Множества

 

Понятие  множества

Понятие множества принадлежит  к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а  можно лишь пояснить, указывая синонимы слова «множество» и приводя  примеры множеств: множество –  набор, совокупность, собрание каких-либо объектов (элементов), обладающих общим  для всех их характеристическим свойством.

Примеры множеств:

1. множество студентов в данной аудитории;
2. множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени;
3. множество точек данной геометрической фигуры;
4. множество чётных чисел;
5. множество корней уравнения х²-5х+6=0;
6. множество действительных корней уравнения х²+9=0;

Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами.

Множество обычно обозначают большими латинскими буквами, а элементы множества  − малыми латинскими буквам. Если элемент, а принадлежит множеству А, то пишут: а А, а если а не принадлежит А, то пишут: а А.

Основоположник теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) писал: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое».[ с. 76–86] И хотя это высказывание учёного не является в полном смысле логическим определением понятия множества, но оно верно поясняет, что когда говорят о множестве, то имеют в виду некоторое собрание объектов, причём само это собрание рассматривается как единое целое, как один (новый) объект.

 

Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами.

Множество обычно обозначают большими латинскими буквами, а элементы множества  − малыми латинскими буквам. Если элемент, а принадлежит множеству А, то пишут: а А, а если а не принадлежит А, то пишут: а А.

Например, пусть N–множество натуральных чисел. Тогда 5 N , но N, N. Если А - множество корней уравнения х²-5х+6=0, то 3 А, а 4 А.

В математике часто исследуются  так называемые числовые множества, т.е. множества, элементами которых  являются числа. Для самых основных числовых множеств утвердились следующие  обозначения:

N- множество всех натуральных чисел;

Z- множество всех целых чисел;

Q- множество всех рациональных чисел;

R- множество всех действительных чисел.

Приняты также обозначения Z⁺ , Q⁺, R⁺ соответственно для множеств всех неотрицательных целых, рациональных и действительных чисел, и Z^Ї, Q^Ї, R^Ї -для множеств всех отрицательных целых, рациональных и действительных чисел.

 

 

1. Способы задания множества

 

Множество А считается заданным, если относительно любого объекта а можно установить, принадлежит этот объект множеству А или не принадлежит; другими словами, если можно определить, является ли а элементом множества А или не является. Существуют два основных способа задания множества:

1. перечисление элементов множества;
2. указание характеристического свойства элементов множества, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Первым способом особенно часто  задаются конечные множества. Например, множество студентов учебной  группы задаётся их списком. Множество, состоящее из элементов a, b, c, … ,d ,обозначают с помощью фигурных скобок: А={a; b; c; …;d} . Множество корней уравнения х²-5х+6=0 состоит из двух чисел 2 и 3: А={2; 3}. Множество В целых решений неравенства -2 < х < 3 состоит из чисел –1, 0, 1, 2, поэтому В={–1; 0; 1; 2}.

Второй способ задания множества  является более универсальным. Множество  элементов х, обладающих данным характеристическим свойством Р(х), также записывают с помощью фигурных скобок: Х={х | Р (х)}, и читают: множество Х состоит из элементов х, таких, что выполняется свойство Р(х). Например, А={х | х²-5х+6=0}. Решив уравнение х²-5х+6=0, мы можем записать множество А первым способом: А={2; 3}.

Другой пример: Х={х | -1 ≤ х < 4, х Z}, т.е. Х есть множество целых чисел х, таких, что –1 ≤ х < 4, значит, по-другому: Х={-1; 0; 1; 2; 3}.

Рассмотрим и такой пример: F={f | │fґ(x)│≤ 1 , 1 < x < 2}, т.е. F- множество функций f, производная которых в интервале (1; 2) не превосходит по абсолютной величине числа 1.

Может случиться, что характеристическим свойством, определяющим множество А, не обладает ни один объект. Тогда говорят, что множество А - пустое (не содержит ни одного элемента) и пишут: А= Ш.

