Определенный интеграл

Введение.

      В этой лекции мы начинаем изучение темы «Определенный интеграл», включающей в себя четыре лекции, три практических занятия и одно лабораторное занятие. Тема «Определенный интеграл»  и данная лекция,  в частности, связаны с предыдущей темой «Неопределенный интеграл». Математики 17-го столетия, получившие многие новые результаты по интегральному исчислению, опирались на труды Архимеда. Г. Лейбниц впервые выделил понятие неопределенного интеграла. Обозначение определенного интеграла ввел К. Фурье (1768-1830). Но пределы интегрирования указал уже Эйлер. Строгое изложение  теории интеграла появилось только в прошлом веке. Решение многих проблем связано с именами О. Коши, Б. Римана,  Г. Дарбу. Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей фигур и объемов тел, были получены К. Жорданом (1838-1922). Лекция тесно связана с тематикой последующих тем.

 

1. Задачи, приводящие  к понятию определенного  интеграла. 

Задача  о площади криволинейной  трапеции.

Пусть на плоскости введена прямоугольная  декартова система координат xOy на отрезке , где b>a, определена непрерывная неотрицательная функция , т.е. . Фигура aABb, ограниченная снизу отрезком оси Ox, сверху – дугой AB графика функции f, а слева и справа – отрезками прямых и , называется криволинейной трапецией.

 Дадим определение площади криволинейной  трапеции на aABb. Разобьем отрезок на n малых отрезков; абсциссы точек разбиения обозначим через Набор точек деления назовем разбиением отрезка . Через точки разбиения проведем прямые , параллельные оси Oy. Эти прямые разобьют криволинейную трапецию aABb на n узких полос, каждая из которых тоже является криволинейной трапецией с основанием . Площадь S трапеции aABb равна сумме площадей полос ее составляющих. Если n достаточно велико и все от

резки малы, то площадь каждой из полос можно заменить площадью соответствующего прямоугольника, которая вычисляется легко. На каждом отрезке выберем какую-нибудь точку , вычислим значение в этой точке и примем за высоту прямоугольника. В силу непрерывности функция мало изменяется на отрезках , если они малы.

Поэтому на таких отрезках ее можно считать постоянной и равной .

Так как  площадь одной полосы приближенно  равна площади прямоугольника , то для площади S криволинейной трапеции aABb получим приближенное равенство

, где            (1)

      Приближенное  равенство (1) тем точнее, чем меньше величина . Величина d называется диаметром разбиения . По определению, площадью криволинейной трапеции называется предел суммы площадей прямоугольников при стремлении диаметра разбиения к нулю, т.е.

           (2)

Следовательно, вычисление площади криволинейной  трапеции приводит к вычислению предела суммы вида (2) при .

      Задача  о пройденном пути. Если закон движения какой – либо точки задан уравнением вида , где t – время, а s – пройденный путь, производная функции равна скорости v движения, т.е. . В физике часто приходится решать следующую обратную задачу. Пусть точка движется по прямой со скоростью v. Будем считать, что эта скорость является непрерывной функцией от времени t. Определим путь, пройденный точкой за некоторый отрезок времени от момента t-a до момента t=b. Разобьем отрезок точками на n достаточно малых отрезков времени. Так как за короткий отрезок времени скорость почти не изменяется, то можно приближенно считать ее за этот отрезок времени постоянной и равной , где . Это означает, что движение точки на отрезке считается равномерным. Тогда путь, пройденный точкой за это время, равен , а путь, пройденный за отрезок времени , составляет , где . Это приближенное равенство  тем точнее, чем меньше величина . По определению, путем s называется предел суммы при стремлении диаметра разбиения к нулю, т.е.

            (3)

Следовательно, вычисление пройденного пути приводит к вычислению предела суммы вида (3) при .

      В рассмотренных задачах применялся один и тот же метод, сводившийся  к нахождению предела сумм некоторого вида. К нахождения предела сумм, аналогичных рассмотренным выше, приводит ряд задач естествознания и техники. Поэтому займемся изучением выражений (1) и (2), называемых определенными интегралами, уже не интересуясь их конкретными истолкованиями. 
 
 
 

2. Определенный интеграл, как предел интегральных  сумм. 

      Пусть на отрезке  , где b>a, задана функция . Выполним следующие четыре операции:

1. разобьем отрезок на части точками Положим . Набор точек деления назовем разбиением отрезка , а величину d –диаметром разбиения;
2. на каждом отрезке выберем какую-нибудь точку , вычислим значение в этой точке. Точки назовем отмеченными точками;
3. умножим значение на длину соответствующего отрезка и сложим все найденные произведения. Суммы вида

, где                      (4)

назовем (одномерными) интегральными суммами Римана для функции f по заданному разбиению отрезка ;

4. измельчим разбиение , т.е. добавим новые точки деления и найдем предел интегральных сумм (4) при (если он существует).

Введем  понятие предела интегральных сумм при .

