Математическое моделирование

 

Продолжение таблицы 11

№	Х1	Х2	Х3
1	-1	-1	-1	445,7	445,7	445,7	445,7
2	+1	-1	-1	446,3	-446,3	-446,3	446,3
3	-1	+1	-1	346,3	-346,3	346,3	-346,3
4	+1	+1	-1	342,7	342,7	-342,7	-342,7
5	-1	-1	+1	473,3	473,3	-473,3	-473,3
6	+1	-1	+1	476,0	-476,0	476,0	-476,0
7	-1	+1	+1	370,3	-370,3	-370,3	370,3
8	+1	+1	+1	371,7	371,7	371,7	371,7
9	-1	0	0	323,7	0,0	0,0	0,0
10	+1	0	0	325,7	0,0	0,0	0,0
11	0	-1	0	413,7	0,0	0,0	0,0
12	0	+1	0	314,3	0,0	0,0	0,0
13	0	0	-1	334,0	0,0	0,0	0,0
14	0	0	+1	363,3	0,0	0,0	0,0
		1		5347,0	-5,7	7,0	-4,3

 

Коэффициенты  регрессии определяем по формулам:

где ki – коэффициенты, зависящие от количества опытов в  плане и количества параметров в  регрессионной модели.

Используя данные таблицы 11, получаем:

С целью проверки значимости коэффициентов регрессии определяем оценки их дисперсии:

 

Для каждого  коэффициента регрессии вычисляем  значение критерия Стьюдента:

Критическое значение критерия Стьюдента определенное при уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν=n(g-1)=14(3-1)=28 составляет tкрит=2,05. Коэффициенты регрессии а13,а1,а12 и а23 для которых выполняется условие |t|<tкрит считаем незначимыми и удаляем из регрессионной модели первоначальной структуры без пересчета оставшихся коэффициентов. Таким образом, новая структура регрессионной модели имеет вид:

Определяем  среднее значение отклика:

Для проверки адекватности и работоспособности регрессионной модели строим вспомогательную таблицу 12.

Таблица 12

№
1	445,7	445,9	4096,0	4066,2	0,1
2	446,3	445,9	4096,0	4151,7	0,2
3	346,3	343,9	1444,0	1265,0	5,9
4	342,7	343,9	1444,0	1539,3	1,5
5	473,3	473,9	8464,0	8360,1	0,3
6	476,0	473,9	8464,0	8854,8	4,4
7	370,3	371,9	100,0	133,8	2,5
8	371,7	371,9	100,0	104,7	0,1
9	323,7	324,6	3283,3	3391,1	0,9
10	325,7	324,6	3283,3	3162,2	1,1
11	413,7	414,9	1089,0	1009,1	1,5
12	314,3	312,9	4761,0	4565,3	2,1
13	334,0	334,6	2237,3	2294,4	0,4
14	363,3	362,6	372,5	344,7	0,5
	5347,0	5345,4	43234,4	43242,3	21,4

Определяем  остаточную дисперсию:

.

где k – количество значимых коэффициентов регрессии, yi - оценка отклика

в i-м опыте.

Проверку адекватности регрессионной модели выполняем  по критерию

Фишера:

Критическое значение критерия Фишера, определенное при  уровне значимости α=0,05 и числах степеней свободы ν1=n-k=14-6=8 и ν2=n(g-1)= 14(3-1)=28 составляет Fкр=2,27. Поскольку F<Fкр регрессионная модель является адекватной.

Проверку работоспособности  регрессионной модели выполняем  по коэффициенту детерминации:

Поскольку R²≥0,75 регрессионная модель является работоспособной.

Ответ: Данные, приведенные в таблице 3, описываются  следующей регрессионной моделью:

 

Задача 4. Методом  наискорейшего спуска найти минимум  функции

 Начало поиска осуществить из точки с координатами x1=0, x2=0 и x3=0. Шаг поиска равен 0,1.

Решение. Поиск  минимума функции у осуществляем в антиградиентном направлении. На каждом шаге координаты очередной  точки поиска вычисляем в соответствии с зависимостью:

где xk +1, xk - векторы координат точек на k+1 и k-ом шаге поиска соответственно; hk – величина k-го шага поиска; - единичный вектор направления поиска из k-ой точки.

Единичный вектор направления поиска:

, где  - вектор градиента и модуль вектора градиента функции у, вычисленные в k-ой точке поиска.

Определяем  вектор градиента и модуль вектора  градиента функции у:

Вычисляем значения вектора градиента, модуля вектора  градиента и

вектора направления  поиска для начальной точки =(0, 0, 0):

Вычисляем координаты второй точки поиска:

Аналогично  вычисляем координаты и значения целевой функции в последующих  точках. Результаты вычислений сводим в таблицу 13.

 

 

 

Таблица 13.

№	Х1	Х2	Х3	у
1	0,00	0,00	0,00	314,10
2	0,00	0,10	-0,03	309,30
3	0,00	0,19	-0,05	305,47
4	0,00	0,29	-0,08	302,62
5	0,00	0,39	-0,11	300,74
6	0,00	0,48	-0,13	299,84
7	0,00	0,58	-0,16	299,91

 

На 6-том шаге поиска выполнилось условие y7>y6, что говорит о достижении в точке х6 частного минимума функции у в направлении поиска заданного вектором . Вычисляем значения вектора градиента, модуля вектора градиента и вектора направления поиска для 6-той точки x6=(0,0;0,58;-0,16).

Вычисляем координаты новой 7-той точки поиска:

Аналогично  вычисляем координаты и значения целевой функции в последующих  точках. Результаты вычислений сводим в таблицу 14.

Таблица14.

№	Х1	Х2	Х3	у
7	0,00	0,53	-0,22	299,65
8	0,00	0,59	-0,30	300,24

На 7-том шаге поиска выполнилось условие y8>y7, что говорит о достижении в точке х7 частного минимума функции у в направлении поиска заданного вектором . Вычисляем значения вектора градиента, модуля вектора градиента и вектора направления поиска для 7-той точки x7=(0,0;0,53;-0,22).

Вычисляем координаты новой 12-той точки поиска:

Поскольку y8>y7 минимум функции у находится в окрестности точки

х7=(0,0;0,53;-0,22).

Ответ: минимум функции y находится в окрестности точки  с координатами

х1=-0,0, х2=0,53 и х3=--0,22.