Операционное исчисление. Уравнения математической физики

8

Контрольная работа № 8

Вариант 10

Операционное исчисление. Уравнения математической физики.

I. Найти оригинал f(t) по данному изображению F(p).

10.

Решение. Степень числителя 1, степень знаменателя 3, значит, дробь правильная. Для разложения ее на сумму элементарных дробей надо найти корни знаменателя:

Поскольку многочлен имеет целые коэффициенты, а при старшей степени коэффициент равен единице, то все целые корни содержатся в множестве всех делителей свободного члена, равного 20. Это множество состоит из чисел   ±1, ±2,±4, ±5, ±10.

Подставляем   р=1: ; р=-1: ;

р=2: ; р=-2: , значит, р=-2 - корень знаменателя. Разделив знаменатель на выражение р+2 по правилам деления многочленов, получим

Последний множитель не имеет вещественных корней, следовательно дальше

раскладывать знаменатель нельзя.

Получили

Методом неопределенных коэффициентов находим коэффициенты  А, В и С. Приравниваем числители:

Пусть р=-2:  -16 -10 = А(4 +12+10).   А = -1.

Приравниваем коэффициенты: при р2:  А +В =0. В=-А=1.

Приравниваем свободные члены:

10А+2С=-10; С=-5-5А=0

Итак:

Следовательно, 

В следующих задачах функция f(t) задана графически.

II. Решить систему уравнений:

20.

Решение.

Определим f(t) аналитически:

С помощью единичной функции получим аналитическое представление f(t):

Используя таблицу и теорему запаздывания, получаем изображение F(p) функции f(t):

Пусть неизвестному оригиналу x(t) соответствует изображение X(p):

, тогда

Операторное уравнение, соответствующее данной задаче Коши, имеет вид:

Решая его, получаем оригинал:

Для нахождения оригинала для второго слагаемого обозначим:

и найдем оригинал y(t):

p=0: 1.5=7A, A=1.5/7 ≈ 0.2

p2: 0=A+B, B=-A= -1.5/7≈ -0.2

p: 0=C

Получаем:

Т.к. оригинал-функция обращается в нуль, когда ее аргумент меньше нуля, то:

Пользуясь теоремой запаздывания, запишем для второго слагаемого в X(p):

Тогда для искомого оригинала x(t) получим выражение:

Записываем ответ:

III. Следующие системы дифференциальных уравнений решить операционным методом.

30.

x(0)=y(0)=0

Решение.

Перепишем систему так:

Составляем соответствующие операторные уравнения:

;

;

Решим полученную систему:

Для изображений неизвестных функций получаем следующие выражения:

Нужно найти оригиналы: x(t) и y(t).

Приравниваем числители:

При p = 1: 19 = 102A;  A = 19/102≈0.19

При p= -2: -5 = -21B; B=5/21≈0.24

При p= √2-5: -9-√2=C(40√2-36);  C=(√2-5)/ (40√2-36) ≈ -0.17

p3: 0=A+B+C+D

D=-A-B-C=-19/102-2/21-(√2-5)/ (40√2-36) ≈ -0.26

Тогда:

При p = 1: 6 =102A;  A = 6/102≈0.06

При p= -2: -9 = -21B; B=9/21≈0.43

При p= √2-5: -4-4√2=C(40√2-36);  C=(-4-4√2)/ (40√2-36) ≈ -0.47

p3: 0=A+B+C+D

D=-A-B-C=-19/102-2/21-(√2-5)/ (40√2-36) ≈ -0.02

Тогда:

Получаем:

Элементы теории вероятностей.

10. Игральная кость брошена дважды. Найти вероятность того, что число, выпавшее в первый раз, не меньше выпавшего во второй раз.

Решение.

Обозначим рассматриваемое  событие как А.

Для наступления события А должны выпасть такие пары значений:

{(6,6), (6,5), (6,4), (6,3), (6,2), (6,1);
   (5,5), (5,4), (5,3), (5,2), (5,1);

   (4,4), (4,3), (4,2), (4,1);

   (3,3), (3,2), (3,1);

   (2,2), (2,1);

   (1,1) }.

