Лекальные кривые

Лекальной называют кривую, которую нельзя построить  с помощью циркуля. Ее строят по точкам с помощью специального инструмента, называемого лекалом. К лекальным  кривым относятся эллипс, парабола, гипербола, спираль Архимеда и др.  

    Лекальные  кривые можно разделить на закономерные и незакономерные.  

    Закономерными  называют кривые, которые можно  задать алгебраическим выражением. Незакономерные кривые нельзя  задать алгебраическим выражением.  

    Среди  закономерных кривых наибольший  интерес для инженерной графики представляют кривые второго порядка: эллипс, парабола и гипербола, с помощью которых образуются поверхности, ограничивающие технические детали.

 

                                                    Эллипс 

    Эллипс - кривая второго порядка, сумма расстояний от любой точки которой до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная большой оси эллипса. 

                        

                                              Рис. 2.8 

Один из вариантов  построения эллипса по большой оси АВ и двум фокусам F1 и F2 приведен на рис.2.8. На большой оси эллипса откладываем произвольный отрезок АК, но больший отрезка AF1. Радиусом r1 = АК проводим окружности с центрами F1 и F2. Затем радиусом r2 = ВК проводим окружности, также с центрами F1 и F2. Точки 1, 2, 3, 4 пересечения больших и малых окружностей принадлежат эллипсу, так как они удовлетворяют определению эллипса.  

    Аналогично  строим необходимое число точек.  Точки, принадлежащие малой оси  эллипса, находим с помощью окружности радиуса R = ОА.

                            

                                                 Рис. 2.9. 

Другой вариант  построения эллипса по двум осям разобран на рис.2.9. При построении проводим окружности радиусами r и R из одного центра О и произвольную секущую ОА. Из точек пересечения 1 и 2 проводим прямые, параллельные осям эллипса. На их пересечении отмечаем точку М эллипса. Остальные точки строим аналогично.  

                                                        Парабола 

    Парабола - кривая второго порядка, расстояние от любой точки которой до фокуса равно расстоянию от этой точки до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. 

                                

                                               Рис. 2.10.

 

На рис.2.10 приведен пример построения параболы по директрисе 1 и фокусу F. Вершина параболы (точка  А) находится на середине отрезка OF. Далее от точки О вдоль оси  параболы откладываем произвольный отрезок ОК, который должен быть больше ОА. Через точку К проводим прямую а, перпендикулярную оси параболы. Из фокуса радиусом r = ОК строим окружность. Точки 1 и 2 пересечения окружности и прямой а принадлежат параболе. Аналогично строим необходимое количество точек. 
 

                                                    Гипербола 

   Гипербола  - кривая второго порядка, разность  расстояний от любой точки  которой до двух фокусов есть  величина постоянная, равная действительной  оси гиперболы. Вдоль действительной  оси расположены ветви гиперболы

                              

                                  

                                                  Рис. 2.11. 

Гиперболу по величине действительной оси и двум фокусам  строим в следующей последовательности (рис.2.11). На оси гиперболы откладываем  произвольный отрезок АК. Проводим две окружности с центрами в F1 и F2 радиусом r1 = АК и две окружности радиусом r2 = ВК. Точки 1, 2, 3, 4 пересечения окружностей принадлежат гиперболе.  

    Гипербола  - кривая, имеющая асимптоты, которые  проходят через точку О и  точки 5 и 6. Точки 5 и 6 находим на пересечении прямых, проведенных через вершины гиперболы перпендикулярно к оси, и окружности с центром О, проведенной через фокусы. 

                                              Спираль Архимеда 

Спираль Архимеда – плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно-поступательно от центра О по равномерно вращающемуся радиусу (рисунок 5.11). 

Для построения спирали Архимеда задается шаг спирали  – а, и центр О. Из центра О описывают  окружность радиусом Р = а. Делят окружность на несколько равных частей, например, на восемь (точки 11 21, …, 81). На столько же частей делят отрезок О81 ( точки 1, 2, …, 8 ). Из центра О радиусами О1, О2, и т.д. проводят дуги окружности, точки А1, А2, … пересечения которых с соответствующими радиусами-векторами принадлежат спирали, так , например дуга, проведенная через точку 3, пересекается с радиусом-вектором, проходящим через точку 31, в точке А3, принадлежащей спирали.

 

                                              Рис. 5.11 

                                                       Циклоида 

Циклоида –  траектория (путь) точки К, лежащей  на окружности, которая катится без  скольжения по прямой MN (рисунок 5.6). 

Для ее построения (рисунок 5.7) из центра О проводят окружность, заданного диаметра и делят ее на несколько равных частей, например на двенадцать. Откладывают вправо от точки К по оси Х отрезок КК12, равный длине окружности, и делят отложенный отрезок также на двенадцать равных частей ( 11, 21, 31, … 121 ) . Из точек деления отрезка КК12, проводят линии, параллельные оси OY , а из точек 1, 2, 3, … 11 деления окружности - линии, параллельные оси ОХ.  

До начала перекатывания  производящей окружности по прямой КК12 точка находится непосредственно  под центром окружности. После  того как окружность перекатится  вправо на одно деление, ее центр переместится из точки О в точку 10 и окажется над точкой 11, а исходная точка К, перекатившись на 1/12 часть окружности, поднимается на одно деление вверх и займет положение, отмеченное точкой К1. После того как окружность перекатится на два деления , ее центр разместится в точке 20 над точкой 21, а точка К займет положение, отмеченное точкой К2, и т.д. 

