Контрольная работа по "Высшей математике"

Содержание:

1. Введение…………………………………………………………………2
2. Практическая часть

Задание 1……………………………………………………………………4

Задание 2……………………………………………………………………7

Задание 3……………………………………………………………………9

Задание 4…………………………………………………………………..11

Задание 5…………………………………………………………………..12

Задание 7…………………………………………………………………..14

      Заключение…………………………………………………………….….15

      Библиографический список……………………………………………...16 

    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

I. Введение

        Математика – наука о количественных  отношениях и пространственных  формах действительного мира.

          Самой древней математической деятельностью был счет. Счет был  необходим, чтобы следить за поголовьем скота и вести торговлю. Некоторые  первобытные племена подсчитывали количество предметов, сопоставляя  им различные части тела, главным  образом пальцы рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся до наших времен от каменного века, изображает число 35 в виде серии выстроенных в ряд 35 палочек-пальцев. Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления. Первые достижения геометрии связаны с такими простыми понятиями, как прямая и окружность. Дальнейшее развитие математики началось примерно в 3000 до н. э. благодаря вавилонянам и египтянам.

    Началом развития современной математики можно считать 16 век, который в Западной Европе ознаменовалось важными достижениями в алгебре и арифметике. Были введены в обращение десятичные дроби и правила арифметических действий с ними. С начала 16 в. более широко стали употребляться иррациональные числа. Б.Паскаль (1623-1662) и И.Барроу (1630-1677), учитель И.Ньютона в Кембриджском университете, утверждали, что такое число, как иррациональное, можно трактовать лишь как геометрическую величину. Однако в те же годы Р.Декарт (1596-1650) и Дж.Валлис (1616-1703) считали, что иррациональные числа допустимы и сами по себе, без ссылок на геометрию. В 16 в. продолжались споры по поводу законности введения отрицательных чисел. Еще менее приемлемыми считались возникавшие при решении квадратных уравнений комплексные числа, такие как, названные Декартом «мнимыми». Эти числа были под подозрением даже в 18 в., хотя Л.Эйлер (1707-1783) с успехом пользовался ими. Комплексные числа окончательно признали только в начале 19 в., когда математики освоились с их геометрическим представлением.

    Основной  задачей алгебры, поиском общего решения алгебраических уравнений, продолжали заниматься математики и в начале 19в.. Когда говорят об общем решении уравнения второй степени ax2 + bx + c = 0, имеют в виду, что каждый из двух его корней может быть выражен с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней, производимых над коэффициентами a, b и с. Молодой норвежский математик Н.Абель (1802-1829) доказал, что невозможно получить общее решение уравнения степени выше 4 с помощью конечного числа алгебраических операций. Однако существует много уравнений специального вида степени выше 4, допускающих такое решение. Французский математик Э.Галуа (1811-1832) дал решающий ответ на вопрос о том, какие уравнения разрешимы в радикалах, т.е. корни каких уравнений можно выразить через их коэффициенты в помощью конечного числа алгебраических операций. В теории Галуа использовались подстановки или перестановки корней и было введено понятие группы, которое нашло широкое применение во многих областях математики.

    Из  всего вышесказанного следует сделать вывод, что «математика», как наука не стоит на месте, а развивается всё больше и больше. В своем курсовом проекте я попытаюсь уделить максимальное внимание решению задач, а в заключении попытаюсь ответить на главный вопрос: «Для чего математика менеджеру?».  
 
 
 
 
 
 
 
 

II. Практическая часть 

Раздел 1. Матрицы, векторы, системы линейных уравнений. 

Задание 1. Дано: α= ; А = ; В = ;  С^т = (-2,1,1)

     Решение. 1. Воспользуемся вначале определением суммы матриц и найдем А+В. Поскольку  А и В матрицы одинакового  размера 3*3, то их сумма высчитывается  следующим образом: 

А+В= + =

, таким образом  мы получили один из ответов.

   Найдем  А^-1, ВА^-1, воспользовавшись определениями обратной матриц, а также известным алгоритмом. 

а) для начала найдем α*В:

α*В = =  

б) Проверим, является ли матрица А, невырожденной. Для  этого одним из известных способов найдем её определитель :

= 2 (-1) ²⁺¹ - 2 (-1) ²⁺² = -2 (-2-3) + 2(2-1) = 10 – 2 = 8 ≠ 0

Так как  ≠ 0, то А^-1 существует. 

в) Находим алгебраические дополнения:

А₁₁ =  (-1) ¹⁺¹ = -2;  А₁₂ =  (-1) ¹⁺² = -2;  А₁₃ =  (-1) ¹⁺³ = 8; 

А₂₁ =  (-1) ²⁺¹ = 5;  А₂₂ =  (-1) ²⁺² = 1;  А₂₃ =  (-1) ²⁺³ = -8; 
 

А₃₁ =  (-1) ³⁺¹ = 2;  А₃₂ =  (-1) ³⁺² = 2;  А₃₃ =  (-1) ³⁺³ = 0; 
 

г) Вычисляем  обратную матрицу по формуле А^-1= Ã и получаем ещё один ответ:

А^-1 = =

       д) Найдем αВА^-1 и разность Е - αВА^-1. Получим ответы к п.1 задания.

