Некоторые особые свойства непрерывных функций

«Некоторые особые свойства непрерывных функций»

 

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1.  Особые свойства  непрерывных функций, связанные  с теоремой Коши          3                                    

2.  Построение графиков  некоторых «интересных» непрерывных  функций      20                                       

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

 

Введение

Данная курсовая работа раскрывает особые свойства непрерывных функций, связанные с теоремой Коши, при помощи пределов.

В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены  последовательности в некотором  смысле стремятся или приближаются с ростом номера. Понятие предела  использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела  последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Понятие предела функции  является фундаментальным в математическом анализе. Такое его значение обусловлено  также и тем, что исследование функций невозможно без использования  понятия предела. Исследование непрерывности  функции, ее поведения в точках разрыва  при их наличии, нахождение асимптот функции - все эти действия опираются  на вычисление соответствующих пределов.

Целью данной работы является рассмотрение особых свойств непрерывных  функций, связанных с теоремой Коши.

Были поставлены следующие задачи: 

1.  рассмотреть  свойства непрерывных функций;

2. с помощью теоремы Коши рассмотреть некоторые особые свойства непрерывных функций;

3. построить графики некоторых непрерывных функций.

 

Пусть числовая функция  определена в области где _, а

- внутренняя  или предельная точка области 

Определение 1 (Гейне). Функция имеет предел (предельное значение) при (в точке если существует число такое, что для произвольной последовательности значений сходящейся к точке соответствующая последовательность значений функции сходится к

При этом число  называется пределом функции при что записывается

 

 или при

 

Определение 2 (Коши). Функция имеет предел при если существует такое число что такое, что удовлетворяющих условию выполняется неравенство

 

 

 

Оба определения предела (Гейне и Коши) эквивалентны.

Определение 3. Число называется правым (левым) пределом функции в точке если для любой сходящейся к последовательности элементы которой больше (меньше) соответствующая последовательность сходится к

Определение 4. Число называется пределом функции при если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к

Определение 5. Число называется пределом функции при если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к

Определение 6. Число называется пределом функции при , если для любого числа существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

 

Непрерывность

Пусть на некотором промежутке определена функция и точка принадлежит этому промежутку.

Определение 7. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции и ее значение в этой точке равны, то есть

 

                                                  (1)

 

Так как  , то соотношение (1) можно записать в следующем виде:

 

 

то есть для непрерывной  функции знаки функции и предела  можно переставлять.

Дадим равносильное определение  непрерывности функции «на языке  последовательностей».

Определение 8. Функция называется непрерывной в точке , если для любой последовательности значений аргумента сходящейся к последовательность соответствующих значений функции сходится к

По аналогии с определением предела функции можно сформулировать определение непрерывности функции  «на языке ».

Определение 9. Функция называется непрерывной в точке , если для любого существует такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство

Эквивалентность этих определений  очевидна.

Если  то функцию называют непрерывной в точке справа (слева). Если функция непрерывна в точке и слева и справа, то она непрерывна в этой точке.

Дадим еще одно определение  непрерывности функции, которое, по существу, является перефразировкой первого определения.

Перенесем в равенстве (1) в левую часть и внесем под знак предела. Так как условия и равносильны, то получаем

 

                                           (2)

 

Разность  называется приращением аргумента в точке и обозначается, как правило, , а разность - приращением функции в точке вызванным приращением аргумента , и обозначается Таким образом, Равенство (2) в новых обозначениях принимает вид

 

                                                       (3)

 

Соотношение (3) является еще  одним определением непрерывности  функции, которое можно сформулировать так.

Определение 10.  Функция называется непрерывной в точке , если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при

Функция непрерывна в области , если она непрерывна в каждой точке области

 называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и, кроме того, непрерывна справа в точке и непрерывна слева в точке

 

Основные свойства непрерывности функций

 

1. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции.

Теорема. Пусть функция непрерывна в точке и Тогда существует такое, что для всех функция имеет тот же знак, что

Доказательство. Пусть  (рис. 1).

Рис. 1

Тогда, в силу девятого определения  непрерывности функции для любого существует такое, что неравенство выполняется для всех , удовлетворяющих условию , или, что то же самое, выполняются неравенства

                                   (4)

для всех Возьмем Тогда из левого неравенства (4) получаем для всех , что и требовалось доказать.

