Матричные игры

Лабораторная  работа № 6.

Тема: Матричные игры.

Цель: Знакомство с матричными играми.

План:

      1. Краткая теория.

      2. Задания на лабораторную работу.

      3. Контрольные вопросы.

1. Краткая теория.

      В процессе целенаправленной человеческой деятельности возникают ситуации, в которых интересы отдельных лиц либо противоположны, либо, будучи непримиримыми, все же не совпадают. Простейшими примерами таких ситуаций являются спортивные игры, военные учения и др. каждый из участников сознательно стремится добиться наилучшего результата за счет другого участника.

      Методы  и рекомендации теории игр разрабатываются  применительно к таким специфическим  конфликтным ситуациям, которые  обладают свойством многократной повторяемости.

      Игрой называется упрощенная модель конфликтной  ситуации, отличающееся от реального конфликта тем, что ведется по определенным правилам. Исход игры – это значение некоторой функции, называемой функцией выигрыша, которая может задаваться аналитически или таблично (матрицей). Игра, в которой выигрыши и проигрыши игроков задаются матрицей, называется матричной.

      Игра, в которой общий капитал игроков  не меняется в ходе игры, называется игрой с нулевой суммой.

Рассмотрим  конечную игру двух игроков и . Пусть игрок выбрал одну из своих возможных стратегий ( ), а игрок , не зная выбора игрока , выбрал стратегию ( ). Выигрыш игрока и выигрыш игрока в результате выбора стратегий удовлетворяют соотношению .

      Предположим, что значения известны при каждой паре стратегий. Занесем эти значения в платежную матрицу:

Строки  в данной матрице отвечают это  стратегии игрока , столбцы - стратеги игрока .

      Цель  игрока - максимизировать свой выигрыш, а игрока - минимизировать свой проигрыш.

      Число называется нижней ценой игры (максимином) а соответствующая стратегия называется максиминой стратегией. Придерживаясь данной стратегии игроку будет гарантирован выигрыш не меньше при любом поведении игрока .

      Число называется верхней ценой игры (минимаксом), а соответствующая стратегия называется минимаксная стратегия. При ее выборе игрок в любом случае проиграет не больше .

      Можно доказать, что    

      .                                                              

 Существуют игры, для которых . Такие игры называются играми с седловой точкой. Общее значение нижней и верхней цены игры в играх с седловой точкой называется чистой ценой игры , а стратегии и , позволяющие достичь этого значения – оптимальными чистыми стратегиями.

      Для игр без Седловых точек оптимальные  стратегии игроков находятся  в области смешанных стратегий.

      Смешанной стратегией игрока называется вектор , компоненты которого   , ,  .            

      Смешанной стратегией игрока называется вектор , компоненты которого   , ,  . 

      Величины  и являются вероятностями, с которыми игрок и игрок выбирают свои чистые стратегии и .

      Оптимальные смешанные стратегии  и игроков и могут быть найдены в результате решения пары двойственных задач линейного программирования:

для игрока                                                                      

         ,

       , ,                                                                                                                                        

   ,

       , , .

для игрока

      

       , ,

      , .

1.2. Игры с природой.

      В некоторых задачах, приводящихся к  играм, имеется неопределенность, вызванная отсутствием информации об условиях, в которых осуществляется действие (погода, покупательский спрос и т.д.). эти условия зависят не от сознательных действий другого игрока, а от объективной действительности. Такие игры называются играми с природой. Человек в играх с природой старается действовать осмотрительно, второй игрок (природа) действует случайно.

      Имеется ряд критериев, которые используются при выборе оптимальной стратегии.

Максимальный  критерий Вальда. Критерий крайнего пессимизма. Здесь в качестве оптимальной стратегии рекомендуется выбирать ту, которая гарантирует в наихудших условиях максимальный выигрыш:

      .                                                                                           

Критерий  Сэвиджа (минимаксного риска). Согласно этому критерию, рекомендуется выбирать ту стратегию, при которой в наихудших условиях величина риска принимает наименьшее значение:

       ,

где -матрица рисков, а .                                                                                             

Критерий  Гурвица.

