Контрольная работа по "Высшей математике"

Министерство  образования и науки российской Федерации

Сочинский государственный  университет

Институт  информационных технологий и математики

Кафедра прикладной математики

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №6

По  дисциплине «Методы оптимальных решений»

 

 

 

Выполнил (а):

студент II курса ЗФО

группа 11-ЗФиК-ДО

Авдеева Л.Л.

 

Проверил:

Абуева Н.С

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сочи, 2013

1. Решить задачу графическим методом:

 

 

 

Решим задачу графическим методом:

Строим область  допустимых решений задачи. Строим прямые , , и . Для каждой прямой находим какая из двух полуплоскостей является областью решения неравенств.

Находим общую часть полуплоскостей, учитывая при этом условие неотрицательности переменных. Строим нормаль линий уровня n=(6,5). Так как решается задача на отыскание минимума целевой функции, то линию уровня перемещаем в направлении противоположном направлению нормали до самой дальней точки.

Решение достигается  в точке А пересечения двух прямых: и . Решая систему уравнений получаем решение: X(10, 18). Подставим значение в целевую функцию: F(10, 18)=150.

Строим  нормаль линий уровня n=(9,-10). Так как решается задача на отыскание максимума целевой функции, то линию уровня перемещаем в направлении нормали до самой дальней точки.

Решение достигается  в точке D пересечения двух прямых:, . Решая систему уравнений получаем решение: X(46 2/3, 7). Подставим значение в целевую функцию: F(46 2/3, 7)=350.

 

 
2.Решить задачу графическим методом:

 

 

 

Решим задачу графическим методом:

Строим область  допустимых решений задачи. Строим прямые , , . Для каждой прямой находим, какая из двух полуплоскостей является областью решения неравенств.

Находим общую часть полуплоскостей, учитывая при этом условие неотрицательности переменных. Строим нормаль линий уровня n=(3,5). При решении задачи на отыскание минимума целевой функции, линию уровня перемещаем в направлении противоположном направлению нормали до самой дальней точки, а при решении задачи на отыскание максимума целевой функции, линию уровня перемещаем в направлении нормали до самой дальней точки.

Решение задачи на минимум достигается в точке В пересечения двух прямых: и . Решая систему уравнений получаем решение: X(5, 9). Подставим значение в целевую функцию: F(5, 9)=60.

При решении задачи на отыскание максимума целевой функции, линию уровня перемещаем в направлении нормали до самой дальней точки. Область допустимых значений не ограничена, значит целевая функция на множестве допустимых решений не ограничена сверху. 

 
3. Решить симплексным методом, используя метод искусственного базиса и симплексные таблицы.

 

 

Перейдем  к канонической форме путем ввода  дополнительных переменных:

 

В первое неравенство  вводим искусственную переменную x₆:

 

 

Выражаем  x₆ из первого уравнения и подставляем значение в целевую функцию:

 

 

Строим первый опорный план:

Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x6	3	5	-1	0	0	1	30
x4	-6	25	0	1	0	0	225
x5	15	-10	0	0	1	0	225
z	-6+3M	-5+5M	-M	0	0	0	30M

В индексной  строке есть положительные коэффициенты, значит текущий план неоптимален. Выбираем ведущие строку и столбец: ведущий столбец соответствует переменной x₂, ведущая строка – первая.

Новая симплекс-таблица:

Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x2	3/5	1	-1/5	0	0	1/5	6
x4	-21	0	5	1	0	-5	75
x5	21	0	-2	0	1	2	285
z	-3	0	-1	0	0	1-M	30

B индексной строке нет положительных коэффициентов, значит оптимальный план найден.

x₁=0,

x₂=6,

z=5*6=30.

 

4. Решить примеры симплексным методом, используя метод искусственного базиса и симплексные таблицы.

 

 

Перейдем  к канонической форме путем ввода  дополнительных переменных: 

В первое и второе неравенства вводим искусственные переменные x₆ и x₇:

 

 

Выражаем  x₆ и x₇ из первого и второго уравнений и подставляем значения в целевую функцию:

 

 

 

Строим первый опорный план:

Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x6	12	5	-1	0	0	1	0	135
x7	6	-5	0	-1	0	0	1	45
x5	3	5	0	0	1	0	0	90
z	-3-18M	-10	M	M	0	0	0	-180M

В индексной  строке есть отрицательные коэффициенты, значит текущий план неоптимален. Выбираем ведущие строку и столбец: ведущий столбец соответствует переменной x₁, ведущая строка – вторая.

Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x6	0	15	-1	2	0	1	-2	45
x1	1	-5/6	0	-1/6	0	0	1/6	7 ½
x5	0	7 1/2	0	1/2	1	0	-1/2	67 1/2
z	0	-12 ½-15M	M	-1/2-2M	0	0	½+3M	22 ½-45M

В индексной  строке есть отрицательные коэффициенты, значит текущий план неоптимален. Выбираем ведущие строку и столбец: ведущий столбец соответствует переменной x₂, ведущая строка – первая.

Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x2	0	1	-1/15	2/15	0	1/15	-2/15	3
x1	1	0	-1/18	-1/18	0	1/18	1/18	10
x5	0	0	1/2	-1/2	1	-1/2	1/2	45
z	0	0	-5/6	1 1/6	0	5/6+M	-1 1/6+M	60

В индексной  строке есть отрицательные коэффициенты, значит текущий план неоптимален. Выбираем ведущие строку и столбец: ведущий столбец соответствует переменной x₃, ведущая строка – третья.

Базис	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
x2	0	1	0	1/15	2/15	0	-1/15	9
x1	1	0	0	-1/9	1/9	0	1/9	15
x3	0	0	1	-1	2	-1	1	90
z	0	0	0	1/3	1 2/3	M	-1/3+M	135

B индексной строке нет отрицательных коэффициентов, значит оптимальный план найден.

x₁=15,

x₂=9,

z=10*9+3*15=135.

 

 

5. Прядильно-ниточное предприятие выпускает нитки с лавсаном (н/л) и нитки с капроном (н/к), для изготовления которых  использует хлопок I сорта (х/1), а также и хлопок II сорта (х/2). На изготовление 1 тонны (н/л) требуется 85 кг (х/1) и 10 кг (х/2), на изготовление 1т (н/к)  требуется 6 кг (х/1) и 69 кг (х/2). Запасы хлопка на предприятии составляют соответственно:  285 кг - (х/1) и 375 кг - (х/2). 

Прибыль от реализации 1 т (н/л) составляет 1065 у.е., а от реализации 1 т  (н/к) - 963 у.е.

     Какой должен быть план производства, чтобы суммарная прибыль оказалась  максимальной?

Составим  математическую модель задачи:

Пусть x₁ – количество тонн выпускаемых ниток с лавсаном, а x₂ – количество выпускаемых ниток с капроном, тогда 1065x₁+963x₂ – суммарная прибыль.

85x₁+6x₂ – количество хлопка I сорта, необходимое для изготовления всех ниток, а 10x₁+69x₂ - количество хлопка II сорта, необходимое для изготовления всех ниток. Так как запасы хлопка на предприятии ограничены, получаем ограничения:

85x₁+6x₂≤285,

10x₁+69x₂≤365.

Количество  выпускаемых ниток не может быть отрицательным числом, значит x₁≥0, x₂≥0.

Таким образом, математическая модель задачи имеет  вид:

F(X)=1065x₁+963x₂→max

при ограничениях:

85x₁+6x₂≤285,

10x₁+69x₂≤365.

x₁≥0, x₂≥0.

Составим двойственную задачу:

y₁, y₂ – условные цены на хлопок первого и второго сортов,

Целевая функция будет иметь  вид: F(Y)=285y₁+365y₂. Так как в прямой задаче необходимо найти максимум, в двойственной необходимо найти минимум: F(Y)=285y₁+365y₂→min.

Ограничения для двойственной задачи:

85y₁+10y₂≥1065,

6y₁+69y₂≥963,

y₁≥0, y₂≥0.

Решаем прямую задачу графическим  методом:

F(X)=1065x₁+963x₂→max

при ограничениях:

85x₁+6x₂≤285,

10x₁+69x₂≤365.

x₁≥0, x₂≥0.

 
Решение достигается в точке пересечения двух прямых:_, . Решая систему уравнений получаем решение: X(3 4/387, 4 239/280). Подставим значение в целевую функцию: F(3 4/387, 4 239/280)=7880.

Решаем двойственную задачу графическим методом: