Контрольная работа по "Теории вероятности и математической статистике"

 

САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ЭКОНОМИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ

Сызранский филиал

Заочный факультет

г. Сызрань,  ул. Людиновская, 23. Тел. 37-12-88; 99-35-66

 

______Санькова Елена Александровна_______________________________

фамилия, имя, отчество студента

 

Курс _________2_______________  группа ___К-213____________________

Специальность __Коммерция                         ___________________________

Контрольная работа  ______________________Вариант____7_____________

По дисциплине __Теория вероятности и математическая статистика ___

На тему __________________________________________________________                                                                                           

 

 

Дата получения работы деканатом _________________________

Дата получения работы на кафедру ________________________

Дата  рецензирования работы ______________________________

Дата  возвращения работы кафедрой в деканат _______________

Дата  отправки работы студенту____________________________

 

 

 

Содержание.

 

Теория  вероятности………………………………………………………………….3

Математическая  статистика…………………………………………………………8

Список  используемой литературы………………………………………………….13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теория  вероятности 

 

Задача  1

В мастерскую для ремонта  поступило 10 пар часов фирмы "Заря". Известно, что 6 пар из них нуждаются  в общей чистке механизма. Мастер берет первые попавшиеся 5 пар часов. Определить вероятность того, что  из них нуждаются в общей чистке: а) 2 пары часов; б) не менее четырех  пар часов.

Решение

1. Пусть событие А – среди 5 отобранных пар часов 2 пары часов нуждаются в общей чистке.

Вероятность события А определим по формуле:

 

Число всех равновозможных, единственно возможных и несовместных исходов равно числу всевозможных сочетаний 5 пар часов из 10, то есть . Далее вычислим число благоприятствующих исходов. Две из пяти отобранных пар нуждаются в общей чистке.  Они могут появиться как разные сочетания из шести по два. Другие три пары  - не нуждаются в общей чистке, появятся как сочетания из четырех по три. Но так как каждая пара нуждающихся в чистке часов рассматривается в сочетании с каждой парой не нуждающихся, то

Число сочетаний из n элементов по m вычислим по формуле

 

 

 

 

Таким образом,

 

2. Событие B – среди 5 отобранных пар не менее четырех пар часов нуждаются в общей чистке (т.е. четыре или пять).

Пусть событие А₁ -  из 5 отобранных пар 4 нуждаются в общей чистке и одна не нуждается. Событие А₂ – все 5 отобранных пар часов нуждаются в общей чистке. Тогда В = А₁ или А₂. Так как события А₁ и А₂ несовместные, то по теореме сложения вероятностей будем иметь

Р(А) = Р(А₁) + Р(А₂).

Для обоих событий число  всех исходов испытания N равно числу сочетаний 10 по 5, то есть

 

Число исходов испытания, благоприятствующего событию А₁,

 

так как из 6 пар нуждающихся  в общей чистке часов отбираются 2, а из 4 не нуждающихся – одна. Вероятность этого события 

 

Также, по формуле  , M₁ можно было взять из п.1

(, поэтому вероятность события А равна вероятности события А₁.

Число исходов испытания, благоприятствующих событию А₂:

 

Поэтому

 

Тогда P(B) = 0,238 + 0,024 = 0,262.

 

Задача  2

В студии телевидения имеется 3 телевизионных камеры. Вероятность  того, что включена первая камера, равна 0,6; вторая камера - 0,8; третья камера - 0,7. Найти вероятность того, что в данный момент включены хотя бы 2 камеры.

Решение

Введем обозначения: событие А₁ – в данный момент включена первая камера; событие А₂ – вторая камера; событие А₃ – третья камера, тогда

P(А₁) = 0,6; P(А₂) = 0,8; P(А₃) = 0,7.

Введем обозначения для  противоположных событий (соответствующие камеры выключены): событие ₁ – в данный момент  первая камера выключена; событие ₂ – вторая камера выключена; событие ₃ – третья камера выключена. Найдем их вероятность:

P(₁) = 1 - 0,6 = 0,4; P(₂) = 1 - 0,8=0,2; P(₃) = 1- 0,7 = 0,3.

