ , ..., λn} , ал = () - матрицасының əрбір элементі ≤ ε, (i, j =1, ..., n) шартын қанағаттандырады.

1. жүйе үшін x = Ty алмастыруын қолдансақ,

                                                                                                       (2)

жүйесіне келеміз. Осы жүйеге Ляпунов функциясын төмендегідей түрде алайық:

V(y)=                                                                                           (3)

Бұл функция x = 0 нүктесінің (немесе y = 0 нүктесінің) кез келген аймағында анықталған оң таңбалы. Енді оның туындысын есептейік:

V̍ (y)=

Осындағы бірінші қосындыны бағаласақ,

 

теңсіздігін аламыз. Екінші қосындыны бағалайық:

 

Осыдан

V̍ (y)                                       (4)

 

Соңғы қатынастағы ε санын 0< ε < теңсіздігі орындалатындай етіп алсақ, онда V̍ (y) функциясының анықталған теріс таңбалы болатынын көреміз. Сондықтан, Ляпуновтың екінші теоремасы бойынша теңбе-теңдік қалып асимптотикалы орнықты.

 Теореманың екінші бөлігіне келетін болсақ, кейбір меншікті санның нақты бөлігі оң болсын: Re . Бұл санға сəйкес шешім

x(t)=                                                                                                    (5)

түрінде жазылады. Мұндағы, f - сəйкес меншікті вектор. Осыдан

                                                                              (6)

α > 0 болғандықтан, t шексіздікке ұмтылғанда нөлге ұмтылмайды, яғни теңбе- теңдік қалып орнықсыз.

Ескерту-1. Егер A матрицасының меншікті сандарының нақты бөліктері нөлге тең болып, қалғандарының нақты бөліктері теріс болса, онда теңбе-теңдік қалып орнықты да, орнықсыз да болуы мүмкін. Егер таза жорамал санға сəйкес жордан шаршысының реті бірден аспаса, онда теңбе-теңдік қалып орнықты. Кері жағдайда теңбе-теңдік қалып орнықсыз.

Мысалы,  меншікті саны таза жорамал сан болса, ал оған екінші ретті жордан

шаршысы сəйкес келсе, онда шешім

                                                                                           (7)

түрінде жазылады. Мұндағы, f , g - тұрақты меншікті векторлар. Осыдан

 = ≥ t − →∞ егер t →∞,

яғни теңбе-теңдік қалып  орнықсыз.

Ескерту-2. Жоғарыда айтылған тұжырымдарды (1) жүйенің айқын шешімін

пайдаланып дəлелдеуге де болады. Ол шешім былай жазылады:

                                                                                                    (8)

Мұнда тек  матрицасының түрін анықтау керек. Жоғарғы əдістің бір артықшылығы –оны сызықты емес жүйеге де қолдануға болатындығы.

Сызықты жуықтау арқылы орнықтылықты зерттеу

4.1. Айталық, x = 0 нүктесі автономды

                                                                                                          (1)

жүйенің теңбе-теңдік қалпы болсын, яғни f (0) = 0. Осы x = 0 нүктесінің кейбір U

аймағында f (x) функциясы екінші ретке дейін үздіксіз дифференциалдансын. Тейлор формуласы бойынша:

f (x) = f (0) + f ′(0)x + g(x)                                                                                         (2)

Мұнда f (0) = 0, f ′(0) - Якоби матрицасы, оның əрбір элементі  , (i, k =1. ..., n), түрінде анықталады. Ал g(x) функциясы үшін

≤ C, x∈U                                                                                             (3)

шарты орындалады. Сондықтан, жуықтап, f (x) ≈ f ′(0)x деп алуға болады. Егер

 

  деп белгілесек, төмендегідей сызықты жүйе аламыз:

                                                                                                                    (4)

Сызықты емес (1) жүйеден (4) жүйеге көшуді жүйені сызықтандыру деп атайды. Ол белгілі бір шешімнің аймағында орындалады.

Сызықтандырылған (4) жүйе – тұрақты коэффициентті сызықты жүйе. Ол оңай

интегралданады. Сондықтан, оның x = 0 теңбе-теңдік қалпының орнықтылығы толық зерттелген.

Енді осы сызықтандырылған (4) жүйенің теңбе-теңдік қалпының орнықтылығына қарап бастапқы сызықты емес (1) жүйенің теңбе-теңдік қалпының орнықтылығын анықтау мүмкіншілігін қарастырайық. Бұл жөнінде Ляпуновтың іргелі тұжырымы төмендегідей.