       , где .

- выбирается на основании субъективных соображений (опыта, здравого смысла и т.д.).

    2. Задания на лабораторную работу.

1) Симплекс-методом  найти решение игры, заданной  матрицей.

Вариант 1.                  Вариант 2.                           Вариант 3.

                        

  
 
 
 
 

Вариант 4.                  Вариант 5.                     Вариант 6.

                        

Вариант 7.                  Вариант 8.                           Вариант 9.

                        

Вариант 10.                 Вариант 11.                        Вариант 12.

                 

2) Решить  игру с природой по различным  критериям.

     Вариант 1.

Фирма производит пользующиеся спросом платья и костюмы, реализация которых зависит  от состояния погоды. Затраты фирмы  на 1 платье – 7 ден. ед., 1 костюма – 28 ден. ед. Цены их реализации составляют 15 и 50 ден. ед. соответственно. По данным наблюдений за несколько предыдущих лет, фирма может реализовать в условиях теплой погоды 1950 платьев и 610 костюмов, а при прохладной погоде – 630 платьев и 1050 костюмов. В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию фирмы, обеспечивающую ей максимальный доход от реализации продукции.

      Вариант 2.

Фирма выпускает два вида скоропортящихся  продуктов  и . Ежедневные расходы на производство и реализацию продуктов не должно превышать 4000 ден. ед. Перед экономической службой фирмы поставлена задача по определению ежедневного объема производства каждого вида продукции с целью получения наибольшей прибыли. Проведенные исследования показали, что себестоимость единицы продукции  -0.8 ден. ед., отпускная цена – 1.2 ден.ед., себестоимость единицы продукции - 0.5 ден. ед., а отпускная цена – 0.8 ден.ед. Если продукция не реализуется в день выпуска, то ее качества значительно снижаются, и она продается по цене, в 4 раза меньше отпускной. Реализация продукции зависит от состояния погоды: в хорошую году реализуется 1000 штук и 6000 штук , в плохую – 4000 штук и 1200 штук . На реализацию всей произведенной в день продукции расходуется 200 ден. ед. 

      Вариант 3.

Предприятие специализируется на выпуске кефира. Кефир разливается в пакеты, определенное количество которых складывается в ящике и реализуется в розницу. Предприятие должно решить, сколько ящиков кефира следует производить ежедневно. Вероятности того, что спрос на кефир в течение дня будет 5, 6, 7 и 8 ящиков, равны, соответственно: 0.2, 0.3, 0.4 и 0.1. затраты на производство одного ящика с пакетами кефира – 100 руб., цена продажи – 200 руб. если кефир в течение дня не продается, то он портится и предприятие не получает дохода. Сколько ящиков с кефиром следует производить предприятию, чтобы получить наибольший доход?

      Вариант 4.

Объединение «Станкоэкспорт» ведет переговоры с одной из зарубежных фирм о продаже  станков. Объединение в ходе переговоров  стремится повысить эффективность  заключаемого соглашения и для достижения цели может воспользоваться четырьмя возможными стратегиями , , и . Фирма имеет возможность применить три стратегии , и , позволяющие снизить эффективность соглашения для объединения. Прибыль объединения при возможных его стратегиях поведения и представлены в таблице

Найти оптимальную стратегию объединения.

      Вариант 5.

Сельскохозяйственное  предприятие планирует выращивать капусту на одном из участков земли. На урожайность влияют погодные условия  и количество внесенных удобрений. Лето может быть сухое - , нормальное - и влажное . Сельскохозяйственное предприятие может внести на 1 га количество удобрений, соответствующее норме , больше нормы - и меньше нормы - . Требуется определить, какое количество удобрений внести на 1 га посева, чтобы получить наибольшую прибыль при самых неблагоприятных погодных условиях. Предприятие рассчитало прибыль в зависимости от погодных условий и возможных своих стратегий по внесению удобрений. Все данные расчетов приведены в таблице.