Контрольная работа по Математике

(а-277) – (b+323)=a-277-b-323=(a-b)-600.

в) уменьшаемое  увеличить на 130, а вычитаемое уменьшить  на 130?

Пусть а – уменьшаемое, b- вычитаемое, (а-b) – разность. Увеличим уменьшаемое на 130 (а+130), а вычитаемое уменьшим на 130 (b-130) и составим разность, которую обозначим через х.

Найдем из этого равенства  уменьшаемое (а+130), к разности прибавим вычитаемое

а+130=х+(b-130)

Применим ассоциативное  свойство сложения, найдем уменьшаемое (x+b),  к разности (а+130) прибавим вычитаемое

а+130=(х + b)-130,

(х + b)=(а+130)+130

Применим ассоциативное  свойство сложения

х+b=a+130+130

x+b=a+260

Найдем неизвестное слагаемое  х, из суммы а+260 вычтем слагаемое b. Вычтем из слагаемого а-b (a>b)

x=(a+260)-b

x=(a-b)+260.

Разность увеличится на 260.

12.     Используя свойства умножения, найдите наиболее рациональным способом значение выражения: 

а) 5×64×25;                      б) 25×48×125;         в) (24 + 88)×25;   

г) 17×55 + 17×45 + 23×55 + 23×45;       д) 1051×18 – 51×18;        е) 199×5.         

а) Представим 64 в виде произведения 8*8 и применяя ассоциативное свойство умножения вычислим результат устно:

5*64*25=5*8*8*25=(5*8)*(8*25)=40*200=8000.

 

б) Представим число 48 в виде произведения 6*8 и применяя ассоциативное свойство умножения выполним вычисление устно:

25*48*125=25*6*8*125=(25*6)*(8*125)=150*1000=150000.

 

в) Применим дистрибутивное свойство умножения относительно сложения.

Представим число 24 в виде суммы (20+4) и число 88 в виде суммы (80+8). Применим дистрибутивный закон  умножения относительно сложения и  выполним вычисление устно:

(24+88)*25=24*25+88*25=(20+4)*25+(80+8)*25=20*25+4*25+80*25+8*25=500+100+2000+200=2800.

 

г) Применим коммутативное  свойство сложения. Применим ассотиативное свойство сложения, заключим в скобки. Применим дистрибутивное свойство умножения относительно сложения и дважды выполним вычисление устно:

17*55+17*45+23*55+23*45=17*55+23*55+17*45+23*45=(17*55+23*55)+(17*45+23*45)=(17+23)*55+(17+23)*45=40*55+40*45=(55+45)*40=100*40=4000.

 

д) Применим дистрибутивное свойство умножения относительно вычитания  и  выполним вычисления устно:

1051*18-51*18=(1051-51)*18=1000*18=18000.

 

е) Заменим число 199 разностью (200-1), применим дистрибутивное свойство умножения относительно вычитания  и выполним вычитание устно:

199*5=(200-1)*5=200*5-1*5=1000-5=995.

13.     Запишите числа в виде суммы разрядных слагаемых:  а) 8139 ₁₀ ;         б) 10101 ₂ ;             в) 210112 ₃ ;           г) 5403 ₇ .

а) 8139 ₁₀ =8*10³+1*10²+3*10+9

б) 10101 ₂ =1*2⁴+0*2³+1*2²+0*2+1

в) 210112 ₃ =2*3⁵+1*3⁴+0*3³+1*3²+1*3+2

г) 5403₇ =5*7³+4*7²+0*7+3

14.     Запишите число 3865 в системе счисления с основанием: а) 3; б) 5;  в) 9.

А)Разделим число 3865 на основание системы 3, а затем каждое частное делим на 3, пока не будет меньше 3.

5022011₃=53⁶+0*3⁵+2*3⁴+2*3³+0*3²+1*3+1=3865.

3865│ ̲  3

3         1288

_- 8

   6

 _-  26

    24

    _- 25

       24

          1

 

1288│ ̲  3

12      429

_- 8

   6

 _-  28

    27

       1

 

429│ ̲  3

3     143

_- 12

12

  _-  9

     9

     0

 

143│ ̲  3

12    47

_- 23

  21

    2

 

 

15│ ̲  3

15    5

  0

Б) Разделим число 3865 на основание системы число 5, а затем каждое частное последовательно делим на 5, пока частное не будет меньше 5.

 

3865│ ̲  5

35      773

_- 36

   35

 _-   15

     15

       0

 

773│ ̲ 5

5      154

_- 27

  25

 _-  23

    20

       3

 

154│ ̲ 5

15      30

     4

 

30│ ̲ 5

30     6

     0

 

 

3865=60430₅=6*4⁴+0*5³+4*5²+3*5+0=6*625+100+15=3865

В) 3865│ ̲ 9

36      429

_- 26

  18

 _-  85

    81

       4

429│ ̲ 9

36      154

_-   69

   63

     6

 

47│ ̲ 9

45     5

_-2

3865=5264₉=5*9³+2*9²+6*9+4=3645+162+54+4=3865.