     Определение 1. Число I называется пределом интегральных сумм Римана при , если для любого существует такое, что при любом разбиении отрезка с диаметром разбиения независимо от выбора отмеченных точек .

     Принята следующая запись этого определения: .

     Замечание. Очевидно, что число I не зависит от разбиения  отрезка и от выбора отмеченных точек . 

Определение 2. Если интегральные суммы Римана (4) имеют предел при , то этот предел называется определенным (однократным) интегралом от функции f по отрезку и обозначается .

Итак, по определению имеем

            (5)

В этом случае функцию f называют интегрируемой  по Риману на отрезке  . Числа a, b называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, функцию f – подынтегральной функцией, а выражение - подынтегральным выражением.

      Замечания:

1. Определение 2 можно кратко сформулировать так: определенным интегралом от заданной функции по заданному отрезку называется предел интегральных сумм Римана для заданной функции при стремлении к нулю диаметров разбиений отрезков, порождающих интегральные суммы.
2. Так как другие интегралы мы не рассматриваем, то вместо термина “интеграл Римана” будем просто употреблять интеграл.

В приведенных  выше определениях существенно предполагалось, что  .

Обобщим понятие определенного интеграла  на случай и . 

3. Основные свойства  определенного интеграла. 

      При по определения полагаем

                     (6)

Равенство (6) означает, что при перемене пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный.

      При по определению полагаем

             (7)

Равенство (7) означает, что определенный интеграл с совпадающими пределами интегрирования равен нулю.

          Так как интегральная сумма (4) не зависит от того, какой  буквой обозначен аргумент данной функции, то и ее предел, т.е. определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: .

    Приведем  условия, при которых функция  является интегрируемой.

    Теорема 1. (необходимое условие интегрируемости).

Если  функция f интегрируема на отрезке  , то она ограничена на

этом  отрезке.

      Доказательство. Допустим, что интегрируемая на функция не ограничена на нем. Тогда при любом разбиении она окажется неограниченной по крайней мере на одном из отрезков разбиения. В этом случае, выбирая различными способами точку , можно сделать произведение сколь угодно большим. Значит интегральные суммы становятся сколь угодно большими за счет только выбора точек и не могут стремиться ни к какому пределу при . Следовательно, f не ин6тегрируема на . Из полученного противоречия и вытекает доказательство теоремы.

      Теорема 2. (достаточное условие интегрируемости). Непрерывная на отрезке функция f интегрируема на этом отрезке.

Замечание. Свойство непрерывности  функции является лишь достаточным  условием ее интегрируемости. Иными словами могут существовать разрывные на , но интегрируемые на этом отрезке функции.

      Пример. Вычислить интеграл .

      Решение. Так как функция  непрерывна на , то в силу теоремы 2 искомый интеграл существует. Вычислим его по формуле (5). Разобьем отрезок интегрирования на n равных частей и построим n полос одинаковой ширины . Абсциссы точек разбиения таковы: В качестве отмеченной точки выберем левый конец основания k- ой полосы. Составим  интегральную сумму Римана:

так как  выражение в скобках есть сумма n членов геометрической прогрессии со знаменателем которая равна . Используя формулу (5), находим

.

Поскольку имеем

.

На основании  правила Лопиталя получим

Следовательно, .

      Этот  пример показывает, что вычисление интеграла по формуле (5) громоздко и вызывает значительные трудности. Поэтому нам необходимо получить эффективный метод вычисления определенного интеграла. Такой метод будет изложен позже; он является следствием связи между определенными и неопределенными интегралами, открытой Ньютоном и Лейбницем. 

      Вернемся  к задаче о площади криволинейной  трапеции. Так как правая часть  равенства (2) есть интегральная сумма Римана, то учитывая формулу (5), получаем: если f(x) интегрируема и неотрицательна на , то определенный интеграл f(x) по отрезку равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями (геометрический смысл определенного интеграла в случае неотрицательности подынтегральной функции). Если подынтегральная функция отрицательная или меняет знак на , то в интегральной сумме (2) некоторые члены будут иметь знак минус. Тогда предел интегральной суммы, то есть определенный интеграл, будет равен алгебраической сумме площадей частей криволинейной трапеции, причем площади частей, лежащих выше оси Ox, берутся со знаком плюс, а площади частей, лежащих ниже оси Ox, - со знаком минус.

           Перейдем теперь к задаче о пройденном пути. Так  как правая часть формулы (3) есть интегральная сумма, то в силу формулы (5), получаем: если скорость v(t) непрерывна и положительна на , то определенный интеграл от скорости v(t) по отрезку времени равен пути, пройденному точкой от момента t=a до момента t=b (механический смысл определенного интеграла).

     Пример. Вычислить  , где

     Решение. Построим график подынтегральной функции. В силу геометрического определенного интеграла имеем , где S – площадь прямоугольного треугольника ABC. Так как то

Перечислим  свойства, выраженные равенствами и неравенствами.