Например, А={х | хІ+9=0, х R} –множество действительных чисел х, таких, что хІ+9=0- пустое множество, т.к. таких действительных чисел нет.

 

 

2.Включение и равенство  множеств

 

Пусть Х и У – два множества. Если каждый элемент х множества Х является элементом множества У, то говорят, что множество Х содержится во множестве У и пишут: Х У или У Х. Говорят также, что Х включено в У или У включает Х, или что Х является подмножеством множества У. Знаки включения или относятся только ко множествам и их не следует смешивать со знаками принадлежности Î и . Если, например, А - множество всех студентов вуза, а В – множество студентов-первокурсников этого вуза, то В есть подмножество А, т.е. В А. Пустое множество считают подмножеством любого множества Х, т.е. Ш Х, каким бы ни было множество Х. Ясно также, что каждое множество является подмножеством самого себя: Х Х.

Если для двух множеств Х и У одновременно имеют место два включения Х У и У Х, т.е. Х есть подмножество множества У и У есть подмножество множества Х, то множества Х и У состоят из одних и тех же элементов. Такие множества Х и У называют равными и пишут: Х=У. Например, если А={2; 3}, а В={х | хІ –5х+6=0}, то А=В.

Если Х  У, но Х≠ У, т.е. существует хотя бы один элемент множества У, не принадлежащий Х, то говорят, что Х есть собственное подмножество множества У, и пишут: Х У. Например: N Z, Z Q, Q R. Далее нам потребуется множество, которое содержит в качестве своего подмножества любое другое множество. Такое «всеобъемлющее» множество будем называть универсальным и обозначать буквой U .

 

 

3.Диаграммы Эйлера-Венна

 

Для наглядного представления множеств используют диаграммы Эйлера-Венна. В этом случае множества обозначают областями на плоскости и внутри этих областей условно располагают  элементы множества. Часто все множества  на диаграмме размещают внутри прямоугольника, который представляет собой универсальное  множество U. Если элемент принадлежит более чем одному множеству, то области, отвечающие таким множествам, должны перекрываться, чтобы общий элемент мог одновременно находиться в соответствующих областях. Выбор формы областей, изображающих множества на диаграммах, может быть произвольным (круги, внутренности эллипсов, многоугольники и т.п.). Покажем, например, с помощью диаграммы Эйлера-Венна, что множество А является подмножеством множества В:

 

С помощью такой диаграммы становиться  наглядным, например, такое утверждение:

 

если А В, а В С, то А С.

 

 

Строгое доказательство этого утверждения, не опирающееся на диаграмму, можно  провести так: пусть х А; так как А В, то х В, а так как В С, то из х В следует, что х С; значит, из того, что х А, следует х С, а поэтому А С.

 

 

4.Операции над множествами

 

С помощью нескольких множеств можно  строить новые множества или, как говорят, производить операции над множествами. Мы рассмотрим следующие  операции над множествами: объединение, пересечение, разность множеств, дополнение множества. Все рассматриваемые  операции над множествами мы будем  иллюстрировать на диаграммах Эйлера-Венна.

4.1Объединение множеств

Объединением А В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

Символическая запись этого определения: А  В={х | х А или х В}.

Здесь союз «или» понимается в смысле «неразделительного или», т.е. не исключается, что х может принадлежать и А и В. Отметим, что в таком случае элемент х, входящий в оба множества А и В, входит в их объединение только один раз (поскольку для множества не имеет смысла говорить о том, что элемент входит в него несколько раз).

Поясним определение объединения  множеств с помощью диаграммы  Эйлера-Венна:

 

 

На диаграмме объединение множеств А и В выделено штриховкой.

Если множество А определяется характеристическим свойством Р (х), а множество В - характеристическим свойством Q(х), то А В состоит из всех элементов, обладающих, по крайней мере, одним из этих свойств.

Примеры объединений двух множеств:

1) Пусть А={2; 5; 7}, В={3; 5; 6}. Тогда А В ={2; 3; 5; 6; 7}.