Всего таких пар: 6+5+4+3+2+1= 21.

Общее количество вариантов выпадения очков на 2-х костях равно 6х6=36.

Тогда вероятность события А: Р(А)=21/36=7/12.

20. В урне лежат 3 красных, 5 белых и 2 черных шара. Найти вероятность того, что два вынутых шара будут разных цветов.

Решение.

Найдем вероятность противоположного события: два вынутых шара будут одного цвета.

Обозначим это событие как А.

Оно состоит из трех возможных событий:

В – оба взятых шара – красные

С - оба взятых шара – белые

D - оба взятых шара – черные

А = В + С + D

По теореме сложения вероятностей: Р(А) = Р(В) + Р(С) + Р(D)

Общее число шаров n = 3+5+2=10

Пускай события:

В1 – первый извлеченный шар – красный

В2 – второй извлеченный шар – тоже красный

Тогда по теореме умножения вероятностей: В= В1  В2, или:

так как p(В1)=3/10; p(В2)=2/9, то p(В)=3/102/9= 6/90 = 1/15

Аналогично:

p(С)= p(С1)  p(С2)= 5/104/9= 40/90 = 4/9

p(D)= p(D1)  p(D2)= 2/101/9= 2/90 = 1/45

и Р(А) = 1/15 + 4/9 + 1/45 = 8/15  0,5333

Тогда искомая вероятность события «два вынутых шара будут разных цветов» p=1- Р(А)  0,4667

30. Из урны, в которой было 4 белых и 2 черных шара, вынуто 3 шара. Составить закон распределения числа белых шаров; найти их математическое ожидание.

Решение.

Общее число шаров в урне = 4+2=6, из них белых – 4.

Общее число случаев извлечения 3-х шаров из 6:

Число случаев, в которых среди извлеченных не будет белых шаров: m0=0, т.к. черных шаров всего 2.

Число случаев, в которых среди извлеченных будет один белый шар: m1=4

Число случаев, в которых среди извлеченных будет два белых шара: m2=6

Число случаев, в которых среди извлеченных будет три белых шара: m3=4

Соответствующие вероятности равны:

p0=0; p1=4/20=0,2; p2=6/20=0.3; p3=4/20=0,2;

Случайная величина X – число белых шаров среди извлеченных будет иметь такой закон распределения:

Математическое ожидание числа белых шаров среди 3-х извлеченных найдем по формуле:

0∙0+1∙0,2+2∙0,3+3∙0,2 = 1,4.

40.

Найти f(x), M(ξ) и D(x). Построить графики F(x) и f(x).

Решение.

1) Находим плотность распределения вероятностей f(x):

2) Математическое ожидание:

3) Дисперсия:

4) Графики функций f(x) и F(x):

50. Какова вероятность того, что в 200 бросаниях монеты число гербов будет находиться между 90 и 120?

Решение.

Вероятность выпадения герба p1=0,5. Так как у каждом из n независимых испытаний вероятность наступления события равна постоянной величине р, то имеем биномиальный закон распределения дискретной случайной  величины Х - числа появления события «выпадение герба».

По интегральной теореме Муавра-Лапласа вероятность того, что в n независимых испытаниях число успехов находится между  и , равна:

, (1)

где p- вероятность успеха в каждом испытании, q=1-p,   Ф(х) -  функция Лапласа.

По условию: n=200;              p=0,5;              m1 = 90; m2 = 120;

Находим: q=1- p=1- 0,5= 0,5.

По формуле (1):

По таблице значений функции Лапласа находим: Ф(2,83) = 0,4976; Ф(1,41) = 0,4207.

.

Список использованной литературы

1.       Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. – М. Высшая школа, 1979г.

2.       Статистика: Підручник / СС. Герасименко, А.В.Головач, А.М. Єріна та ін.;

За ред. докт. екон. наук С.С.Герасименко – К.: КНЕЦ, 2000р.

3. Елисеева А.Н., Юзбашев В.К. Общая теория статистики. – М. Финансы и статистика, 1995г.