Метод Монте-Карло как метод статистических испытаний

       Содержание 

Введение 3

1. Рождение метода Монте-Карло 4
2. Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования 5
3. Интегрирование методом Монте-Карло 6
4. Геометрический алгоритм Монте-Карло интегрирования 7
5. Прямое моделирование методом Монте-Карло 8     

  6. Применение метода………………………………………………………......9

  7. Список  источников и литературы…………………………………………..11  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Введение

       Метод Монте-Карло (методы Монте-Карло, ММК) — общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи. Используется для решения задач в различных областях физики, химии, математики, экономики, оптимизации, теории управления и др.

     Метод статистических испытаний, численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных процессов и событий. Термин "М.-К. м." возник в 1949, хотя некоторые расчёты путём моделирования случайных событий осуществлялись статистиками и ранее. Широкое распространение метод получил только после появления быстродействующих вычислительных машин. Программы для расчётов по методу Монте-Карло на ЭВМ сравнительно просты и, как правило, позволяют обходиться без большой оперативной памяти. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Рождение  метода Монте-Карло

       Сначала Энрико Ферми в 1930-х годах в Италии, а затем Джон фон Нейман и Станислав Улам в 1940-х в Лос-Аламосе предположили, что можно использовать связь между стохастическими процессами и дифференциальными уравнениями «в обратную сторону». Они предложили использовать стохастический подход для аппроксимации многомерных интегралов в уравнениях переноса, возникших в связи с задачей о движении нейтрона в изотропной среде.

       Идея  была развита Уламом, который, по иронии судьбы, также как и Фокс боролся  с вынужденным бездельем во время  выздоровления после болезни, и, раскладывая пасьянсы, задался вопросом, какова вероятность того, что пасьянс «сложится». Ему в голову пришла идея, что вместо того, чтобы использовать обычные для подобных задач соображения комбинаторики, можно просто поставить «эксперимент» большое число раз и, таким образом, подсчитав число удачных исходов, оценить их вероятность. Он же предложил использовать компьютеры для расчётов методом Монте-Карло.

       Появление первых электронных компьютеров, которые могли с большой скоростью генерировать псевдослучайные числа, резко расширило круг задач, для решения которых стохастический подход оказался более эффективным, чем другие математические методы. После этого произошёл большой прорыв и метод Монте-Карло применялся во многих задачах, однако его использование не всегда было оправдано из-за большого количества вычислений, необходимых для получения ответа с заданной точностью.

       Годом рождения метода Монте-Карло считается 1949 год, когда в свет выходит статья Метрополиса и Улама «Метод Монте-Карло». Название метода происходит от названия коммуны в княжестве Монако, широко известного своими многочисленными казино, поскольку именно рулетка является одним из самых широко известных генераторов случайных чисел. Станислав Улам пишет в своей автобиографии «Приключения математика», что название было предложено Николасом Метрополисом в честь его дяди, который был азартным игроком. 
 

       Обычный алгоритм Монте-Карло  интегрирования

Предположим, требуется  вычислить определённый интеграл 

Рассмотрим случайную  величину  , равномерно распределённую на отрезке интегрирования  . Тогда   так же будет случайной величиной, причём её математическое ожидание выражается как 
, где   — плотность распределения случайной величины  , равная   на участке  .

Таким образом, искомый интеграл выражается как 
.

Но матожидание  случайной величины   можно легко оценить, смоделировав эту случайную величину и посчитав выборочное среднее.

Итак, бросаем   точек, равномерно распределённых на  , для каждой точки   вычисляем  . Затем вычисляем выборочное среднее:  .

В итоге получаем оценку интеграла: 

Точность оценки зависит только от количества точек  .

Этот метод  имеет и геометрическую интерпретацию. Он очень похож на описанный выше детерминистический метод, с той  разницей, что вместо равномерного разделения области интегрирования на маленькие интервалы и суммирования площадей получившихся «столбиков»  мы забрасываем область интегрирования случайными точками, на каждой из которых  строим такой же «столбик», определяя  его ширину как  , и суммируем их площади. 

     Интегрирование  методом Монте-Карло

Предположим, необходимо взять интеграл от некоторой  функции. Воспользуемся неформальным геометрическим описанием интеграла и будем понимать его как площадь под графиком этой функции.

     Для определения этой площади можно  воспользоваться одним из обычных численных методов интегрирования: разбить отрезок на подотрезки, подсчитать площадь под графиком функции на каждом из них и сложить. Предположим, что для функции, представленной на рисунке 1, достаточно разбиения на 25 отрезков и, следовательно, вычисления 25 значений функции. Представим теперь, мы имеем дело с n-мерной функцией. Тогда нам необходимо 25ⁿ отрезков и столько же вычислений значения функции. При размерности функции больше 10 задача становится огромной. Поскольку пространства большой размерности встречаются, в частности, в задачах теории струн, а также многих других физических задачах, где имеются системы со многими степенями свободы, необходимо иметь метод решения, вычислительная сложность которого бы не столь сильно зависела от размерности. Именно таким свойством обладает метод Монте-Карло.

