1) Если подынтегральная функция  равна единице, то

             (8)

      Доказательство. Составим интегральную сумму; имеем  . Переходя к пределу при , получаем равенство (8).

     2) Если A – некоторое число и функция f(x) интегрируема на , то

           (9)

      Доказательство. Составим интегральную сумму для  функции Af(x); имеем . Переходя к пределу при , получаем равенство (9).

     3) Если  и - две интегрируемые функции, определенные на отрезке , то

          (10)

      т.е. интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов от этих функций. (Свойство 3) очевидным образом распространяется на сумму любого числа интегрируемых функций)

      Доказательство. Составим интегральную сумму 

     (11)

     4) Аддитивность интеграла как функции  отрезка интегрирования. Если интегрируема на отрезке , то

          (12)

т.е. если отрезок разделен на части, то интеграл по всему отрезку равен сумме  интегралов по его частям.

      Доказательство. При разбиении отрезка на части включим точку c в число точек деления. Если , то

Каждая  из написанных выше сумм является интегральной соответственно для отрезков , и . Переходя к пределу при , получаем равенство (12).

     5) Если  интегрируема на отрезке и если a, b, c – точки этого отрезка, то

          (13)

      Доказательство. Если из точек a, b и c то крайней мере две совпадают, то равенство (13) очевидно. Пусть все эти точки различны. Если a<b<c, то равенство справедливо на основании свойства 4). Если же c<b<a, то

, откуда  . Домножая на (-1) и меняя пределы интегрирования в третьем интеграле, получаем формулу (13). Другие случаи взаимного расположения точек можно свести к свойству 4).

     6) Монотонность. Если функции  и интегрируемы и удовлетворяют условию и нижний предел интеграла не больше верхнего , то

             (14)

      Доказательство. При a=b равенство (14) очевидно. Если же a<b, то справедливо неравенство . Переходя к пределу при , получим требуемое неравенство.

     7) Оценка определенного интеграла.  Если  интегрируема на отрезке и нижний предел интеграла не больше верхнего и f(x) удовлетворяет условию , то

          (15)

      В частности, если , то

Свойство 7) имеет простой геометрический смысл: в случае, если подынтегральная функция неотрицательна на , то площадь криволинейной трапеции больше площади прямоугольника с высотой m, но меньше площади прямоугольника с высотой M.

     8) Теорема о среднем значении. Если  интегрируема на отрезке и f(x) удовлетворяет условию , тогда существует такое число , что

            (16)

      Доказательство. Если a=b тогда равенство (16) очевидно. Если , то положим

            (17)

Тогда из неравенств (15) вытекает, что  , если a<b. Так как обе части равенства (16) изменяют знаки при перестановке пределов a и b, то оно справедливо и при b<a. Число, определяемое равенством (17), называется средним значением функции f на отрезке .

Из свойства 8) вытекает следующее свойство.

     9) Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то найдется значение такое, что

          (18)

      Для доказательства достаточно взять  . 

Контрольные вопросы по теме занятия:

1. Напомните определение первообразной.
2. Дайте определение определенного интеграла.
3. Вспомните формулу Ньютона-Лейбница.

     Заключение.

      На  лекции рассмотрено понятие определенного  интеграла. В первом вопросе изложены задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Во втором вопросе  введено понятие определенного интеграла как предела интегральных сумм. Затем было дано аналитическое определение определенного интеграла, выяснен его геометрический и физический смысл. К практическому занятию необходимо изучить  вопросы, изложенные на лекции.