Методы решения нелинейных уравнений. Алгоритмы методов хорд и касательных

Министерство образования  и науки РФ 
 
 
 
 
 
 

ФИУ

Кафедра  Информатики

 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 

по дисциплине:

Вычислительная  математика 

На тему:

“Методы решения нелинейных уравнений. Алгоритмы методов хорд и касательных ” 
 
 
 
 
 

                                                                    

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Аннотация 

   В данной курсовой работе рассматриваются методы решения нелинейных уравнений. Рассматриваются методы хорд, Ньютона (касательных), хорд и касательных. Для каждого метода составлены алгоритм, блок-схема, программа на языке Turbo Pascal, выполнены вручную расчеты и выведены промежуточные результаты.

   Также были произведены вычисления с помощью  программы EUREKA, по результатам которой была выведена погрешность между истинными результатами, полученными на EUREKA, и результатами, полученными входе выполнения программы на ЭВМ.  

   В курсовой работе содержится:

   страниц – 

   блок-схем – 7

   рисунков  – 4

   программ  – 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение 

    Происходящий  в настоящее время процесс  бурного развития вычислительной техники  приводит к постоянному расширению области приложения современных  разделов математики. Количественные методы внедряются практически во все  сферы человеческой деятельности. Вместе с тем использование вычислительной техники в народном хозяйстве  требует подготовки высококвалифицированных  специалистов, владеющих методами вычислительной математики.

    Вычислительная  математика является одной из основных для подготовки квалифицированных  специалистов в различных областях народного хозяйства. Цель ее изучения состоит в том, чтобы дать учащимся теоретические основы и практические навыки для решения различных  прикладных задач с применением  математических моделей и численных  методов, реализуемых на ЭВМ.

    Бурное  развитие новейшей техники и все  большое внедрение современных  разделов математики в инженерные исследования неизмеримо повысили требования к математической подготовке инженеров и научных  работников, занимающихся прикладными  вопросами.

    От  людей, работающих, в научно-исследовательских  институтах, программистов и т.д., теперь требуется знание многих разделов математики и в первую очередь  основательное владение методами и  приемами вычислительной математики, так как решение почти каждой инженерной задачи должно быть доведено до численного результата.

    Вычислительная  техника наших дней, представляет собой новые мощные средства управления, преобразования, передачи и обработки  информации, Благодаря этому во многих случаях стало возможным отказаться от приближенной трактовки прикладных вопросов и перейти к решению  задач в более точной постановке. Это предполагает использование  более глубоких специальных разделов математики (нелинейные дифференциальные уравнения, функциональный анализ, теоретико-вероятностные  методы и др.).

    Разумное  использование современной вычислительной техники не мыслимо без умелого  применения методов приближенного  и численного анализа. Этим и объясняется  чрезвычайно выросший интерес, как  у нас, так и за рубежом  интерес  к методам вычислительной математики.

    Численные методы являются одним из мощных математических средств решения задачи. Простейшие численные методы мы используем всюду, например, извлекая квадратный корень на листке бумаги. Есть задачи, где достаточно сложных численных методов не удалось бы получить ответа; классический пример – открытие Нептуна по аномалиям  движения Урана.

    В современной физике таких задач  много. Более того, часто требуется  выполнить огромное число действий за короткое время, иначе ответ будет  не нужен. Например, суточный прогноз  погоды должен быть вычислен за несколько  часов; коррекцию траектории ракеты надо рассчитать за несколько минут; режим работы прокатного стана должен исправляться за секунды. Это немыслимо  без мощных ЭВМ, выполняющих тысячи или даже миллионы операций в секунду.

    Современные численные методы и мощные ЭВМ  дали возможность решать такие задачи, о которых полвека назад могли  только мечтать. Но применять численные методы далеко не просто. Цифровые ЭВМ  умеют выполнять только арифметические и логические операции. Поэтому помимо разработки математической модели, требуется ещё разработка алгоритма, сводящего все вычисления к последовательности арифметических и логических действий. Выбирать модель и алгоритм надо с учётом скорости и объёма памяти ЭВМ: чересчур сложная модель может оказаться машине не под силу, а слишком простая – не даст физической точности.

    Сам алгоритм и программа для ЭВМ  должны быть тщательно проверены. Даже проверка программы нелегка, о чём  свидетельствует популярное утверждение: « В любой сколь угодно малой  программе есть, по меньшей мере, одна ошибка». Проверка алгоритма ещё  более трудна, ибо для сложных  алгоритмов не часто удаётся доказать сходимость классическими методами. Приходится использовать более или  менее надёжные «экспериментальные»  проверки, проводя пробные расчёты  на ЭВМ и анализируя их.

