Множина раціональних чисел та її властивості. Джерела ірраціональності.Дійсні числа

1. Множина раціональних чисел та її властивості. Джерела ірраціональності.Дійсні числа.

Множиною рац.чисел Q називається множина всіх класів рівних дробів, на яких введено певним чином відношення порядку.Кожен елемент такої множини називається рац.числом. Для рац. чисел вживане позначення r=, де m,n Z n  , - деякий дріб з класу рівних між собою дробів. Знак рівності вказує на те, що раціональне число представлене дробом. Введемо певним чином віношення порядку та правила додавання та множення. Всі інші властивості можна отримати з властивостей цілих чисел. При цьому операції віднімання та ділення відзначаються як обернені до операцій додавання та множення. Якщо домовитись, що = m, де m Zто ми можемо включити в множину Z множину Q разом з усіма властивостями множини Z. Відмітимо дві фундаментальні властивості множини Q:

1. 1) Впорядкованість множини Q досягається  за допомогою поняття «більше»:

 для будь-яких r1, r2   i має місце одне і тільки одне із співвідношень

r1=r2,   r1<r2,  r1>r2

   2) Якщо  r1< r2, а r2<r3, то r1<r3 - властивість транзитивності.

2. Якщо  r1, r2   то, r1r2 , r1*r2 ,   (якщо r2)

Теорема (властивість щільності мн.Q) :

Для будьяких двох різних раціональних чисел r1 r2 існує нескінченна множина раціональних чисел r, що розташована між ними(r1<r<r2).

Дійсно, для будьяких m, n   маємо число r= – задовольняє умову r1<r<r2. Оскільки

r-r1=

r-r1>0 або r>r1;

 

r2–r>0 або r2>r

 

В силу довільності вибора нат. чисел m i n отрумуємо нескінченну множину раціональних чисел r.

Теорема (власт. Архімедової впорядкованості): для будьяких  r1, r2   існує нат. число n, таке що nr1>r2

Дійсно, поклавши n= , ми отримаємо потрібне.

Джерела ірраціональності

Задача1.Розгл. квадратне рівняння х2=2. Як відомо, воно не має розв'язків на множині рац. чисел. покажимо це.

Припустимо, що існує такий дріб , що x= і =2 aбо m2=2n2 . Оскільки 2 просте число, то на 2 ділиться m2 , а також m. Тобто m = 2m1, де m1. (2m1)2=2m2, піднесемо до квадрата ліву частину і розділемо обидві частини на 2: 2m12=n2. Очевидно, що n2 i n повинні ділитися на 2: n=2n1 n1. Отже отримали в нашому припущенні, що числa m i n мають спільний множник 2, а це суперечить умові.

Задача2. Якщо за одиницю довжини взято сторону квадрата, то довжина діагоналі цього квадрата не може бути виражена рац. числом.

Припустимо, що довжина діагоналі а зі стороною е виражається наскоротним дробом типу , тобто а = *e  за теоремою піфагора е2+е2=(*e)2

2e2=, (*e)2   ,    , тобто m – парне і m = 2k, k

2k2=2n2, 2k2=n2 n також парне, побто n=2p,  p

Це означає, що m i n мають спільний множник 2. Тобто дріб не є нескоротним дробом, а це суперечить умові нашої задачі.

Наведені приклади показують, що існують відрізки довжини яких не можна виразити додатнім раціональним числом. Ми прийшли до необхідності введення нових чисел, які будемо називати ірраціональними, тобто до необхідності розширенні множини рац. чисел Q.

Розглянемо відрізок а, довжину якого треба виміряти і е – одиницю виміру. Нехай а складається з n відрізків рівних е і відрізка а1 довжина якого < е, тобто ne < a < (n+1)e. Числа n,  (n+1) є наближеними значеннями довжини відрізка а при одиниці виміру е з недостачею і надлишком з точністю до одниниці е. Щоб отримати більш точну відповідь візьмемо відрізок е, розіб'ємо його на 10 частин. позначимо через е1= і будемо його вкладати в а1. Можливі випадки:

е1 вклад. в а1 рівно n1 раз, тобто а = . а1 складається з n1 відрізків, рівних е1 і відрізків а2, які менше за е1. n, n1e<a<n,    де n, n1e; n,   - наближені значення відрізка а з відповідною недостачею і надлишком з точністю до 0,01. Нехай e2 - це - новий відрізок виміру. n, n1n2e < a<n,n1n2'e. На практиці цей процес буде скінченим, але в ідеалі можливі два випадки:

на k-му кроці процес вимірювання скінчиться. Тоді довжину відрізка а визначимо скінченим десятковим дробом : n1, n1n2...nn  цей процес буде нескінченим.

Нескінчені десяткові неперіодичні дроби і будуть представляти запис нових чисел, а саме – ірраціональних. Множина ірраціональних чисел позначається І. Напр., , π, е, lg5. Множини рац. і іррац. чисел в об'єднанні дають множину дійсних чисел: Q

1.Два дійсних числа α = а, а1а2а3...аn...і β = b,b1b2b3...bn... вважають рівними, якщо

1) а = b і an=bn n, тобто рівні цілі частини і десяткові знаки розташовані на однакових місцях; 2) нехай α має 9 в періоді. Наприклад α = 2499,99, а β отримаємо шляхом заміни всіх 9 періоду на 0 та збільшимо цифру яка знаходилася перед 9 на одну одиницю. Тобто β = 2500, тоді також α = β .

Скінчені десяткові дроби утотожнюють з нескінченими з нулем в періоді. Отже, всі скінчені десяткові дроби також включаються до множини дійсних чисел.

Якщо ціла частина дійсного числа α є від'ємною, наприклад, α = 3,215000 ,тобто

α = -3+ ++ (1).

В цьому випадку записують -3+= -3+0,215 = -2,785 (2).

Враховуючи (2) запишемо, α = -2+ (3). Очевидно, що вирази (1) і (3) рівні між собою.

Означимо суму двох дійсних чисел. Нехай α та β – деякі дійсні числа,  сn і  сn' – десяткові наближення до числа  α з недостачею і надлишком відповідно, а dn i dn' – відповідні десяткові наближення до числа  β з недостачею і надлишком. Суммою двох чисел  α + β називається таке дійсне число, яке ∀ n міститься між числами сn + dn і сn' + dn' , тобто сn + dn ≤ α + β ≤ сn' + dn' (4). В силу теореми Вейєрштрасса, таке число існує і воно єдине. Впевнимось що таке число  α + β існує. Розглянемо множину всіляких сум  сn + dn, ∀ n є N . За теоремою Вейєрштрасса існує supn { сn + dn}. Позначимо його  α + β = σ, тобто  σ =supn{ сn + dn}. Тоді  сn + dn ≤ σ, ∀ n. Але в той же час σ ≤ сn' + dn', . Оскільки для всіх рац. чисел сn , dn , сn' , dn' числа сn і dn можна збільшити, сn' і dn' зменшити, зберігаючи умову сn ≤ α  ≤ сn' і  dn ≤ β ≤ dn', то в отриманих нерівностях, об'єднаних з рівностями, рівности не може бути в жодному випадку. Все зведеться до строгої нерівності. Отже, число σ задовольняє означенню суми. Виникає питання, чи σ визначається однозначно? Нехай існує таке число σ', таке що сn + dn ≤ σ' ≤ сn' + dn'. Тоді розглянемо різницю σ – σ': 0 ≤ σ – σ' ≤ 0, а це означає, що  σ – σ' = 0, а, отже, число  σ визначається однозначно.