Некоторые особые свойства непрерывных функций

Значит, если и превосходят , то и для последовательности выполняется условие Коши.

Итак, для любой такой  последовательности точек  существует конечный предел последовательности .

Но нужно ещё показать, что для разных последовательностей  пределы последовательностей одинаковы.

Рассмотрим две последовательности указанного вида и .

Пусть и . Составим новую последовательность

 

                                           (6)

 

включая в неё попеременно  члены последовательностей  и . Все точки последовательности (6) принадлежат области определения функции , отличны от и последовательность (6) сходится к . Значит, по уже доказанному последовательность значений функции в точках (6) имеет предел. Числа и являются частичными пределами этой сходящейся последовательности. Отсюда следует, что .

Теорема доказана.

 

Лемма

Пусть для всех где фиксировано, выполнены условия:

2. ;
3. при каждом фиксированном

Доказать, что , где

Доказательство:

Пусть произвольное. Из условия 4) следует существование такого числа что для всех

Из того же условия следует  существование такого числа  что

Из условия 3) вытекает существование  такого числа  что

 

Из этих неравенств и условий 1), 2) следует неравенство

 

 

 

 

 

 

для всех , cледовательно

 

 

 

Некоторые особые свойства непрерывных функций

Свойство 1

Доказать теоремы Коши: если функция f(x) определена в интервале (a,+∞) и ограничена в каждом конечном интервале (a,b), то:

 

2.   

 

предполагая, что пределы  в правых частях равенства существуют.

Доказательство

А) Воспользуемся леммой, полагая 

 

   

 

 

тогда

 

 

 

Все условия леммы выполнены, поэтому

 

 

 

Поскольку не зависит от , то из последнего равенства получим:

 

 

B) Поскольку , то определена функция

Пусть тогда, учитывая результат пункта А, находим:

 

 

 

 

Свойство 2

Доказать, что если:

1. Функция определена в области
2. Ограничена в каждой конечной области

то 

Доказательство. Для произвольного существует такое число что при имеем: Отсюда следует, что и Поскольку при то существует такое число , что при любом то есть

 

 

 

то откуда следует, что

 

 

 

Свойство 3

Доказать, что если:

1. Функция определена в области
2. Ограничена в каждой конечной области
3. Для некоторого натурального существует конечный или бесконечный предел то

Доказательство:

Пусть -конечное. Тогда из условия следует, что

 

 

 

Полагая в лемме 

 

 

получим

Все условия леммы выполняются, поэтому

а поскольку предел не зависит от то последнее равенство эквивалентно тому, что

Пусть тогда из условия следует, чтоа поскольку последовательность .

Полагая

 

 

и, применив лемму, получим, что

 

 при

 

поэтому

 

 

 

Свойство 4

Доказать, что

1. ,

Доказательство:

1. Пусть тогда
2. Имеем при

 

 

Пусть тогда из неравенства

  при

получаем  Так как монотонно возрастает, то при любом справедливо неравенство Кроме того, поскольку , при имеем: . Пусть теперь произвольно по знаку. Тогда, рассматривая разность

 

 

 

И учитывая неравенство  которое доказывается методом математической индукции, получаем оценку

 

 

 

Пусть произвольное, тогда для имеем:

  а для разности справедлива оценка поэтому

 

 

следовательно

 

 

 

Пример 5

Доказать, что 

Использовать формулу .

Доказательство:

Обозначим через  тогда

 

 

 

при фиксированном и получаем 

Обозначим

 

 

 

при

Пользуясь этим, получаем

 

 

 

Построение графиков некоторых «интересных» непрерывных  функций

 

Построим графики функций:

А) ;

Б) .

Построение:

А) построим сначала график функции  (период функции равен ):

 

Теперь построим график функции  ; при каждом фиксированном значении возведем ординату графика функции в степень 500, получим:

Б) учитывая график функции  , график функции представляет если и если

В самом деле, значения функции  заключены в промежутке Поскольку при то и при то

Пусть теперь тогда или где -число положительное.