    Строгое математическое обоснование алгоритма  редко бывает исчерпывающим исследованием. Например, большинство доказательств  сходимости итерационных процессов  справедливо только при точном выполнении всех вычислений; практически же число  сохраняемых десятичных знаков редко  происходит 5–6 при «ручных» вычислениях  и 10–12 при вычислениях на ЭВМ. Плохо  поддаются теоретическому исследованию «маленькие хитрости»– незначительные на первый взгляд детали алгоритма, сильно влияющие на его эффективность. Поэтому  окончательную оценку метода можно  дать только после опробования его  в практических расчётах.

    К чему приводят пренебрежение этими  правилами– видно из принципа некомпетентности Питера: «ЭВМ многократно увеличивает  некомпетентность вычислителя».

    Для сложных задач разработка численных  методов и составление программ для ЭВМ очень трудоёмкий процесс, который занимает от нескольких недель до нескольких лет. Стоимость комплекса  отлаженных программ нередко сравнима со стоимостью экспериментальной физической установки. Зато проведение отдельного расчёта по такому комплексу много  быстрей и дешевле, чем проведение отдельного эксперимента. Такие комплексы  позволяют подбирать оптимальные  параметры исследуемых конструкций, что не под силу эксперименту.                              
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Задание 

1. Методы решения  нелинейных уравнений. Постановка  задачи, этапы численного решения  уравнений. Графическое представление  на EUREKA.

2. Метод хорд. Алгоритм, программа, промежуточные результаты 

Пример 1: х³ +3х²-3 = 0    ε = 0,001 уточнить корень [а,b] = [-3,-2]  

3. Метод касательных.  Алгоритм, программа, промежуточные  и окончательные результаты. 

Пример 2: x-sinx = 0,25   ε = 0,001   [а,b] = [0, п/2] 

4. Комбинированный  метод хорд и касательных. Схема  алгоритма. Графическое представление  программы. Выполнить расчёты  для примеров 1,2,3. Печать количества итераций для каждого примера. 

Пример 3: х³+3х²-3 = 0    [a,b] = [-2,75;-2,5] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Обзор методов и алгоритмов решения нелинейных задач

Метод простых итераций

Метод простых итераций применяется для  решения уравнений частного вида, когда уравнение может быть записано в виде

                F(x) = x - f(x) =0.

На рисунке  1 приведена геометрическая интерпретация метода .

   
 
 
 
 
 

Рис 1. Геометрическая интерпретация метода простых итераций

На рисунке  показаны два графика для функций  у=x и y=f(x). Точки пересечения этих кривых определяют корни уравнения x - f(x) = 0. Эти корни обозначены r1 и r2. Для нахождения корня методом  простых итераций предлагается следующая  процедура. Выберем произвольную точку  x0 на оси x. Проведем перпендикуляр 

из точки x0 до пересечения с кривой y=f(x). В  качестве первого приближения к  корню возьмем точку x1=y(x0). Из точки x1 проведем перпендикуляр до пересечения  с кривой y=f(x). В качестве второго  приближения к корню выберем  точку x2=f(x1). Продолжая этот  процесс, можно видеть,  что каждое последующее  приближение к  корню определяется через предыдущее по формуле

   

Справедливо следующее утверждение (без доказательства). Если |df(x)/dx|<1 в точке пересечения  графиков y=x и y=f(x), тогда итерационный процесс (4.1) сходится к этой точке. В  нашем примере такой точкой является точка x=r1. Такие корни называются притягивающими для метода простых  итераций. Корень r2 в нашем примере  является отталкивающим и не может  быть найден методом простых итераций (4.1). Таким образом, очевидным недостатком  метода простых 

итераций  является то, что не все корни  уравнения x-f(x)=0 могут быть с его  помощью найдены. Блок-схема алгоритма  для решения уравнений методом  простых итераций дана на рис. 4.2.

   
 
 
 
 
 
 
 

Метод Ньютона (касательных)

В методе Ньютона решается уравнение F(x)=0. На рис. 2 показана геометрическая интерпретация метода Ньютона для решения нелинейных уравнений.

 

Рис 2. Геометрическая интерпретация метода Ньютон решения нелинейного уравнения F(x)=0

Алгоритм  метода Ньютона для поиска корней уравнения F(x)=0 состоит в следующем.

1. Выберем  произвольную точку x0 на оси  x  и погрешность eps определения   корня. 

2. Проведем  касательную к функции F(x)  в  точке (x0,F(x0)).

Определим точку, в которой касательная  пересекает линию y=0.

Обозначим эту точку  x1.

3. Вычислим  значение функции F(x) в точке  x1.  Если |F(x1)|>eps или |x0-x1|>eps, тогда  в качестве новой точки x0 выберем  x1 (т.е.  x0=x1) и перейдем к пункту 2. Если |F(x1)|<eps  и |x0-x1|<eps - считаем,  что корень найден с требуемой  погрешностью eps  и выходим из  программы.

     Уравнение касательной к функции  F(x) в точке (x0,F(x0)) имеет вид

   
 
 

Решая уравнение y(x1)=0 получим

   
 

Блок- схема программы  для решения нелинейного  уравнения F(x)=0 методом Ньютона 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 

Метод хорд