Контрольная работа по "Теории вероятности и математической статистике"

Решение

Даны совокупности Х и Y, имеющие нормальный закон распределения. Требуется проверить гипотезу H₀: M(X) = M(Y).

Так как о генеральных  дисперсиях ничего не известно, то с  помощью случайной величины которая имеет распределение Фишера-Снедекора с k₁ = n_y-1 = 12 -1 =11  и k₂ = n_x-1 =  9 – 1 = 8  степенями свободы (n₁ = n_y, так как S_y²- большая), предварительно проверим вспомогательную нулевую гипотезу:

H₀: D(X) = D(Y) при H₁: D(X) > D(Y).

Чтобы получить исправленные дисперсии, возведем средние квадратические отклонения в квадрат:

S_х² = 0,7² =0,49

S_y² = 1,1² = 1,21

Находим

Сравниваем  и .

Так как , то есть попало в область принятия гипотезы, нет основания отвергать нулевую гипотезу по данным наблюдения D(X) = D(Y); расхождение между исправленными выборочными дисперсиями случайное. Следовательно, можно проверить основную гипотезу.

Предварительно выбираем конкурирующую гипотезу. В данном случае их может быть две: 1) H₁: M(X) ≠ M(Y); 2)H₁: M(X) > M(Y), так как _вв.

Проверяем гипотезу H₀ в первом случае:

H₀: M(X) = M(Y),

H₁: M(X) ≠ M(Y).

Воспользуемся случайной  величиной

 

которая имеет распределение Стьюдента  с k = степенями свободы.

По данным выборок найдем:

 

 

 По таблице критических точек распределения Стьюдента находим t_{крит.дв.}(0,05; 19) = 2,09 (при двусторонней критической области). Сравниваем и t_{крит.дв.}(0,05; 19). Так как > t_{крит.дв.}(0,05; 19), то есть попало в критическую область, нулевая гипотеза отвергается, справедлива конкурирующая H₁: M(X) ≠ M(Y), а следовательно, расхождение между выборочными средними значимо.

Поверим гипотезу H₀ во втором случае:

H₀: M(X) = M(Y),

H₁: M(X) >  M(Y).

t_{крит.пр.}(0,05; 19) =1,73 (при правосторонней критической области).

t_{крит.пр.}(0,05; 19), нулевая гипотеза отвергается, справедлива конкурирующая H₁: M(X) >  M(Y). Следовательно, расхождение между выборочными средними значимо.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы.

 

1. Репин О.А., Суханова Е.И., Тимофеева  Л.К. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая статистика. – Самара, СГЭА, 2005.

 

2. Тимофеева Л.К., Суханова Е.И. Математика для экономистов. Сборник задач  по теории вероятностей и математической статистике. М.: УМиНЦ «Учебная литература», 1998.

 

3. Ширяева Л.К. Решение задач математической статистики с помощью табличного процессора Microsoft Excel. Учебно-методическая разработка. – Самара, СГЭА, 2002.