       Рисунок 1. Численное интегрирование функции детерминистическим методом 
 
 
 
 

       Геометрический  алгоритм Монте-Карло  интегрирования

       Рисунок 2. Численное интегрирование функции методом Монте-Карло

       Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий  стохастический алгоритм:

• ограничим функцию прямоугольником (n-мерным параллелепипедом в случае многих измерений), площадь которого S_par можно легко вычислить;
• «набросаем» в этот прямоугольник (параллелепипед) некоторое количество точек (N штук), координаты которых будем выбирать случайным образом;
• определим число точек (K штук), которые попадут под график функции;
• площадь области, ограниченной функцией и осями координат, S даётся выражением 

       Для малого числа измерений интегрируемой  функции производительность Монте-Карло  интегрирования гораздо ниже, чем  производительность детерминированных  методов. Тем не менее, в некоторых  случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более  предпочтительным. 
 
 
 
 
 

       Прямое  моделирование методом  Монте-Карло

       Прямое  моделирование методом Монте-Карло  какого-либо физического процесса подразумевает  моделирование поведения отдельных  элементарных частей физической системы. По сути это прямое моделирование  близко к решению задачи из первых принципов, однако обычно для ускорения расчётов допускается применение каких-либо физических приближений. Примером могут служить расчёты различных процессов методом молекулярной динамики: с одной стороны система описывается через поведение её элементарных составных частей, с другой стороны, используемый потенциал взаимодействия зачастую является эмпирическим.

       Примеры прямого моделирования методом  Монте-Карло:

• Моделирование облучения твёрдых тел ионами в приближении бинарных столкновений.
• Прямое Монте-Карло моделирование разреженных газов.
• Большинство кинетических Монте-Карло моделей относятся к числу прямых (в частности, исследование молекулярно-пучковой эпитаксии).

       Поскольку разреженный газ -- это газ, в котором вероятность двойных столкновений много больше чем вероятность столкновений высокого порядка (тройных и т.д.), то метод применим для описания течений газа в свободно-молекулярном, переходном и континуальном режимах. Например, воздух удовлетворяет условию разреженности вплоть до давления в сотни атмосфер. Режим течения обычно определяется через число Кнудсена Kn.

Другое ограничение  на применимость метода связано с  нарушением условия о молекулярном хаосе, которое используется при  выводе уравнения Больцмана. Возникновение  статистической зависимости между  моделирующими молекулами приводит необходимости увеличения числа  моделирующих молекул. Для течений  в около-континуальном режиме (Kn < 0.01) этот фактор вынуждает использовать параллельные вычислительные системы

В настоящее  время метод прямого статистического  моделирования Монте-Карло применяется  для исследования течений таких  разных масштабов как обтекание  космических шатлов при входе  в атмосферу Земли и течение  газа внутри нано-устройств. 
 

       Применение  метода Монте-Карло

Обычно метод  Монте-Карло реализуют в виде программы на универсальной ЭВМ. Ранее применялись механич. устройства, ныне всё чаще используют спец. моделирующие устройства с применением микропроцессоров. С помощью таких устройств  получен ряд результатов в  статистич. физике и квантовой теории поля.

Для реализации случайной величины в традиционно  используют датчики, генерирующие случайную  последовательность чисел, равномерно распределённых на интервале (0,1). Различают  три типа случайных чисел. Истинно  случайные числа можно вырабатывать, напр., преобразуя случайные сигналы  от радиоактивного источника или  от шумового диода. Таким способом можно  достаточно быстро получать большие  последовательности некоррелированных  случайных чисел. В расчётах на ЭВМ  используют псевдослучайные числа, полученные с помощью некоторого алгоритма. Назначение такого алгоритма - генерировать числа, которые похожи на случайные, хотя, строго говоря, они  детерминированы. Необходимы спец. исследования и тесты, чтобы убедиться в  достаточной случайности таких  чисел (равномерность распределения, отсутствие корреляций и пр.). Квазислучайные числа также получают при помощи нек-рого алгоритма, причём в основу алгоритма закладывают требование равномерного заполнения точками заданного  многомерного объёма. Известен ряд  алгоритмов, дающих точки, распределённые в гиперкубе более равномерно, чем случайные и псевдослучайные. Следствием лучшей равномерности является более быстрая сходимость результата. Использование M.-К. м. в физике базируется гл. обр. на возможности его применения для вычисления интегралов, решения  интегральных ур-ний и др.