Криволинейный интеграл I рода

Криволинейный интеграл I рода.

Основные понятия.

Пусть на плоскости задана непрерывная кривая (или длины . Рассмотрим непрерывную функцию , определенную в точках дуги . Разобьем кривую точками на произвольных дуг с длинами выберем на каждой дуге произвольную точку и составим сумму

 

Ее называют интегральной суммой для функции по кривой .

Пусть - наибольшая из длин дуг деления. Если при  (тогда существует конечный предел интегральных сумм (), то его называют криволинейным интегралом от функции по длине кривой (или I рода) и обозначают (или

Таким образом, по определению,

Условие существования криволинейного интеграла I рода (существование предела интегральной суммы () при ( )) представляет следующая теорема:

Теорема: Если функция непрерывна в каждой точке гладкой кривой (в каждой точке существует касательная к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный интеграл I рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них.

Аналогичным образом вводится понятие криволинейного интеграла от функции  по пространственной кривой .

Свойства:

Т.е криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования.

2.

Если путь интегрирования разбит на части такие, что и имеют одну общую точку.

5. Если  для точек кривой  выполнено неравенство , то

6. где длина кривой .

7. Если функция непрерывна на кривой , то на этой кривой найдется точка такая, что (теорема о среднем).

Вычисление криволинейного интеграла I рода

1. Параметрическое представление. Если кривая задана параметрическими уравнениями , , где - непрерывно дифференцируемые функции параметра , причем точке соответствует , точке значение , то

Аналогичная формула имеет место для криволинейного интеграла от функции :

2. Явное представление кривой интегрирования. Если кривая  задана уравнением где - непрерывно дифференцируемая функция, то

Подынтегральное выражение в правой части формулы () получается заменой в левой части и .

3. Полярное представление кривой интегрирования. Если плоская кривая задана уравнением в полярных координатах, то и

Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода

Длина кривой. Длина кривой плоской или пространственной линии вычисляется по формуле

Площадь цилиндрической поверхности. Если направляющая цилиндрической поверхности служит кривая , лежащая в плоскости , а образующая параллельна оси , то площадь  поверхности, задаваемой функцией , находится по формуле

Криволинейный интеграл II рода

Пусть в плоскости задана непрерывная кривая (или ) и функция , определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую точками в направлении от точки к точке на дуг с длинами (. На каждой элементарной дуге возьмем точку ( и составим сумму вида: , где - проекция дуги на ось .

Сумму ( ) называют интегральной суммой для функции по переменной . Таких сумм можно составить бесчисленное множество.

Если при интегральная сумма имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения, ни от выбора точек , то его называют криволинейным интегралом по координате (или II рода) от функции по кривой и обозначают или .

Итак,

Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции по переменной :

где - проекция на ось .

Криволинейный интеграл II рода общего вида

 определяется равенством

Криволинейный интеграл по пространственной кривой определяется аналогично.

Теорема: Если кривая гладкая, а функция непрерывные на кривой , то криволинейный интеграл II рода существует.

Свойства:

1. При изменении направления пути интегрирования криволинейный интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный, т.е

( проекция дуги  на оси меняют знаки с изменением направления).

2. Если кривая точкой разбита на две части и , то интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т.е

3. Если кривая лежит в плоскости, перпендикулярной оси , то

 (все

Аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси :

 (все

4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается ) не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления обхода кривой).

Вычисление криволинейного интеграла II рода.

1. Параметрическое представление кривой интегрирования. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями , где - непрерывны вместе со своими производными на отрезке , причем начальной точке кривой соответствует значение параметра . И пусть функция непрерывна на кривой . Тогда, по определению,

Преобразуем интегральную сумму к переменной . Так как то по формуле Лангранжа имеем: где .

Выберем точку так, чтобы . Тогда преобразованная интегральная сумма будет интегральной суммой для функции одной переменной на промежутке . Поэтому

  Аналогично получаем

Складывая почленно полученные равенства, получаем:

2. Явное представление кривой интегрирования. Если кривая задана уравнением где функция и ее производная непрерывны на отрезке то из формулы ( ), приняв  за параметр, имеем параметрические уравнения кривой откуда получим:

В частности,

Если - гладкая пространственная кривая, которая описывается непрерывными на отрезке функциями то криволинейный интеграл

Замечание: криволинейные интегралы I и II рода связаны соотношением где – углы, образованные касательной к кривой в точке с осями соответственно.

Формула Остроградского-Гаусса

Теорема: Если функции непрерывны вместе со своими частными производными в области , то имеет место формула

  ( ) где - граница области и интегрирование вдоль кривой производится в положительном направлении (при движении вдоль кривой, область остается слева). Формула ( ) называется формулой Остроградского-Гаусса.

Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

Теорема: Для того чтобы криволинейный интеграл

 не зависел от пути интегрирования  в односвязной области , в которой функции непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие

. (1)

Следствие: Если выполнено условие (1), то подынтегральное выражение является полным дифференциалом некоторой функции , т.е

 

Тогда

 

т.е (2)

формула (2) называется обобщенной формулой Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.

Следствие: Если подынтегральное выражение есть полный дифференциал и путь интегрирования замкнутый, то

Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода

Площадь плоской фигуры. Площадь плоской фигуры, расположенной в плоскости и ограниченной замкнутой линией , можно найти по формуле:

при этом кривая обходится против часовой стрелки.