Если же , то рассмотрим функцию Так как , то по доказанному существует – окрестность точки , в которой и, следовательно,

 

2. Теорема (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значения разных знаков. тогда существует точка в которой

Доказательство. Пусть для  определенности и Разделим отрезок пополам (рис. 2)

Рис. 2

 

 Если значение функции  в середине отрезка равно нулю, то теорема доказана. В противном случае выберем тот из полученных отрезков, на концах которого функция имеет значения разных знаков, и обозначим его Разделим отрезок пополам и выберем тот отрезок, на концах которого функция имеет значения разных знаков, и обозначим его и так далее. Продолжая этот процесс неорганиченно, получим последовательность

вложенных отрезков, причем при , и на концах каждого отрезка функция имеет значения разных знаков.

По теореме о вложенных  отрезках, существует точка , принадлежащая всем отрезкам. Докажем, что Действительно, если допустить, что то по теореме об устойчивости знака непрерывной функции существует окрестность точки , в которой . В эту окрестность при достаточно большом попадет отрезок , в котором, следовательно, будет , а это противоречит выбору последовательсти вложенных отрезков. Аналогично доказывается, что не может быть меньше нуля. Остается принять, что . При этом очевидно, что точка

 

3. Теорема (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке , причем Пусть - любое число, заключенное между и . Тогда на отрезке найдется точка такая, что

Другими словами, непрерывная  функция при переходе от одного значения к другому принимает и промежуточные значения.

Следствие. Если функция определена и непрерывна на некотором промежутке , то множество ее значений также представляет некоторый промежуток.

4. Теорема об ограниченности  непрерывной функции на отрезке.

Функция называется ограниченной на отрезке , если существует число такое, что для всех выполняется неравенство  или , то есть график функции не выходит из полосы, ограниченной прямыми и

Теорема (первая теорема Вейерштрасса). Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

5. Теорема о достижении  функцией, непрерывной на отрезке,  своих точных граней.

В том случае, когда точные грани функции являются значениями функции, говорят, что функция достигает своих точных граней.

6. Теорема (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своих точных граней, то есть существуют точки такие, что

 

 

7. Равномерная непрерывность функции.

Функция называется равномерно непрерывной на некотором промежутке , если для любого существует такое, что для любых двух точек удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

8. Теорема о равномерной непрерывности функции.

Теорема (теорема  Кантора). Если функция непрерывна на отрезке , то она и равномерно непрерывна на нем.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рассмотрим последовательность , сходящуюся к числу .

Сравним члены последовательности с большими индексами.

В силу сходимости последовательности для каждого существует такое N, что при всех справедливо неравенство . Поэтому, если и , то

 

 

 

Определение. Говорят, что последовательность удовлетворяет условию Коши (является фундаментальной, является последовательностью Коши), если для каждого существует такое , что при всех и , превосходящих , справедливо неравенство

 

 

 

Таким образом, мы доказали, что условие Коши является необходимым  для сходимости последовательности к конечному пределу. Покажем, что  это условие является также и  достаточным.

Теорема 1 (критерий Коши). Условие Коши необходимо и достаточно для сходимости последовательности к конечному пределу.

Доказательство. Сначала установим, что последовательности , удовлетворяющие условию Коши, ограничены.

Для найдём натуральное такое, что при всех справедлива оценка . Положив , имеем и, значит,

Поэтому, если то при всех

Ограниченная последовательность согласно теореме Больцано–Вейерштрасса имеет конечный частичный предел. Обозначим его и покажем, что является пределом всей последовательности .

Пусть – подпоследовательность, для которой . Зададим произвольное и найдём такое, что для всех и такое, что для всех . Оценим разность при

Если , то при всех имеем

 

.

 

Таким образом, последовательность сходится к .

Теорема доказана.

Определение. Функция удовлетворяет в точке условию Коши, если определена в некоторой проколотой окрестности точки и для каждого существует такое число , что для любой пары точек и из проколотой окрестности точки выполняется неравенство

 

                                               (5)

 

Теорема 2 (Критерий Коши). Для того чтобы функция имела в некоторой точке конечный предел, необходимо и достаточно выполнения для в этой точке условия Коши.

Доказательство. Пусть предел равен . Для каждого положительного существует такое, что для всех , удовлетворяющих условию , справедливо неравенство . Взяв произвольные точки и из проколотой -окрестности точки , находим

 

 

 

Таким образом, необходимость  условия Коши установлена.

Пусть теперь выполнено условие  Коши. По находим такое , что для любых точек и из проколотой -окрестности точки справедливо неравенство (5).

Рассмотрим произвольную последовательность точек  из области определения функции такую, что при и для всех . Тогда существует число , зависящее от , а в конечном счёте зависящее от , такое, что при всех для точек справедливо неравенство.