Математическое моделирование

 

 

Используя данные таблицы 5, определяем коэффициенты регрессии:

 

С целью проверки значимости коэффициентов регрессии  определяем оценку их дисперсии:

Для каждого коэффициента регрессии вычисляем значение критерия Стьюдента:

Критическое значение критерия Стьюдента определенное при  уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν=n(g-1)=16(3-1)=32 составляет tкрит=2,04. Коэффициенты регрессии  а₁₄, а₂₃, а₃₄, а₃₅, а₁₃ для которых выполняется условие |t|<tкрит считаем незначимыми и удаляем из регрессионной модели первоначальной структуры. Таким образом, новая структура регрессионной модели имеет вид:

=250,6-10,1х₁+14,8х₂-19,1х₃+10,5х₄-14,3х₅+20,3х₆-1,4х₃х₆

Определяем  среднее значение отклика:

Для проверки адекватности и работоспособности регрессионной  модели строим вспомогательную таблицу 6.

Таблица 6

№
1	218,0	218,9	1004,9	1062,8	0,8
2	270,7	270,7	404,0	402,7	0,0
3	321,0	319,7	4774,8	4956,2	1,7
4	225,3	227,5	533,6	638,4	4,7
5	185,0	183,5	4502,4	4303,4	2,3
6	226,0	229,7	436,8	605,2	13,7
7	280,7	278,7	789,6	904,0	3,9
8	194,0	192,1	3422,3	3203,6	3,6
9	280,3	283,3	1069,3	884,1	8,8
10	251,3	248,3	5,3	0,5	9,2
11	297,7	297,3	2180,9	2215,3	0,1
12	293,3	291,9	1705,7	1826,1	2,1
13	243,3	242,3	68,9	52,8	1,1
14	212,0	212,9	1421,3	1490,0	0,8
15	259,7	261,9	127,7	82,2	5,0
16	251,7	250,9	0,1	1,1	0,6
	4010,0	4009,6	22447,5	22628,2	58,3

Определяем  остаточную дисперсию:

.

где k – количество значимых коэффициентов регрессии, yi - оценка отклика

в i-м опыте.

Проверку адекватности регрессионной  модели выполняем по критерию

Фишера:

Критическое значение критерия Фишера, определенное при  уровне значимости α=0,05 и числах степеней свободы ν1=n-k=16-7=9 и ν2=n(g-1)= 16(3-1)=32 составляет Fкр=2,36. Поскольку F<Fкр регрессионная модель является адекватной.

Проверку работоспособности  регрессионной модели выполняем  по коэффициенту детерминации:

Поскольку R²≥0,75 регрессионная модель является работоспособной.

Ответ: Данные, приведенные в таблице 3, описываются  следующей регрессионной моделью:

=250,6-10,1х₁+14,8х₂-19,1х₃+10,5х₄-14,3х₅+20,3х₆-1,4х₃х₆

 

 Задача 3. Построить  композиционный план типа В₃ с ядром в виде полного факторного плана типа 2³. Определить вид регрессионной модели, параметры которой можно оценить по построенному плану. Провести регрессионный анализ данных, заданных значениями факторов согласно построенному плану и значениями отклика, приведенными в таблице 7.

 

 

Таблица 7

Номер опыта	Значения отклика
	У1	У2	У3
1	443	448	446
2	446	448	445
3	345	345	349
4	340	344	344
5	477	474	469
6	480	475	473
7	370	372	369
8	373	371	371
9	322	325	324
10	322	329	326
11	414	414	413
12	314	315	314
13	335	334	333
14	366	363	361

Решение. Для  трех факторов строим полный факторный  план типа 2³,содержащий n=2³=8 опытов, который дополняем 2m=2*3=6 “звездными” точками. Композиционный план типа В³ с ядром в виде полного факторного плана типа 2³ представлен в таблице 8.