15.     Составьте таблицы сложения и умножения в пятеричной системе счисления и выполните действия: 3142 ₅ ×13 ₅ - 2304 ₅ ×4 ₅ + 231 ₅ ∙34 ₅ . 

Составим таблицы сложения и умножения в пятеричной системе  счисления:

+   0   1   2   3   4

0   0   1   2   3   4

1   1   2   3   4  10

2   2   3   4  10 11

3   3   4  10 11 12

4   4  10 11 12 13

 

×   0   1   2   3   4

0   0   0   0   0   0

1   0   1   2   3   4

2   0   2   4  11  13

3   0   3  11 14  22

4   0   4  13  22  31

 

3142₅*13₅-2304₅*4₅+231₅*34₅

 

1. _×3142₅                  2)_×2304₅                3) _-  102001₅                4)_×231₅

      13₅                                           4₅                                  20231₅                         34₅

                    ^{------------------                           ------------------                            ------------------                      ------------------}

               20031                      20231₅                      31220₅                   2024

               3142                                                                                        1243

                    ^{------------------                                                                                             ------------------}          

              102001₅                                                                                   20004₅

Ответ: 20004₅

16.     Запишите формулу натурального числа, кратного а) 2;  б) 5; в) 9; г) 15.

а) 2-м; 

б) 5-ти;

в) 9-ти;

г) 15-ти;

17.     Из цифр 1, 0, 5, 8 составьте несколько трехзначных чисел, делящихся:    а) на 2; б) на 5; в) на 10; г) на 3; д) на 6.

а) на 2; делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 8; 150, 158, 510, 518, 108, 810, 180.

 б) на 5; 180, 185, 810, 815, 105, 510, 150.

 в) на 10; 150, 180, 510, 810.

 г) на 3; 150, 510, 180, 810, 105, 501, 108, 801.

д) на 6; 150, 510, 108, 810, 180.

18.     Какие из следующих высказываний истинны: а) если число делится на 7 и на 5, то оно делится на 35; б) если число делится на 10 и на 15, то оно делится на 150; в) если число делится на 4 и на 8, то оно делится на 32; г) если число не делится ни на 2, ни на 3, то оно не делится на 6; д) если число не делится на 15, то оно не делится ни на 3, ни на 5.

а) если число делится  на 7 и на 5, то оно делится на 35 –высказывание истинное.

г) если число не делится  ни на 2, ни на 3, то оно не делится  на 6 - высказывание истинное.

19.     Из чисел 169, 173, 351, 519, 815 выберите простые.

Натуральное число, больше единицы, называется простым, если оно имеет  только два делителя: единицы и  само себя.

351 делится на 3, т.к. 9=(3+5+1) делится на 3

519 делится на 3, т.к. 5+1+9=15 делится  на 3

815 делится на 5, т.к. оканчивается  цифрой 5.

Проверим числа 169 и 173

                 Наименьший простой делитель составного числа, а не превосходит

169 делится на 13, значит не является простым.

Проверим делится ли число 173 на одно из простых чисел 2, 3, 5, 7, 11, 12 число 173 не делится на 2 т.к. оканчивается цифрой 3, 173 на 3 не делится т.к. сумма цифр (1+7+3=11) не делится на 3, 173 на 5 не делится, т.к. оканчивается цифрой 3.

173- не делится на 7, на 11.

173 не делится на 12 т.к.  не делится на 4 (73 не делится  на 4) и на 3 (1+7+3 не делится на 3)

Ответ: 173- простое число.

20.     Используя канонические разложения на простые множители чисел 7500, 5000, 125 и 300, выясните, какие числа делятся друг на друга, найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное этих чисел.

Решение

 

Найдем канонически разложение чисел.

5000  2 2500  2 1250  2 625    5 125    5 25      5 5        5 1

125  5 25    5 5      5 1

300  2 150  2 75    5 15    5 3      3 1

7500   2

3750   2

1875   5

375     5

75       5

15       5

3         3

1        

 

 

 

 

7500 делится на 125 и на 300, т.к. показатели степеней простых  чисел в разлож. 125 и 300 не превосходят соответствующих показателей степеней простых чисел в разлож. Числа 7500, аналогично 5000 делится на 125, но не делится на 300, т.к. в разложении 5000 нет числа 3.

R(7500, 5000, 125, 300)=

D(7500, 5000, 125, 300)=

21.     В коробке лежат карандаши. Число их меньше 300, но больше 200. Сколько карандашей в коробке, если известно, что там содержится целое число десятков, а также целое число дюжин карандашей?

Решение.

Найдем кратное чисел 10 и 12, которое больше 200 но <300.

Выпишем  кратные числа 10>200,но<300

210, 220, 230, 240, 260, 270, 280, 290.

Выберем из них те которые делится на 12, это число 240.

Ответ в коробке 240 карандашей.

22.     Найдите значение выражения:  а)   ;  б)    .

Найдем наименьшие общие кратное знаменателей 4,8 и 6, это число 24. Приведем каждую дробь к знаменателю 24 и выполним указанные действия.

А)

Б)

 

 

23.     Какую часть рукописи перепечатают четыре машинистки за один час, если первая машинистка могла бы перепечатать рукопись за 12 часов, вторая – за 15, третья – за 10, четвертая – за 9?

Решение.

Примем всю работу по печатанию  рукописи за 1, тогда производительность труда первой машинистки равна , второй -третьей - четвертой - .

За 1 час, работая вместе, машинистки выполняют)*1 работы.

Выполним сложение дробей в скобке, для чего найдем наименьшее общее кратное знаменателей дробей .

 

R(12,15,10,9)=

 

  всей работы  выполняет четыре машинистки  за 1 час.

 

 

 

24.      Сократите дроби: а)   ; б)   ; в)   .

 
а)

;  792:198=4

 

 

Б)

3100: 2080=1(остаток 1020);

2080: 1020=2 (остаток 40);

1020: 40=25(остаток 20)

40:2=2

 

 

В)

11319/7845=1 (остаток 3474)

7845/3474=2(остаток 897)

3474/897=3(остаток 783)

897/783=1(остаток 114)

783/114=6(остаток 99)

114/99=1(остаток 55)

99/15=6(остаток 9)

15/9=1(остаток 6)

9/6=1(остаток 3)

6/3=2

D (7845,  11319)=3

 

25.     Сравните: а)    и 0,52;      б) 1,(428571) и   .

представим дробь в виде десятичной периодической дроби 0,538461;

Значит 

> 0,52

1,(428571) и 1  представим число 1    в виде смешанной периодической дроби 1,(428571)

Значит

1,(428571) = 1 

 

 

26.     Найти с точностью до 0,001 произведение чисел          а = 2,164872…     и         b   = 5,(23).

2,16487<=a<2,16498 найдем десятичные приближения чисел а и b по недостатку и по избытку пятью десятичными значениями.

b=5,232323…..

5,23232<=b<5,23233

Найдем a*b

2,16487*5,23232<=a*b<2,16498*5,23233

11,327293<=a*b<11,327367

ab=11,327

 

27.     Запишите в возрастающем порядке следующие действительные числа:      ; 0,2123; 0,22; 0,26; 0,(2); 0,(25).

Запишем число  в виде десятичной дроби 0,25.

В возрастающем порядке

0,2123; 0,22; 0,(2); 0,(25); 0,26;

 

28.     Установите, в процессе измерения, каких величин были получены следующие результаты: а) 15,5 м ; б) 200 м ³ ; в)60 л ; г) 1 кг 300г; д) 6 ц;     е) 60 км/ч .

а) 15,5 м –эта величина полученная в результате измерения длины отрезка.

б) 200 м ³ –величина полученная при измерении объема геометрического числа.

 в) 60 л –величина может быть получена при измерении длины  окружности, длины дуги окружности, угла поворота.

 г) 1 кг 300г- величина получена при измерении массы

 д) 6 ц=600 кг.

е) 60 км/ч  -величина получена при измерении скорости.

 

29.     Решите нижеприведенные задачи и объясните, какие операции над величинами (площадями и длинами) были выполнены в процессе решения:   

а) Площадь кухни 9 м ² . Сколько плиток линолеума, имеющих форму квадрата со стороной 3 дм, нужно для покрытия пола в кухне?

Найдем площадь одной  плитки. имеющей форму квадрата со стороной 3 дм.

S₁=3(дм)²=3дм*3дм=(3*3)дм*дм=9дм²

При нахождении численного значения площади одной плитки, имеющее форму квадрата применена формула S=a², коммутативный и ассотиативный законы умножения.

Найдем количество плиток,  необходимых для покрытия пола в  кухне площадью 9 м². Переведем квадратные метры в квадратные дециметры. 1м²=10дм*10дм=100 дм², 9м²=9*100дм²=900 дм². разделим площадь пола 900 дм² на площадь одной плитки. 900 дм²/9дм²=100.

При решении задачи выполнялись  следующие операции над величинами: умножение длин двух отрезков при  нахождении площади, перевод единиц измерения площади из м² в дм², деление площадей.

б) Длина листа бумаги прямоугольной формы 9 дм, а ширина 8 дм. Для стенгазеты отрезали    листа, а из остального сделали две одинаковых коробки. Сколько квадратных дециметров пошло на каждую коробку?

Найдем площадь прямоугольника по формуле S=a*b, если а=9дм, b=8дм. S=9 дм*8 дм. Применим коммутативное и ассотиативное свойства умножения, получим S=(9*8)*(дм*дм)=72 дм².

Найдем площадь листа, оббрезанного для стенгазеты. 72 дм²*2/3=72*2/3дм²=48дм². Найдем площадь листа, из которого сделали 2 коробки: 72 дм²-48 дм²=(72-48)*дм²=24дм². Узнаем сколько кв.дм. пошло на изготовление одной коробки: 24 дм²:2=12 дм².

При решении этой задачи выполнялись следующие операции над величинами: умножение численных  значений длин 2-х отрезков, умножение  площади на число, вычитание площадей, деление площадей на число.