Методы выбора кривых роста

Содержание

Введение……………………………………………………………………..3 

1. Методы выбора кривых роста………………………………………….4
2. Применение моделей кривых роста в прогнозировании……………..8

Заключение………………………………………………………………….17

Список используемых источников………………………………………..18 

 

Введение

     Существует  несколько практических подходов, облегчающих  процесс выбора формы кривой роста.

     Наиболее  простой путь - это визуальный, опирающийся  на графическое изображение временного ряда. Подбирают такую кривую роста, форма которой соответствует  фактическому развитию процесса.

     В статистической литературе описан метод  последовательных разностей, помогающий при выборе кривых параболического  типа.

     Универсальным методом выбора кривых роста, позволяющим  выбрать кривую из широкого класса кривых роста, является метод характеристик  прироста. Он основан на использовании  отдельных характерных свойств  кривых. При этом методе исходный временной  ряд предварительно сглаживается методом простой скользящей средней.

     Задачи:

1. Рассмотреть методы выбора кривых роста.
2. Рассмотреть применение моделей кривых роста в прогнозировании.
 

1. Методы выбора кривых роста

     Существует  несколько практических подходов, облегчающих процесс выбора формы кривой роста. Наиболее простой метод – визуальный, опирающийся на графическое изображение временных рядов. Подбирают такую кривую роста, форма которой соответствует фактическому развитию процесса. Если на графике исходного ряда тенденция развития недостаточно четко просматривается, то можно провести некоторые стандартные преобразования ряда (например, сглаживание), а потом подобрать функцию, отвечающую графику преобразованного ряда. В современных пакетах статистической обработки имеется богатый арсенал стандартных преобразований данных и широкие возможности для графического изображения, в том числе в различных масштабах. Все это позволяет существенно упростить для исследователя проведение данного этапа.

     В литературе описан также метод последовательных разностей помогающий при выборе кривых полиноминального типа. Этот метод применяют при выполнении следующих предположений: уровни временного ряда могут быть представлены в виде суммы систематической составляющей  и случайной компоненты, подчиненной закону нормального распределения с математическим ожиданием, равным 0 и постоянной дисперсией. Метод последующих разностей предполагает вычисление первых, вторых и т.д. разностей уровней ряда.

     ¹Поясним, что для временного ряда y₁, y₂….y_n последовательные разности  
первого порядка определяются следующим образом:

     ∆у_t = y₁ – y_t-1, t = 2,…,n. (1.1)

     Последовательные  разности второго порядка – разности от последовательных разностей первого  порядка:

       ∆²y₁ = ∆ у_t - ∆у_t-1, t = 3,…n. (1.2)

     Аналогично  последовательные разности  порядка  k≥3 можно представить в виде:

       ∆^ky_t = ∆^k-1y₁ - ∆^k-1y_t-1, t = k+1, ..,n. (1.3)

     Расчет  ведется до тех пор, пока разности не будут примерно равными. Порядок  разностей принимается за степень  выравнивающего полинома. Так, если примерно близкими оказываются первые разности, то для выравнивания берется полином первой степени, если разность на примерно одну, и ту же величину имеют вторые разности, то берется полином второй степени и т. д. Однако такой подход далеко не универсален, он возможен при подборе только кривых, описываемых многочленами. К тому же его предпосылки могут и не быть адекватными рассматриваемому реальному процессу.

     Существенную  помощь при выборе кривых роста из более широкого класса функций может  оказать метод характеристик  прироста. Процедура выбора кривых роста с использованием этого метода включает:

     1) выравнивание ряда по скользящей  средней;

     2) определение средних приростов;

     3) вычисление производных характеристик  прироста

      Для многих видов кривых были найдены такие преобразования приростов, которые линейно изменялись относительно t или были постоянны. В связи с этим исследование рядов характеристик приростов часто оказывает существенную помощь при определении законов развития исходных временных рядов.

      Данный метод является более универсальным по сравнению с методом последовательных разностей.

      Однако чаще всего на практике к выбору формы кривой подходят исходя из значений критерия, в качестве которого принимают сумму квадратов отклонений фактических значений уровня от расчетных, получаемых выравниванием. Из рассматриваемых кривых предпочтение будет отдано той, которой соответствует минимальное значение критерия, чем меньше значение критерия, тем ближе к кривой ложатся данные наблюдений. Используя этот подход, следует иметь в виду ряд моментов.

      Во-первых, к ряду, состоящему из m точек можно подобрать многочлен степени (m-1), проходящий через все m точек.

      Во- вторых, существуют множество многочленов более высоких степеней, а также проходящих через все эти точки. Для этих многочленов значение критерия будет равно 0, однако, очевидно, что такая кривая не слишком пригодна как для выделения тенденции, так и для целей прогнозирования.

      Также следует учитывать, что за счет роста сложности кривой можно увеличить точность описания тренда в прошлом, однако доверительные интервалы при прогнозировании будут существенно шире, чем у более простых кривых при одинаковом периоде упреждения, например, за счет большего числа параметров.

