Контрольная работа по "Высшей математике"

Автор: Пользователь скрыл имя, 14 Сентября 2013 в 11:16, контрольная работа

Краткое описание

Строим область допустимых решений задачи. Строим прямые , , и . Для каждой прямой находим какая из двух полуплоскостей является областью решения неравенств.
Находим общую часть полуплоскостей, учитывая при этом условие неотрицательности переменных. Строим нормаль линий уровня n=(6,5). Так как решается задача на отыскание минимума целевой функции, то линию уровня перемещаем в направлении противоположном направлению нормали до самой дальней точки.

Файлы: 1 файл

metody_optim_reshenii.docx

— 63.64 Кб (Скачать)

Министерство  образования и науки российской Федерации

Сочинский государственный  университет

Институт  информационных технологий и математики

Кафедра прикладной математики

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №6

По  дисциплине «Методы оптимальных решений»

 

 

 

Выполнил (а):

студент II курса ЗФО

группа 11-ЗФиК-ДО

Авдеева Л.Л.

 

Проверил:

Абуева Н.С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сочи, 2013

  1. Решить задачу графическим методом:

 

 

 

Решим задачу графическим методом:

Строим область  допустимых решений задачи. Строим прямые , , и . Для каждой прямой находим какая из двух полуплоскостей является областью решения неравенств.

Находим общую часть полуплоскостей, учитывая при этом условие неотрицательности переменных. Строим нормаль линий уровня n=(6,5). Так как решается задача на отыскание минимума целевой функции, то линию уровня перемещаем в направлении противоположном направлению нормали до самой дальней точки.

Решение достигается  в точке А пересечения двух прямых: и . Решая систему уравнений получаем решение: X(10, 18). Подставим значение в целевую функцию: F(10, 18)=150.

Строим  нормаль линий уровня n=(9,-10). Так как решается задача на отыскание максимума целевой функции, то линию уровня перемещаем в направлении нормали до самой дальней точки.

Решение достигается  в точке D пересечения двух прямых:, . Решая систему уравнений получаем решение: X(46 2/3, 7). Подставим значение в целевую функцию: F(46 2/3, 7)=350.

 

 
2.Решить задачу графическим методом:

 

 

 

Решим задачу графическим методом:

Строим область  допустимых решений задачи. Строим прямые , , . Для каждой прямой находим, какая из двух полуплоскостей является областью решения неравенств.

Находим общую часть полуплоскостей, учитывая при этом условие неотрицательности переменных. Строим нормаль линий уровня n=(3,5). При решении задачи на отыскание минимума целевой функции, линию уровня перемещаем в направлении противоположном направлению нормали до самой дальней точки, а при решении задачи на отыскание максимума целевой функции, линию уровня перемещаем в направлении нормали до самой дальней точки.

Решение задачи на минимум достигается в точке В пересечения двух прямых: и . Решая систему уравнений получаем решение: X(5, 9). Подставим значение в целевую функцию: F(5, 9)=60.

При решении задачи на отыскание максимума целевой функции, линию уровня перемещаем в направлении нормали до самой дальней точки. Область допустимых значений не ограничена, значит целевая функция на множестве допустимых решений не ограничена сверху. 

 
3. Решить симплексным методом, используя метод искусственного базиса и симплексные таблицы.

 

 

Перейдем  к канонической форме путем ввода  дополнительных переменных:

 

В первое неравенство  вводим искусственную переменную x6:

 

 

Выражаем  x6 из первого уравнения и подставляем значение в целевую функцию:

 

 

Строим первый опорный план:

Базис

x1

x2

x3

x4

x5

x6

 

x6

3

5

-1

0

0

1

30

x4

-6

25

0

1

0

0

225

x5

15

-10

0

0

1

0

225

z

-6+3M

-5+5M

-M

0

0

0

30M


В индексной  строке есть положительные коэффициенты, значит текущий план неоптимален. Выбираем ведущие строку и столбец: ведущий столбец соответствует переменной x2, ведущая строка – первая.

Новая симплекс-таблица:

Базис

x1

x2

x3

x4

x5

x6

 

x2

3/5

1

-1/5

0

0

1/5

6

x4

-21

0

5

1

0

-5

75

x5

21

0

-2

0

1

2

285

z

-3

0

-1

0

0

1-M

30


B индексной строке нет положительных коэффициентов, значит оптимальный план найден.

x1=0,

x2=6,

z=5*6=30.

 

  1. Решить примеры симплексным методом, используя метод искусственного базиса и симплексные таблицы.