Найдем вероятность сложного события А, состоящего в том, что  в данный момент включены хотя бы две  камеры, т.е. или две, или три. Пусть В – событие, состоящее в том, что две камеры включены (безразлично какие), одна выключена; С – событие, состоящее в том, что в данный момент включены все три камеры. Так как события В и С несовместные, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий будем иметь:

Р(А) = Р(В) + Р(С),

где В – событие, состоящее  в том, что две камеры включены (безразлично какие), одна выключена; С – событие, состоящее в том, что в данный момент включены все три камеры.

Это событие можно представить  так:  С = (А₁, и А₂, и ₃), или (₁, и А₂, и А₃), или (А₁, и ₂, и А₃), то есть в данный момент включены первая и вторая камеры, третья выключена; или включены вторая и третья камеры, а первая  выключена; или включены первая и третья камеры, а вторая выключена. Эти события несовместны; нас интересует вероятность наступления одного из них, поэтому воспользуемся теоремой сложения вероятностей для несовместных событий:

Р(В) = P[(А₁, и А₂, и ₃), или (₁, и А₂, и А₃), или (А₁, и ₂, и А₃)] =

= P (А₁, и А₂, и ₃) + P (₁, и А₂, и А₃) + P(А₁, и ₂, и А₃).

Каждое слагаемое найдем по теореме умножения вероятностей для независимых событий

P(А₁, и А₂, и ₃) = Р(А₁) ∙ Р(А₂) ∙ Р( ₃);

P(₁, и А₂, и А₃) = Р( ₁) ∙ Р(А₂) ∙ (А₃);

P(А₁, и ₂, и А₃) = Р(А₁)  ∙ ( ₂) ∙ (А₃).

Итак,

Р(В) = Р(А₁) ∙ Р(А₂) ∙ Р( ₃) + Р( ₁) ∙ Р(А₂) ∙ (А₃) + Р(А₁)  ∙ ( ₂) ∙ (А₃) =

= 0,6 ∙ 0,8 ∙ 0,3 + 0,4 ∙ 0,8 ∙ 0,7 + 0,6 ∙ 0,2 ∙ 0,7 = 0,144 + 0,224 + 0,084 = 0,452.

Найдем вероятность события  С, воспользовавшись теоремой умножения  вероятностей для независимых событий:

Р(С) = Р(А₁) ∙ Р(А₂) ∙ Р(А₃) = 0,6 ∙ 0,8 ∙ 0,7 = 0,336.

Получаем вероятность события А:

 Р(А) = 0,452 + 0,336 = 0,788.

 

Задача 3

На одном предприятии  работница обслуживает 500 веретен. Вероятность того, что в течение определенного промежутка времени веретено дает обрыв пряжи, равна 0,006. Определить вероятность того, что в течение этого промежутка времени произойдет: а) 4 обрыва пряжи; б) не более 5 обрывов пряжи.

Решение

1. Пусть событие А – обрыв пряжи на веретене в течение определенного промежутка времени, Р(А) = р = 0,006. Событие А маловероятное, и выполняется условие a = np = 500 ∙ 0,006 = 3 < 10. Поэтому для нахождения вероятности можно воспользоваться формулой Пуассона.

 

По таблице значений функции Пуассона получим Р_{4, 500}(А) = 0,1680 (пересечение a =3 и m = 4).

2. Событие А - обрыв пряжи на веретене в течение определенного промежутка времени, число испытаний n = 500 и m ≤ 5. Событие А является маловероятным, поскольку p = P(A) = 0,006 ≈0.

Так как m ≤ 5, то m = 0, или 1, или 2, или 3, или 4, или 5. Чтобы найти P_m≤5,500(А), предварительно применяем теорему сложения вероятностей для несовместных событий, то есть

P_m≤5,500(А) = P_0,500(А) + P_1,500(А) + P_2,500(А)+ P_3,500(А)+ P_4,500(А)+ P_5,500(А).