2) Пусть А=[-1/4; 2], В=[ -2/3; 7/4]. Тогда А В=[-2/3; 2] .

3) Пусть А= {х | х=8k, k Z}, B={x | x=8n-4, n Z}. Тогда A B ={x | 4m, m Z}.

Операция объединения множеств может проводиться не только над  двумя множествами. Определение  объединения множеств можно распространить на случай любого количества множеств и даже – на систему множеств. Система множеств определяется так: если каждому элементу α множества  М отвечает множество А_α, то совокупность всех таких множеств мы будем называть системой множеств.

Объединением системы множеств {А_α} называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А_α. При этом общие элементы нескольких множеств не различаются.

Таким образом, элемент х тогда и только тогда, когда найдется такой индекс α ₀ М, что х A _α0 .

В случае, когда М конечно и  состоит из чисел 1, 2, … , n, применяется запись Если M=N, то имеем объединение последовательности множеств .

Рассмотрим ещё один пример: пусть  М=(1; 2) и для каждого α є М определим множество А_α =[0;α]; тогда = [0;2).

Из определения операции объединения  непосредственно следует, что она  коммутативна, т.е. А₁ A₂ = A₂ А₁, и ассоциативна, т.е. (А₁ A₂) А₃ = А₁ (A₂ А₃).

 

4.2Пересечение  множеств

Пересечением А ∩ В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств А и В.

Символическая запись этого определения: А ∩ В={х | х А и х В}.

Поясним определение пересечения  множеств с помощью диаграммы  Эйлера-Венна:

 

А ∩ В

На диаграмме пересечение множеств А и В выделено штриховкой.

Если множество А задается характеристическим свойством Р(х), a множество В-свойством Q(х), то в А ∩ В входят элементы, одновременно обладающие и свойством Р(х), и свойством Q(х).

Примеры пересечений двух множеств:

1. Пусть А={2; 5; 7; 8}, В={3; 5; 6; 7} .Тогда А ∩ В={5; 7}.
2. Пусть А=[-1/4; 7/4], В=[-2/3; 3/2]. Тогда А ∩ В= [-1/4; 3/2].
3. Пусть А= {х | х=2k, k є Z}, B={x | x=3n, n є Z}. Тогда А ∩ В ={x | x=6m, m Z}.
4. Пусть А- множество всех прямоугольников, В-множество всех ромбов. Тогда А ∩ В -множество фигур, одновременно являющихся и прямоугольниками, и ромбами, т.е. множество всех квадратов.

Операцию пересечения можно  определить и для произвольной системы  множеств {А_α}, где α М. Пересечением системы множеств {А_α}, называется множество , состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств А_α, α М, т.е. = {x | x А_α для каждого α М}.

В случае, когда М конечно и  состоит из чисел 1, 2, … , n, применяется запись . Если M=N, то имеем пересечение последовательности множеств .

В рассмотренном выше примере системы  множеств А_α =[0; α], α М =(1; 2) получим: =[0;1].

Операция пересечения множеств, как и операция объединения, очевидно, коммутативна и ассоциативна, т.е. А₁∩A₂ = A₂ ∩А₁ и (А₁∩A₂)∩ А₃= А₁∩(A₂ ∩ А₃).

     Операции   объединения  и   пересечения   множеств   обладают   многими свойствами   сложения   и   умножения   чисел,   например переместительным,   сочетательным  и  распределительным   свойствами.

     Понятия   объединения  и   пересечения  множеств  дословно   переносятся на   случай   более   двух   множеств  и   даже  на   случай   любого   конечного или   бесконечного   множества   множеств.

     Для   удобства   будем   называть   системами   такие   множества, элементами   которых   служат  другие  множества. Тогда   объединением множеств   некоторой   системы   называется   множество,  состоящее   из элементов,  принадлежащих  по   крайней   мере   одному   множеству   данной   системы. Пересечением   множеств   некоторой системы   называется   множество, состоящее из   элементов, входящих   во   все множества   данной   системы.

 

4.3 Разность множеств

Разностью А\В множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В, т.е.