 

 

Перейдем  к канонической форме путем ввода  дополнительных переменных: 

В первое и второе неравенства вводим искусственные переменные x6 и x7:

 

 

Выражаем  x6 и x7 из первого и второго уравнений и подставляем значения в целевую функцию:

 

 

 

Строим первый опорный план:

Базис

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

 

x6

12

5

-1

0

0

1

0

135

x7

6

-5

0

-1

0

0

1

45

x5

3

5

0

0

1

0

0

90

z

-3-18M

-10

M

M

0

0

0

-180M


В индексной  строке есть отрицательные коэффициенты, значит текущий план неоптимален. Выбираем ведущие строку и столбец: ведущий столбец соответствует переменной x1, ведущая строка – вторая.

Базис

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

 

x6

0

15

-1

2

0

1

-2

45

x1

1

-5/6

0

-1/6

0

0

1/6

7 ½

x5

0

7 1/2

0

1/2

1

0

-1/2

67 1/2

z

0

-12 ½-15M

M

-1/2-2M

0

0

½+3M

22 ½-45M


В индексной  строке есть отрицательные коэффициенты, значит текущий план неоптимален. Выбираем ведущие строку и столбец: ведущий столбец соответствует переменной x2, ведущая строка – первая.

Базис

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

 

x2

0

1

-1/15

2/15

0

1/15

-2/15

3

x1

1

0

-1/18

-1/18

0

1/18

1/18

10

x5

0

0

1/2

-1/2

1

-1/2

1/2

45

z

0

0

-5/6

1 1/6

0

5/6+M

-1 1/6+M

60


В индексной  строке есть отрицательные коэффициенты, значит текущий план неоптимален. Выбираем ведущие строку и столбец: ведущий столбец соответствует переменной x3, ведущая строка – третья.

Базис

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

 

x2

0

1

0

1/15

2/15

0

-1/15

9

x1

1

0

0

-1/9

1/9

0

1/9

15

x3

0

0

1

-1

2

-1

1

90

z

0

0

0

1/3

1 2/3

M

-1/3+M

135


B индексной строке нет отрицательных коэффициентов, значит оптимальный план найден.

x1=15,

x2=9,

z=10*9+3*15=135.

 

 

  1. Прядильно-ниточное предприятие выпускает нитки с лавсаном (н/л) и нитки с капроном (н/к), для изготовления которых  использует хлопок I сорта (х/1), а также и хлопок II сорта (х/2). На изготовление 1 тонны (н/л) требуется 85 кг (х/1) и 10 кг (х/2), на изготовление 1т (н/к)  требуется 6 кг (х/1) и 69 кг (х/2). Запасы хлопка на предприятии составляют соответственно:  285 кг - (х/1) и 375 кг - (х/2). 

Прибыль от реализации 1 т (н/л) составляет 1065 у.е., а от реализации 1 т  (н/к) - 963 у.е.

     Какой должен быть план производства, чтобы суммарная прибыль оказалась  максимальной?

Составим  математическую модель задачи:

Пусть x1 – количество тонн выпускаемых ниток с лавсаном, а x2 – количество выпускаемых ниток с капроном, тогда 1065x1+963x2 – суммарная прибыль.

85x1+6x2 – количество хлопка I сорта, необходимое для изготовления всех ниток, а 10x1+69x2 - количество хлопка II сорта, необходимое для изготовления всех ниток. Так как запасы хлопка на предприятии ограничены, получаем ограничения:

85x1+6x2≤285,

10x1+69x2≤365.

Количество  выпускаемых ниток не может быть отрицательным числом, значит x1≥0, x2≥0.

Таким образом, математическая модель задачи имеет  вид:

F(X)=1065x1+963x2→max

при ограничениях:

85x1+6x2≤285,

10x1+69x2≤365.

x1≥0, x2≥0.

Составим двойственную задачу:

y1, y2 – условные цены на хлопок первого и второго сортов,

Целевая функция будет иметь  вид: F(Y)=285y1+365y2. Так как в прямой задаче необходимо найти максимум, в двойственной необходимо найти минимум: F(Y)=285y1+365y2→min.

Ограничения для двойственной задачи:

85y1+10y2≥1065,

6y1+69y2≥963,

y1≥0, y2≥0.

Решаем прямую задачу графическим  методом:

F(X)=1065x1+963x2→max

при ограничениях:

85x1+6x2≤285,

10x1+69x2≤365.

x1≥0, x2≥0.

 
Решение достигается в точке пересечения двух прямых:, . Решая систему уравнений получаем решение: X(3 4/387, 4 239/280). Подставим значение в целевую функцию: F(3 4/387, 4 239/280)=7880.

Решаем двойственную задачу графическим методом:

Информация о работе Контрольная работа по "Высшей математике"