В таблице значений функции Пуассона найдем пересечение a =3 и m = 0, m =1, m =2, m = 3, m =4, m =5 и получим

P_m≤5,500(А) ≈ 0,0498 +0,1494 + 0,2240 + 0,2240 +0,1680 + 0,1008 = 0,916.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математическая  статистика

Задача 1

Себестоимость единицы одноименной  продукции по предприятиям отрасли характеризуется следующими показателями:

Себестоимость единицы продукции, р.	Число предприятий
1,6-2,0 2,0-2,4 2,4-2,8 2,8-3,2 3,2-3,6 3,6-4,0	2 3 5 7 10 3

Определить среднюю себестоимость  единицы продукции, а также характеристики вариации. Дать экономическую интерпретацию полученных результатов.

Решение

Признак Х - себестоимость единицы одноименной продукции – непрерывный. Распределение задано интервальным рядом. Заменим его дискретным. Для этого каждый интервал x_i-1 – x_i заменим его серединой x'_i. Расчеты представим в таблице.

Себес-тоимость единицы Х, р.:  xi-1 – xi	Число предп-риятий mi	x'i	x'i mi	x'i-	(x'i-)2	(x'i-)2mi	x'i2	(x'i)2mi
1,6-2,0	2	1,8	3,6	-1,19	1,41	2,82	3,24	6,48
2,0-2,4	3	2,2	6,6	-0,79	0,62	1,86	4,84	14,52
2,4-2,8	5	2,6	13	-0,39	0,15	0,75	6,76	33,80
2,8-3,2	7	3.0	21	0,01	0,00	0,00	9,00	63,00
3,2-3,6	10	3,4	34	0,41	0,17	1,71	11,56	115,60
3,6-4,0	3	3,8	11,4	0,81	0,66	1,98	14,44	43,32
Итого	30	-	89,6	-	-	9,11	-	276,72

Определим среднюю себестоимость единицы продукции:

 

Определим характеристики вариации.

Размах вариации равен:

R = x_max - x_min = 4,0 – 1,6 = 2,4 р.

Дисперсию выборочную найдем двумя способами:

 

, где 

 

 

Вычислим выборочное среднее  квадратическое отклонение:

 

Из расчета можно сделать  вывод о том, что себестоимость единицы одноименной продукции каждого предприятия отклоняется от средней себестоимости единицы одноименной продукции в среднем на 0,55 р.

Определим коэффициент  вариации:

 

Так как ,  исследуемая совокупность однородна. Средняя себестоимость типична.

Задача 2

Методом случайной повторной  выборки обследовано 800 коров, имеющихся  в личном владении колхозников, и  установлено, что для данной выборки средний годовой надой равен 3000 кг. С какой вероятностью можно гарантировать, что средний годовой надой всех личных коров отличается от 3000 кг по абсолютной величине меньше чем на 10 кг? Считать распределение годового надоя нормальным со средним квадратическим отклонением 250 кг.

Решение

Признак Х - средний годовой надой (кг.). Этот признак имеет нормальный закон распределения с известным параметром σ = 250 кг., параметр a неизвестен.

Сделана выборка объемом  n = 800 и по данным выборки найдена точечная оценка параметра a = = 3000. Необходимо вычислить с какой вероятностью γ можно принять следующую  интервальную оценку:

 

 

Т.е. с какой вероятностью γ границы интервала Δ будут равны 10 кг.

Так как параметр σ известен, то для вычислений используем функцию Лапласа. Вероятность γ равна:

 

Из формулы

 

получим аргумент функции  Лапласа t:

 

 

По таблице значений функции Лапласа найдем для аргумента 1,13 значение функции:

Ф(t) = Ф(1,13) = 0,3708.

Тогда искомая вероятность  равна:

γ = 2 ∙ 0,3708 = 0,7416.

Таким образом, с вероятностью 0,7416 средний годовой надой будет  находиться в интервале 

Задача 3

В момент закладки картофеля  на хранение было исследовано 9 проб на содержание в нем крахмала, при  этом получено среднее содержание крахмала _в= 13,7% и исправленное среднее квадратическое отклонение   S_х = 0,7%. В конце срока хранения было исследовано 12 проб и получены значения _в= 12,4% и S_y= 1,1%. Считая, что выборки извлечены из нормально распределенных генеральных совокупностей Х и У, на уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что содержание крахмала в картофеле данной партии в среднем существенно не изменилось за рассматриваемый период хранения.