      Таким образом, использование этого подхода должно проходить в два этапа. На первом происходит ограничение приемлемых функций, исходя из содержательного анализа задачи. На втором - осуществляется расчет значений критерия и выбор на его основе наиболее подходящей кривой роста. В современных пакетах статистической обработки данных и анализа временных рядов представлен широкий спектр кривых роста. Можно среди этих кривых выбрать отдельную функцию, и получить подробный протокол, включающий оценки параметров, характеристики остатков, прогнозы, интервальные и точечные. Можно выделить на экране несколько функций, тогда протокол будет содержать оценки параметров всех заказанных функций и значения критерия для каждой из них.

      ²В качестве критерия выбирается средняя квадратическая ошибка:

(1.4)

     Подробный протокол, а также прогнозные значения, на заданное пользователем число временных интервалов, приводятся для функции, отвечающей минимуму указанного критерия. Представляется целесообразным для пользователя на основе выше рассмотренных подходов заранее отвергнуть заведомо непригодные варианты, ограничить поле выбора. Отметим, что на практике часто в качестве знаменателя подкоренного выражения принимают величину (n - k), где k - число оцениваемых коэффициентов модели.

 

2. Применение  моделей кривых роста  в прогнозировании

     На  практике для описания тенденции  развития явления широко используются модели кривых роста, представляющие собой различные функции времени y = f(t). При таком подходе изменение исследуемого показателя связывают лишь с течением времени, считается, что влияние других факторов несущественно или косвенно сказывается через фактор времени.

     Правильно выбранная модель кривой роста должна соответствовать характеру изменения  тенденции исследуемого явления. Кривая роста позволяет получить выровненные  или теоретические значения уровней  динамического ряда. Это те уровни, которые наблюдались бы в случае полного совпадения динамики явления  с кривой.

     Прогнозирование на основе модели кривой роста базируется на экстраполяции, на продлении в  будущее тенденции, наблюдавшейся  в прошлом.

     При этом предполагается, что во временном  ряду присутствует тренд, характер развития показателя обладает свойством инерционности, сложившаяся тенденция не должна претерпевать существенных изменений в течение периода упреждения.

     ³Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы:

1) выбор  одной или нескольких кривых, форма которых соответствует  характеру изменения временного ряда;

2) оценка  параметров выбранных кривых;

3) проверка  адекватности выбранных кривых  прогнозируемому процессу, оценка точности моделей и окончательный выбор кривой роста;

4) расчет  точечного и интервального прогнозов.

     Кривые  роста условно могут быть разделены  на 3 класса.

⁴К 1 классу относятся функции, используемые для описания процессов с монотонным характером тенденции развития и отсутствием пределов роста. Эти условия справедливы для многих экономических показателей, например, для большинства натуральных показателей промышленного производства.

     Функции, относящиеся ко 2 классу, называются кривыми насыщения. Ко 2 классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел роста в исследуемом периоде. С такими процессами часто сталкиваются в демографии, при изучении потребностей в товарах и услугах (в расчете на душу населения), при исследовании эффективности использования ресурсов. Примерами показателей, для которых могут быть указаны пределы роста, являются среднедушевое потребление определенных продуктов питания, расход удобрений на единицу площади.

Если  кривые насыщения имеют точки перегиба, то они относятся к 3 классу кривых роста — к S-образным кривым. Эти кривые описывают, как бы два последовательных процесса, когда прирост зависит от уже достигнутого уровня. Причем один развивается с ускорением, другой с замедлением.

S-образные  кривые находят применение в  демографических исследованиях,  в страховых расчетах, при решении  задач прогнозирования научно-технического прогресса, при определении спроса на новый вид продукции.

Среди кривых роста  1 типа, прежде всего следует выделить класс полиномов:

y_t  = a₀ + a₁t + a₂t + a_pt ^p  (2.1)

где

  a_i (i = 0, 1, ... ,p) — параметры многочлена,

t — независимая переменная (время), t = 1, 2, …, n.

Коэффициенты  полиномов невысоких степеней могут  иметь конкретную интерпретацию  в зависимости от содержания динамического  ряда. Например, их можно трактовать как скорость роста (a₁), ускорение роста (a₂), изменение ускорения (a₃), начальный уровень ряда при t = 0 (a₀).

Полином первой степени : y_t = a₀ +a₁t. (2.2)

На графике изображается прямой и используется для описания процессов, развивающихся во времени равномерно.

 
 
 
 
 
 

Основные  свойства тренда в форме прямой:

1. равные изменения за равные промежутки времени (цепные приросты = изменению);
2. если средний абсолютный прирост – положительная величина, то относительные приросты (темпы прироста) постепенно уменьшаются;
3. если средние абсолютные изменения – отрицательная величина, то относительные изменения постепенно увеличиваются по абсолютной величине снижения к предыдущему уровню;
4. если имеется тенденция к сокращению уровней, а изучаемая величина является по определению положительной, то среднее значение параметра а₁ не может быть больше среднего уровня (т.е. «а₀»);
5. при линейном тренде ускорение (разность абсолютных значений за последовательные периоды)=0