 откуда  поэтому или .

Выберем так, чтобы знаменатель дроби стал больше, чем

Тогда окажется, что и  то есть или Но если

  то значит, в качестве можно выбрать наибольшее целое число, содержащееся в числе то есть и при этом неравенство будет выполняться при всех Таким образом, по определению предела доказано, что

 

 

Заключение

Таким образом, в данной работе я постаралась рассмотреть особые свойства непрерывных функций, связанные  с теоремой Коши, при помощи пределов.

Предел, к которому стремиться последовательность значений функции, при стремлении аргумента в некоторой  точке может оказаться отличным от значения функции в этой точке. Получается, что предел не всегда является конечным значением переменной, но во всех случаях предел является числом, к которому переменная неограниченно  стремится.

При выбранном значении >0 каждой точке отрезка [a,b] соответствует свой номер и, следовательно, номеров, соответствующих всем точкам отрезка [a,b], будет бесчисленное множество. Если выбрать из всех этих номеров наибольший, то этот номер будет годиться для всех точек отрезка [a,b], т.е. будет общим для всех точек.

Критерий  Коши имеет более теоретическое, чем практическое значение. Однако на его основе строится целый ряд рабочих признаков сходимости для целого ряда математических объектов.

 

Литература:

1. Архипов, Г.И. Лекции по математическому анализу / Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков – М.: Высшая школа, 1999.- 695с.
2. Баварин, И.И. Высшая математика / И.И. Баварин. - М.: Просвещение, 2004. - 400 с.
3. Бермантт, А.Ф. Краткий курс математического анализа для втузов / А.Ф. Бермантт, И.Г. Араманович - М.: Наука, 1971 . - 736с.
4. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа:    Уч. Пособие / Г.Н.Берман. − 22-е изд., перераб. – СПб., Профессия, 2005.−416 с..
5. Бугров, Я.С. Высшая математика / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. Р-н-Д., 1998.- 288с.
6. Ермаков, М. Общий курс высшей математики / М.Ермаков, 2004. - 656 с.
7. Ильин, В. А. Математический анализ. Продолжение курса /             В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. X. Сендов. Под ред. А. Н. Тихонова. — М.: Изд-вo МГУ, 1987. — 358 с.
8. Кудрявцев, Л.Д. Курс математического анализа / Л.Д. Кудрявцев - Москва : Высшая школа, 1988. Т.1. - 712 с.
9. Кудрявцев, Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебное пособие для ВУЗов / Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов,       В.И. Чехлов, М.И. Шабунин  – М.:  Физматлит, 2003. -496с.
10. Кудрявцев, Л.Д. Математический анализ / Л.Д. Кудрявцев - М.: Высшая школа, 2006. -351с.
11. Никольский, С.М. Курс математического анализа: Учебник для ВУЗов / С.М. Никольский – М.: Физматлит, Лаборатория Базовых Знаний, 2000. -592с.
12. Никольский, С.М. Курс математического анализа /                        С.М. Никольский. - М.: Наука, 2004. - Ч.1.- 449.
13. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике /        Д.Т. Письменный – M.: Айрис – пресс, 2003. – 288 c.
14. Тер-Крикоров, А.М. Курс математического анализа: Учебное пособие для ВУЗов / А.М. Тер-Крикоров, М.И. Шабунин – М.: Изд-во МФТИ, 2000.- 672.
15. Фихтенгольц, Г.М. Основы математического анализа. Т.1,2. /       Г.М. Фихтенгольц – СПб.: Лань, 2001. -464 с.
16. Шипачев, В.С. Задачник по высшей математике: Учебное пособие для ВУЗов / В.С. Шипачев – М.: Высшая школа, 2001.- 480 с.
17. Шипачёв, В.С. Высшая математика / В.С. Шипачёв - М: Наука, 2003 – 684c.