Таблица 8

№	Х1	Х2	Х3
1	-1	-1	-1
2	+1	-1	-1
3	-1	+1	-1
4	+1	+1	-1
5	-1	-1	+1
6	+1	-1	+1
7	-1	+1	+1
8	+1	+1	+1
9	-1	0	0
10	+1	0	0
11	0	-1	0
12	0	+1	0
13	0	0	-1
14	0	0	+1

Регрессионная модель, параметры которой можно  оценить по построенному плану, имеет вид:

у=а₀+а₁х₁+а₂х₂+а₃х₃+а₁₁х₁²+а₁₂х₁х₂+а₁₃х₁х₃+а₂₂х₂²+а₂₃х₂х₃+а₃₃х₃²

Данные, заданные значениями факторов и значениями отклика, представлены в таблице 9.

Таблица 9

Номер опыта	Значения факторов			Значения отклика
	Х1	Х2	Х3	У1	У2	У3
1	-1	-1	-1	443	448	446
2	+1	-1	-1	446	448	445
3	-1	+1	-1	345	345	349
4	+1	+1	-1	340	344	344
5	-1	-1	+1	477	474	469
6	+1	-1	+1	480	475	473
7	-1	+1	+1	370	372	369
8	+1	+1	+1	373	371	371
9	-1	0	0	322	325	324
10	+1	0	0	322	329	326
11	0	-1	0	414	414	413
12	0	+1	0	314	315	314
13	0	0	-1	335	334	333
14	0	0	+1	366	363	361

. Определяем  среднее значение отклика в  i-й серии дублирующих опытов:

где yij – значение отклика в j-м опыте i-й серии  дублирующих опытов; g – количество дублирующих опытов.

Находим оценку дисперсии отклика в i-й серии  дублирующих опытов:

 

где n – количество опытов в плане эксперимента.

Результаты  вычислений представлены в таблице 10.

Таблица10.

Дисперсия и среднее  значение отклика в сериях опыта.

Номер опыта	у1	у2	у3
1	443	448	446	445,7	4,2
2	446	448	445	446,3	1,6
3	345	345	349	346,3	3,6
4	340	344	344	342,7	3,6
5	477	474	469	473,3	10,9
6	480	475	473	476,0	8,7
7	370	372	369	370,3	1,6
8	373	371	371	371,7	0,9
9	322	325	324	323,7	1,6
10	322	329	326	325,7	8,2
11	414	414	413	413,7	0,2
12	314	315	314	314,3	0,2
13	335	334	333	334,0	0,7
14	366	363	361	363,3	4,2
				5347,0	50,0

 

Проверку однородности дисперсий выполняем по критерию Кочрена:

Критическое значение критерия Кохрена при уровне значимости α=0,05 и числах степеней свободы ν₁=g-1=3-1=2 и ν₂=n=14 составляет Gкрит=0,335. Поскольку выполняется условие G< Gкрит ряд дисперсий можно считать однородным. Определяем оценку дисперсии отклика:

Для расчета  коэффициентов регрессии составляем вспомогательную таблицу11.

 

Таблица 11.

№	Х1	Х2	Х3
1	-1	-1	-1	445,7	-445,7	-445,7	-445,7	445,7	445,7	445,7
2	+1	-1	-1	446,3	446,3	-446,3	-446,3	446,3	446,3	446,3
3	-1	+1	-1	346,3	-346,3	346,3	-346,3	346,3	346,3	346,3
4	+1	+1	-1	342,7	342,7	342,7	-342,7	342,7	342,7	342,7
5	-1	-1	+1	473,3	-473,3	-473,3	473,3	473,3	473,3	473,3
6	+1	-1	+1	476,0	476,0	-476,0	476,0	476,0	476,0	476,0
7	-1	+1	+1	370,3	-370,3	370,3	370,3	370,3	370,3	370,3
8	+1	+1	+1	371,7	371,7	371,7	371,7	371,7	371,7	371,7
9	-1	0	0	323,7	-323,7	0,0	0,0	323,7	0,0	0,0
10	+1	0	0	325,7	325,7	0,0	0,0	325,7	0,0	0,0
11	0	-1	0	413,7	0,0	-413,7	0,0	0,0	413,7	0,0
12	0	+1	0	314,3	0,0	314,3	0,0	0,0	314,3	0,0
13	0	0	-1	334,0	0,0	0,0	-334,0	0,0	0,0	334,0
14	0	0	+1	363,3	0,0	0,0	363,3	0,0	0,0	363,3
		1		5347,0	3,0	-509,7	139,7	3921,7	4000,3	3969,7