Таким образом, для построения циклоиды из каждого  нового положения центра перемещающейся окружности, т.е. из точек 10, 20, …, 120 следует описать дугу до пересечения ее с соответствующей линией, проведенной параллельно оси ОХ через точки деления перекатывающейся окружности. В результате получим точки К1, К2, … К12, принадлежащие циклоиде. Эти точки следует соединить плавной линией по лекалу. 

В качестве примера  можно указать на применение циклоиды при вычерчивании контура профиля  зубьев некоторых видов реек.

                                               Рис. 5.6

 

                                                Рис. 5.7

                                           Синусоида 

Синусоида –  плоская кривая выражающая закон  изменения синуса угла в зависимости  от изменения величины угла. 

Величина называется амплитудой синусоиды; в задании это – длиной волны или периодом синусоиды. Длина волны синусоиды равна 2Р. 

Для построения синусоиды проводят горизонтальную ось и на ней откладывают заданную длину волны АА12 (рис. 5.8). Отрезок  АА12 делят на несколько равных частей, например на 12. Слева вычерчивают окружность радиуса, который равен величине амплитуды, и делят ее на 12 равных частей, точки деления нумеруют и через них проводят горизонтально прямые. Из точек деления отрезка АА12 восстанавливают перпендикуляры к оси синусоиды и на них пересечении с горизонтальными прямыми точки синусоиды. Полученные точки синусоиды А1, А2, А3,…, А12 соединяют по лекалу кривой. 

 

                                                  Рис. 5.8 

                                               Эвольвента 

Эвольвентой окружности называется траектория, описываемая  каждой точкой прямой линии, перекатываемой по окружности без скольжения.

Для построения эвольвенты рисунок 5.11, заданную окружность диаметра делят на 12 равных частей, которые нумеруются 1, 2, 3, …, 12. Из конечной точки 8 проводят касательную к окружности и на ней откладывают длину окружности, равную pD. Из точек деления окружности 1, 2, 3, …, 12 проводят касательные, направленные в одну сторону, и на них откладывают отрезки прямых. На первой касательной один отрезок равный ??, на второй – два, на третьей – три и т.д., получают ряд точек, которые соединяют по лекалу. 
 

                           

                                                Рис. 5.10 
 

           

                          

                                                  Рис. 5.11 

                                               Эпициклоида 

Эпициклоидой  называется кривая, которую описывает  точка круга, перекатывающегося  без скольжения по направляющему  кругу.

Пусть образующий круг диаметра d перекатывается по направляющему кругу диаметра D. Пусть точка а, лежащая на радиусе Oa, будет производящей (фиг. 108).

Построение точек  эпициклоиды подобно построению циклоиды. При качении производящая точка опишет цикл кривой и после одного оборота круга переместится из точки а в точку 12, удалившись от первоначального положения по дуге направляющего круга на ?d.

В практике откладывают  дугу путём построения в центре О  угла а, равного 360° d/D.

Для определения  промежуточных положений производящей точки делят образующий круг и дугу направляющего круга, соответственно углу ?, на 12 равных частей. Затем из центра О0 через точки деления образующего круга проводят концентрические дуги возвышения производящей точки, а через точки деления направляющего круга—лучи.

Пересечение лучей  с линией центров определит двенадцать последовательных положений центра образующей круга. Как и в циклоиде, при перемещении образующего  круга на 1/12 цикла, произойдёт перемещение  его центра из О в О1 которому будет соответствовать первое положение производящей точки на дуге возвышения, отмеченное точкой 1. Если центр образующего круга переместится ещё на 1/12 своего пути и станет в точку 02, то образующий круг пройдёт путь а—2, равный длине дуги (2/12)?d направляющему кругу, а производящая точка займёт положение, отмеченное точкой 2'—на пересечении дуги, проведённой из центра 02 радиусом d/2, со второй дугой возвышения.

Производя такие  же построения для последующих положений  центра, определяют соответствующие  положения производящей точки, а следовательно, и кривую—эпициклоиду. 

                          

Если образующий круг будет перемещаться и дальше по направляющему, то производящая точка  опишет ещё одну эпициклоиду.

В рассмотренном  примере приведено построение эпициклоиды для соотношения диаметров образующего и направляющего кругов, равных

d/D=1/2. В этом  случае производящая точка а  после второго цикла

займёт своё исходное положение. 

Гипоциклоидой называется кривая, которую описывает  производящая точка, лежащая на образующем круге, катя­щемся без скольжения, внутри другого круга, называемого направляющим. 

Построение точек  гипоциклоиды производится тем же способом, что и эпициклоиды (фиг. 109). 

                                              Гипоциклоида 

Гипоциклоидой называют кривую, которую описывает точка производящей окружности при качении ее без скольжения внутри направляющей окружности (фиг. 49, а). Центральный угол а определяют по той же формуле, что и для эпициклоиды. Так же производят и построение точек. По дуге направляющей окружности АВ откладывают двенадцатые части длины производящей окружности, т. е. делят дугу АВ на 12 равных частей. Соединяя точки деления с центром направляющей окружности, по¬лучают центры вспомогательных окружностей 1, 2, 3 и т. д. на линии цент¬ров OOi. Проводят вспомогательные концентрические дуги —/, 10—2 и т. д. На пересечении этих дуг с окружностями, проведенными из соответствую-щих центров, получают точки гипоциклоиды, которые и соединяют плавной кривой линией по лекалу. Если радиус направляющей окружности будет вдвое больше диаметра производящей окружности, то гипоциклоида будет иметь четыре полные вет¬ви. Замкнутая кривая, образованная при этом, носит название астроиды (фиг. 49,6).