       αВА^-1 = = =

Е – это единичная  матрица, равна  , тогда Е - αВА^-1 находится следующим образом: 

Е - αВА^-1 = - =  
 
 
 
 

2. Перейдем к  решению матричных уравнений. 

а) Найдем ХА = В

По свойству матриц уравнение ХА=В, можно представить в виде ХА^-1А=ВА^-1, где А^-1А это единичная матрица. Отсюда выразим Х.

Х=ВА^-1

Х= = =

=  

б) Найдем АХ=С, применяя тоже свойство, что и в предыдущем примере: АА^-1Х=А^-1С. Получаем Х=А^-1С

С^т =(-2,1,1) С =

Х= = =

3. Матрица А^-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

А^-1А=А А^-1=Е

Теорема (необходимое и достаточное условие  существования обратной матрицы). Обратная матрица А^-1 существует (и единственна) тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная. 

Свойства  умножения матриц:

1. (αА)В = α (АВ)
2. (АВ)^т = В^тА^т
3. (АВ)С = А(ВС)

В случае, когда оба произведения АВ и ВА существуют и обе матрицы одинакового  размера, коммутативный (переместительный) закон умножения, вообще говоря, не выполняется, т.е АВ≠ВА.

Пример: А ; В

Найдем  АВ и ВА.

Решение: АВ= =

       ВА= =

Таким образом АВ≠ВА  ≠ . 

Задание 2.

 Дано: , , , , , ; ā =

Решение. 1. В  данном случае мы имеем векторы в  пространстве R₃. Чтобы в заданном их наборе (группа, стоящая слева от;) обнаружить базисные, можно взять любую группу из трех векторов, составить из них матрицу размером 3*3 и найти ее ранг любым из известных способов. Если он будет равен 3, то данные векторы линейно независимы и, согласно определению базиса, именно их можно принять в качестве одного из новых базисов R_3, назовём его G. Также проверяем группу из оставшихся трех векторов. Если окажется, что она содержит линейно зависимые векторы, то убираем один из таких векторов и добавляем на его место один из векторов предыдущей группы и опять проверяем на линейную зависимость. Так находим второй новый базис. 

; ;

G = ~ -2  -1 ~    ~ ; rang G = 3

G =

; ;

- + ~ F= rang F = 3

Матрицы F и G являются матрицами перехода от стандартного базиса к соответствующим новым базисам.

ā =

~   -2  ~ ~

  а₁  а₂   а₃ 

-4 а₃ = -2 а_{3= ;}

а₂+6а₃ = 4 а₂ = 4-3 = 1;

а₁+а₂+3а₃=1   а₁+1+ = 1  а₁=-  

ā_G =  

     Вектор  а₁, а₂, …, а_m векторного пространства R называются линейно-зависимыми, если существуют такие числа λ₁, λ₂,…, λ_m, не равные одновременно нулю, что λ₁ а₁+ λ₂ а₂+…+ λ_m а_m = 0.

     В противном случае векторы а₁, а₂, …, а_m называются линейно-независимыми.

     Рангом  матрицы А называется наивысший  порядок отличных от нуля миноров  этой матрицы.

      Скалярным произведением ( , ) двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: ( , ) = = cos.

      Совокупность линейно независимых векторов n – мерного пространства R называется базисом.

      Если  е₁, е₂, …, е_n – система линейно-независимых векторов пространства R и любой вектор а линейно выражается через е₁, е₂, …, е_n, то пространство R является n-мерным, а векторы е₁, е₂, …, е_n – его базисом. 

Задание 3. Дано:

Решениие. 1.

  =

А= ;  х= ;  В=

А Х = Ā 

Ã= ~ -2    ~    2 ~

                                              3

~

     х₁ х₂     х₃       х₄          

rang A = 3 система совместна

rang à = 3

r = 3; n = 4; n-r = 1

Пусть х₄ =с

- х₃-4с = -4    х₃ = 4 – 4с

-3 х₂+ х₃-5 х₄= -5   -3 х₂+4-4с-5c=-5 -3 х₂=-9+9с  х₂=3-3с

х₁ +2х₂+3х₄=3  х₁=3-2х₂-3х₄  х₁=3-6+6с-3с х₁=-3+3с

х=  

2.  

х₄ = 1

х₁ = -3-2х₂

х₃ = х₂+2

2(-3-2х₂) + х₂ + х₂ + 2= - 1

-6-4х₂+ х₂ + х₂ + 2 = -1

-2х₂=3  х₂ = -

х₁=-3-2  х₁=0

х₃=- +2  х₃ =  

х = с      х = с

      Определителем квадратной матрицы n-го порядка, или определителем n-го порядка, называется число, равное алгебраической сумме n! членов, каждый из которых является произведением n-элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как (-1)^{n (J)}, где n(J) – число инверсий в перестановке  J из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номере строк записаны в порядке возрастания: