Методы выбора кривых роста

     ⁵Полином второй  степени:

     Y t=a₀+a₁t+a₂t² . (2.3)

     

 
 
 
 
 

     Парабола  применяется в тех случаях, когда  процесс развивается равноускоренно.

      Параболический  тренд обладает следующими свойствами:

1. неравные, но равномерно возрастающие или убывающие абсолютные  изменения за равные промежутки времени;
2. поскольку а₀ как правило величина положительная, то характер тренда определяется знаками параметров а₁ и а₂.

 При а₁>0 и а₂>0 имеем восходящую ветвь, т.е. тенденцию с ускоренному росту уровней.

При а₁<0 и а₂<0 имеем нисходящую ветвь, т.е. тенденцию к ускоренному сокращению уровней.

При а₁>0 и а₂<0 имеем либо восходящую ветвь с замедляющимся ростом уровней, либо обе ветви параболы, если их по существу можно считать единым процессом.

При а₁<0 и а₂>0 имеем либо нисходящую ветвь с замедляющимся сокращением уровней, либо обе ветви, если их можно считать единым процессом.

3. В зависимости от соотношения между параметрами, цепные темпы изменений могут либо уменьшаться, либо некоторое время увеличиваться. Но при достаточно длительном периоде темпы роста начинают изменяться, а темпы сокращения уровней начинают возрастать.

     Полином 3-й степени:

      Y _t=a₀+_a1t+a₂t²+a₃t³   (2.4)

       
 
 
 
 
 
 

     У этого полинома знак прироста ординат  может изменяться 1 или 2 раза. Отличительная черта полиномов — отсутствие в явном виде зависимости приростов от значений ординат (yt). Оценки параметров в модели определяются методом наименьших квадратов. Как известно, суть его состоит в нахождении таких параметров, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней от фактических значений была бы минимальной.

     ⁶Таким образом, эти оценки находятся в результате минимизации выражения:

∑( y_t – y_t)² →min. (2.5)

где

y _t — фактическое значение уровня временного ряда;

y _t — расчетное значение;

n — длина временного ряда.

     ⁷К первому классу кривых роста относятся также экспоненциальные кривые. Для них характерным является зависимость приростов от величины самой функции..

      Наиболее  часто применяется простая экспоненциальная кривая, которая имеет вид: y_t=ab^t    (2.6)

       
 
 
 
 

Если  b > 1, то кривая растет вместе с ростом t, и падает, если b < 1.Параметр a характеризует начальные условия развития, а параметр b — постоянный темп роста.

Ко второму  классу кривых относят модифицированную экспоненту:

y _t=к+ab^t. (2.7)

где

y = k является горизонтальной асимптотой. 
 
 

       
 
 
 
 

     Если  параметр a отрицателен, то асимптота находится выше кривой, если a положителен, то ниже. При решении экономических задач чаще всего приходится иметь дело с кривой, у которой a < 0, b < 1. В этом случае рост уровней происходит с замедлением и стремится к некоторому пределу. Таким образом, модифицированная экспонента хорошо описывает процесс, на развитие которого воздействует ограничивающий фактор, причем влияние этого воздействия растет вместе с ростом достигнутого уровня.

     Если  воздействие ограничивающего фактора  начинает сказываться только после определенного момента (точки перегиба), до которого процесс развивался по некоторому экспоненциальному закону, то для выравнивания используют S-образные кривые. Наиболее известными из них являются кривая Гомперца и логистическая кривая.

     Уравнение кривой Гомперца имеет вид:

у _t=к+a^bt ( 2.8)

 
 
 
 
 

     ⁸Кривая несимметрична. Если log a <0, кривая имеет S-образный вид, при этом асимптота, равная k, проходит выше кривой. Если log a >0, асимптота, равная k, лежит ниже кривой, а сама кривая изменяется монотонно: при b < 1 — монотонно убывает; при b > 1 — монотонно возрастает.

     Уравнение логистической кривой получается путем  замены в модифицированной  экспоненте yt обратной величиной:

       к+ab^t (2.9) 

     Используется  и другая форма записи уравнения  логистической кривой:

     У=    _(2.10)

     

       
 
 
 
 
 

При t → –∞ ордината стремится к 0, а при t → ∞ — к асимптоте, равной значению параметра k.

 

Заключение

В заключение отметим, что нет “жестких” рекомендаций для выбора кривых роста. Особенно осторожно следует подходить к решению этой задачи при использовании полученной функции для экстраполирования найденных закономерностей в будущее. Применение кривых роста должно базироваться на предположении о сохранении выявленной тенденции в прогнозируемом периоде. Рассмотренные различные статистические приемы и методы могут помочь исследователю при осуществлении сложного выбора подходящей кривой роста.

     Применение  критерия для выбора формы кривой, по-видимому, даст практически пригодные  результаты в том случае, если отбор  будет проходить в два этапа. На первом этапе отбираются зависимости, пригодные с позиции содержательного  подхода к задаче, приемлемых функций. На втором этапе для этих функций  подсчитываются значения критерия, и выбирается та из кривых, которой соответствует минимальное его значение.

     В большинстве случаев практически  приемлемым является метод, который  основывается на сравнении характеристик  изменения приростов исследуемого динамического ряда с соответствующими характеристиками кривых роста. Для  выравнивания выбирается та кривая, закон  изменения прироста которой наиболее близок к закономерности изменения  фактических данных. Поскольку основным при исследовании ряда динамики является изменение приростов, то метод, основанный на выявлении и анализе изменений  приростов и различных показателей, полученных на их основе, можно считать  наиболее содержательным. 

 

Список  используемых источников

1. Гранборга Статистическое моделирование и прогнозирование Москва 2009 г.
2. Дуброва Т.А. Статистические методы прогнозирования в экономике. М.,2010 г.
3. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. М.: Статистика, 2008 г.
4. Льюис К.Д. Методы прогнозирования экономических показателей. М.: Финансы и статистика, 2009 г.
5. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкйй А.А. Эконометрика: Начальный курс. М.: Дело, 2010 г.
6. Тейл. Г. Экономические прогнозы и принятия решений. – М. : Прогресс 2009 г.
7. Четыркин Е.М. Статистические методы прогнозирования - М.: Статистика, 2010г
8. Юзбасиев М.М. Манелл А. М. Статистический анализ тенденций  и колеблемости  Москва: Финансы и статистика, 2008г.